专题06 线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略（解析版）2023-2024学年八年级数学上册压轴题攻略苏科版

第第页专题06线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】 1【考点二线段垂直平分线的判定】 4【考点三利用角平分线的性质求解】 8【考点四角平分线的判定】 10【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】 14【过关检测】 20【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】例题：（2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）如图，中，，，的垂直平分线交于E，D，连接，则．【答案】/度【分析】先根据垂线平分线的定义得到，进而证明得到，则由三角形外角的性质可得．【详解】解：∵的垂直平分线交于E，D，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，全等三角形的性质与判断，线段垂直平分线的定义，正确推出是解题的关键．【变式训练】1．（2023·江苏·八年级假期作业）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（

）A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】根据题意可知，凳子的位置应该到三个顶点的距离相等，从而可确定答案．【详解】因为三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，这样就能保证凳子到三名同学的距离相等，以保证游戏的公平，故选：D．【点睛】本题主要考查垂直平分线的应用，掌握垂直平分线的性质是关键．2．（2023春·山东济南·七年级济南市章丘区第二实验中学校考阶段练习）如图，在中，，的中垂线交于E，的中垂线交于G，则的周长等于．

【答案】8【分析】根据垂直平分线的性质定理，得，进而即可求解．【详解】解：∵的中垂线交于E，的中垂线交于G，∴，∴的周长．故答案是：8．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理，掌握垂直平分线的性质定理是解题的关键．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．3．（2023春·广东深圳·七年级校考期末）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于M，N两点，与相交于点F．

(1)若，求的周长；(2)若，则的度数为______°．【答案】(1)(2)50【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，则的周长；（2）根据等边对等角可得，，根据三角形内角和定理，列式求出，再求出，即可求解．【详解】（1）解：∵，分别是，的中垂线∴，∴；（2）由（1）得，，由，分别垂直平分和，可得，∴，，∵在中，，∴，根据对顶角的性质可得：，，在中，，在中，，∴，∴，在中，∴，∴．故答案为：50．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质和整体思想的利用．【考点二线段垂直平分线的判定】例题：（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，为三角形的角平分线，于点E，于点F，连接交于点O．

(1)若，，求的度数；(2)写出与的关系，并说明理由；【答案】(1)(2)，平分【分析】（1）根据三角形内角和可得，再利用内角和即可得出；（2）由角平分线的意义及两个垂直可证明，从而有，由线段垂直平分线的判定知，，平分．【详解】（1）解：∵∵∵∵∴（2）解：，平分；理由如下：∵平分，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴是线段的垂直平分线，即，平分．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，等腰三角形的性质，三角形内角和，角平分线的性质．找到和，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，完成证明是关键．【变式训练】1．（2023秋·广西河池·八年级统考期末）如图，在中，边，的垂直平分线交于点．(1)求证：；(2)求证：点在线段的垂直平分线上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据垂直平分线的性质直接可得到答案；（2）根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案；【详解】（1）证明：∵边、的垂直平分线交于点，∴，，∴；（2）证明：∵边，的垂直平分线交于点，∴，，∴，点在的垂直平分线上．【点睛】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，点是等边外一点，，，点，分别在，上，连接、、、．(1)求证：是的垂直平分线；(2)若平分，，求的周长．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（1）根据到线段两端距离相等的点在垂直平分线上即可证明；（2）如图，过D作于M，结合已知易证即，同理可得，易证得，同理可得，然后转换求周长即可．【详解】（1）证明：是等边三角形，，∴A在的垂直平分线上，又，∴D在的垂直平分线上，是的垂直平分线；（2）如图，过D作于M，，又是等边三角形，同理可得平分，平分，在与中同理可得.【点睛】本题考查了垂直平分线的判定，角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质；解题的关键是通过相关性质构造线段相等、进行转换．【考点三利用角平分线的性质求解】例题：（2023春·山东威海·七年级统考期末）如图，是中的平分线，于点E，，则（

）

A．14 B．26 C．56 D．28【答案】D【分析】如图：作交于点F，根据角平分线的性质可得，再由求解即可．【详解】解：如图，作交于点F，

∵平分，，，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的面积公式等知识点，根据角平分线的性质定理得到是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点【答案】B【分析】根据题意，凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置在三角形三条角平分线的交点，据此即可求解．【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等，∴凉亭的位置在三角形三条角平分线的交点，故选：B．【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．2．（2023春·山西运城·七年级统考期末）如图，BD平分，P是上一点，过点P作于点Q，，O是上任意一点，连接，则的最小值为．

【答案】5【分析】根据垂线段最短确定点O的位置，再根据角平分线的性质即可得到最短距离．【详解】解：O是上任意一点，当时，的值最小，又BD平分，P是上一点，，的最小值为5，故答案为：5．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，解题关键是找到最短距离的位置．3．（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）如图，在四边形中，，，的平分线与的平分线相交于点，且点在线段上，．

(1)求的度数；(2)试说明．【答案】(1)(2)详见解析【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，以及角平分线的定义，即可作答；（2）过点作于点，再根据角平分线的性质定理即可证明．【详解】（1）∵，∴．∵，∴．∵平分，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴．（2）如图．过点作于点．

∵平分，，，∴．∵平分，，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质定理的等知识，掌握角平分线的性质定理，是解答本题的关键．【考点四角平分线的判定】例题：（2023·全国·八年级假期作业）如图，的平分线与的外角平分线相交于点，连接．求证：是的外角平分线．【答案】证明见解析【分析】作交的延长线于，于，于，根据角平分线的性质得到，根据角平分线的判定定理证明结论．【详解】证明：作交的延长线于，于，于，平分、平分，，，，又，，∴是的外角平分线．【点睛】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．【变式训练】1．（2023·广东惠州·校联考二模）如图，，，于．

(1)求证：平分；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）过C点作，交的延长线于点F．由证明，可得，结论得证；（2）证明，可得，可求出．【详解】（1）证明：过C点作，交的延长线于点F．

∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴平分；（2）解：由（1）可得，在和中，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形．2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，于点E，于点F，若．(1)求证：平分；(2)请猜想与之间的数量关系，并给予证明．【答案】(1)见解析(2)，证明见解析【分析】（1）根据证明，得到，再根据角平分线的判定定理，求证即可；（2）通过证明，得到，利用线段之间的关系，求解即可．【详解】（1）证明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴平分．（2）解：，证明如下：在和中，，∴，∴，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】例题：（2023秋·河北保定·八年级统考期末）如图，在中，平分，，于点E，点F在上，．(1)求证：．(2)连接，求证垂直平分．(3)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用角平分线的性质可得，再利用“”证明，即可证明；（2）利用“”证明，可得，所以点A在的垂直平分线上，根据，可得点D在的垂直平分线上，进而可以解决问题；（3）设，则，即可建立方程求解．【详解】（1）证明：∵于点E，∴，又平分，，∴，在和中，，∴，∴．（2）证明：连接，如图在和中，，∴，∴∴点A在的垂直平分线上，∵，∴点D在的垂直平分线上，∴垂直平分（3）解：设，∵，，∴，，∵，∴，解得：∴【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题关键是在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定．【变式训练】1．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，是的角平分线，于点E，于点F，连接．(1)求证：点D在的垂直平分线上；(2)若，，则的长为___________【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）根据角平分线的性质定理直接得出，则问题得解；（2）先得出，，结合，可得，问题随之得解．【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，，∴．∴点D在的垂直平分线上．（2）∵，，∴，，∵在（1）中有：，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，即的长为3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质定理直接得出是解答本题的关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且．(1)求证：为的角平分线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，再证明，可得，再证明，即可得证；（2）根据全等三角形的性质可得，进一步可得，从而可得．【详解】（1）连接，，如图所示：为的垂直平分线，，，，，在和中，，，在和中，，，为的角平分线；（2），，又，，即，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定及线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．3．（2023春·全国·八年级开学考试）如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．(1)求证：BD平分∠ABC；(2)如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度．【答案】(1)见解析(2)MC=1.5【分析】（1）由∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，得∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，再根据CE平分∠ACF，得∠ACF=2∠ECF，则∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，从而证明结论；（2）连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，利用HL证明Rt△QNA≌Rt△QMC，得NA=MC，再证明Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），得NB=MB，则BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，从而得出答案．【详解】（1）证明：∵∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，∴∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，∵CE平分∠ACF，∴∠ACF=2∠ECF，∴∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，∴BD平分∠ABC；（2）解：连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，∵QG垂直平分AC，∴AQ=CQ，∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，∴QM=QN，∴Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），∴NA=MC，∵QM=QN，BQ=BQ，∴Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），∴NB=MB，∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，∴7=4+2MC，∴MC=1.5．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，在中，是边的垂直平分线，分别交于D、E两点，连接，，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用垂直平分线的性质，可得，根据三角形内角和定理，可得的度数．【详解】解：是边的垂直平分线，，根据三角形内角和定理，可得，故选：D．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练利用垂直平分线的性质是解题的关键．2．（2023春·四川达州·八年级统考期末）如图，点P为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（

）

A．的值不变 B．C．的长不变 D．四边形的面积不变【答案】C【分析】如图作于E，于F，于，可证，所以，由平分，得证，于是，所以，同时，所以，，推出，进一步得到，，所以，故B正确；因为，故A正确；由三角形全等可知，所以定值，故D正确；M，N的位置变化，所以的长度是变化的，故C错误．【详解】解：如图作于E，于F．

∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，于E，于F，∴，在和中，，∴，∴，在和中，∴，∴，，∵，，∴，∴定值，故D正确，∵，故A正确，∵M，N的位置变化，∴的长度是变化的，故C错误．∵，∴，∵与互补，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴∴，故B正确，故选：C【点睛】本题主要考查角平线的性质定理、全等三角形的判定和性质；能够结合角平分线的性质定理作出角平分线上点到两边的垂线段，构建全等三角形是解题的关键．二、填空题3．（2023春·山东青岛·七年级山东省青岛实验初级中学校考期末）如图，是的角平分线，，垂足为，是的中线，，，．则的面积为．【答案】【分析】过点作，垂足为，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后根据三角形的面积公式可得，，可得，然后由三角形的中线得，根据求解即可．【详解】解：过点作，垂足为，∵是的角平分线，，，，，∴，∴，，∴，∵是的中线，∴，∴，∴的面积为．故答案为：．【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形中线的性质，三角形的面积，作辅助线并利用角平分线的性质是解题的关键．4．（2023春·湖南衡阳·七年级校联考期末）如图，在锐角三角形ABC中，，的面积为18，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为．

【答案】6【分析】过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值．【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，

∵平分，，，∴，∴的最小值．∵的面积为18，，∴，∴．即的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值为转化为，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．三、解答题5．（2023春·河南商丘·七年级统考阶段练习）如图，，平分，点D，E在射线，上，点P是射线上的一个动点，连接交射线于点F，设．(1)如图1，若．①的度数是，当时，；②若，求x的值；(2)如图2，若，是否存在这样的x的值，使得？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)①，；②；(2)存在这样的x的值，使得．当或时，．【分析】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得的度数，根据求出的值；②根据三角形内角和求出，根据平行的性质的度数，相减即可得的值；（2）分两种情况进行讨论:在左侧，在右侧，分别根据三角形内角和定理，可得的值．【详解】（1）解：①∵，平分，∴，∵，∴；∵，∴，，当时，，即，故答案为：，；②∵，，∴，又∵，∴，∴；（2）存在这样的x的值，使得．分两种情况：①如图2，若在左侧，∵，∴，∵，∴，当时，，解得；②如图3，若在右侧，∵，，∴当时，，解得；综上所述，当或时，．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．解题时注意分类讨论思想的运用．6．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）在中，，线段、分别平分、交于点G．

(1)如图1，求的度数；(2)如图2，求证：；(3)如图3，过点C作交延长线于点D，连接，点N在延长线上，连接交于点，使，若，，求线段的长．【答案】(1)(2)见解析(3)5【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据平分、平分，得出，，求出，根据三角形内角和得出，即可求出结果；（2）作平分交于点，证明，得出，证明，得出，即可证明结论；（3）作交延长线于点，作交延长线于点，作于点，证明平分，根据，，得出，根据平分，，，得出，证明，证明，得出，证明，得出，作于点，于点，于点，根据，，得出，求出即可得出答案．【详解】（1）解：在中，，∵∴，∵平分、平分，∴，，∴，在中，，∴．（2）解：作平分交于点，如图所示：

∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；（3）解：作交延长线于点，作交延长线于点，作于点，如图所示：∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴平分，∵，，∴，∵平分，，，∴，∴，∴平分，∵，∴，∴，由（1）得，∴，∵，，，∴，∵，∴，由（2）得，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，作于点，于点，于点，∵，∴，，，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．7．（2023春·八年级课时练习）如图，OF是的平分线，点A在射线上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．(1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由．(2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，理由见解析(2)存在，理由见解析【分析】（1）连接BQ，根据BC垂直平分OQ，可知，则，根据OF平分，则，即，根据，可知，则可知；（2）如图，连接，根据垂直平分，可知，结合条件可证，则，根据平分，，可知，则，进而可知，由此可证（），则．【详解】（1）解：理由如下：连接BQ∵BC垂直平分OQ∴∴∵OF平分∴∴∵∴∴；（2）存在，理由：如图，连接，∵垂直平分，∴，在和中，∴（）∴，∵平分，，∴，∴，∴，在△AOB和△PQB中，∴（），∴．【点睛】本题考查了线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，本题属于中考常考问题．8．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：

【知识回顾】（1）如图1，是的平分线上的一点，于点，作于点，试证：【深入探究】（2）如图2，在中，为的角平分线交于于点，其中，求．【应用迁移】（3）如图3，中，的角平分线与的中线交于点为中点，连接，若，则的长度为__________．【答案】（1）见解析；（2）；（3）10【分析】（1）根据证明即可；（2）作于点，作于点，由角平分线的性质得，由三角形的面积公式可得，结合即可求解；（3）过E作于G，连接，由P为中点，设，根据是边上的中线，设，根据三角形的面积的计算得到，根据角平分线的性质得到，于是得到结论．【详解】（1）证明：，，在和中，，，（2）解：如图，过点作于点，作于点，

平分，，，，同理可证，∴．，，设，则，，；（3）解：过E作于G，连接，

∵P为中点，∴，设，∵是边上的中线，∴设，∵，∴，∴，∵，∴，∵是的角平分线，，∴，∴，∴，故答案为：10．【点睛】本题考查了三角形的面积的计算，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9．（2023·贵州遵义·校考三模）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．【答案】（1）①见解析②30°（2）见解析【分析】（1）①本题主要考查通过角度计算求证平行，继而证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论．②本题以上一问结论为解题依据，考查平行线以及垂直平分线的应用，根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°．（2）本题主要考查辅助线的做法以及垂直平分线性质的应用，需要延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．【详解】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°∴∠A＝90°﹣30°＝60°同理∠EDF＝60°∴∠A＝∠EDF＝60°∴AC∥DE∴∠DMB＝∠ACB＝90°∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM∴即M是BC的中点∵EP＝CE，即E是PC的中点∴ED∥BP∴∠CBP＝∠DMB＝90°∴△CBP是直角三角形∴BE＝PC＝EP②∵∠ABC＝∠DFE＝30°∴BC∥EF由①知：∠CBP＝90°∴BP⊥EF∵EB＝EP∴EF是线段BP的垂