2023-2024学年上海市普陀区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市普陀区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6小题，每题4分，满分24分）.1．（4分）下列关于的函数解析式中，一定为二次函数的是A． B． C． D．2．（4分）校园里一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，如果将看作一条线段，为的黄金分割点，，那么的长度为A． B． C． D．3．（4分）已知非零向量、和，下列条件中，不能判定的是A． B．， C．， D．4．（4分）二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是A．，， B．，， C．，， D．，，5．（4分）如图，、相交于点，点、分别在、上，且，如果，，，那么下列结论中正确的是A． B． C． D．6．（4分）四边形的对角线与相交于点，下列条件中，不一定能推得与相似的是A． B． C． D．二、填空题（共12小题，每题4分，满分48分）.7．（4分）已知，那么．8．（4分）已知点在二次函数的图象上，那么的值为．9．（4分）抛物线的对称轴是直线，那么的值为．10．（4分）已知二次函数的图象经过原点，那么的值为．11．（4分）如果点，在抛物线，那么（填“”、“”或“”）12．（4分）如果向量与单位向量的方向相反，且长度为4，那么（用表示）13．（4分）在中，已知是中线，是重心，向量，向量，那么向量（用向量，表示）14．（4分）如图，是等边三角形，在中，点在边上，以为边作等边，与交于点，如果，，那么．15．（4分）如图，在中，、分别是、的中点，是的中点，的延长线交边于点，那么的值为．16．（4分）如图，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上，如果，的面积是36，那么的长为．17．（4分）平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形中，，，，点、分别在边、上，如果是梯形的“比例中线”，那么的值为．18．（4分）如图，在矩形中，已知，如果将矩形沿直线翻折后，点落在边的中点处，直线分别与边、交于点、，如果，那么的长为．三、解答题（共7小题，满分73分）.19．（5分）如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量）

20．已知二次函数（其中、、为常数，且的自变量的值与它对应的函数值如下表所示：01300（1）该二次函数图象的对称轴是直线．（2）如果，求此二次函数的解析式及其图象与轴的交点坐标．

21．已知抛物线与轴交于点，其顶点记作点．（1）求此抛物线的顶点的坐标．（2）将抛物线向左平移个单位，使其顶点落在直线上，求平移后新抛物线的表达式．

22．如图，在四边形中，对角线、相交于点，过点作的平行线，分别交、于点、，且．（1）求证：；（2）如果，，求的长．

23．（12分）如图，点、分别在的边、上，延长、交于点，且．（1）求证：；（2）联结，如果，求证：．

24．（12分）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线过点、、，点的坐标是，点的坐标是，连接，抛物线的顶点为点．（1）求抛物线的表达式；（2）求的面积；（3）如果点是抛物线上的一点，当时，求点的横坐标．

25．如图，在梯形中，，，，，，点在线段的延长线上，连接，作，与交于点．（1）求的长；（2）设，，求关于的函数关系式；（3）如果是等腰三角形，求的长．

参考答案一.选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列关于的函数解析式中，一定为二次函数的是A． B． C． D．解：．不是二次函数，故本选项不符合题意；．当时，不是二次函数，故本选项符合题意；．是一次函数，故本选项不符合题意；．是二次函数，故本选项符合题意；故选：．2．（4分）校园里一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，如果将看作一条线段，为的黄金分割点，，那么的长度为A． B． C． D．解：为的黄金分割点，，，故选：．3．（4分）已知非零向量、和，下列条件中，不能判定的是A． B．， C．， D．解：、，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；、，，则，故本选项错误；、由已知条件知，，则，故本选项错误；、只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，与不一定平行，故本选项正确．故选：．4．（4分）二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是A．，， B．，， C．，， D．，，解：由函数图象，可得函数开口向上，则，顶点在轴左侧，则，图象与轴交点在轴负半轴，则，故选：．5．（4分）如图，、相交于点，点、分别在、上，且，如果，，，那么下列结论中正确的是A． B． C． D．解：，，，，，，，，故选项错误，不符合题意；，，即①，，，，，即，将代入，得，②，①②，得，故选项正确，符合题意；，，，即，，故、选项错误，不符合题意．故选：．6．（4分）四边形的对角线与相交于点，下列条件中，不一定能推得与相似的是A． B． C． D．解：若，，，若，，，若，，，，，又，，若，，无法证明与相似，故选：．二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知，那么．解：，，．故答案为：．8．（4分）已知点在二次函数的图象上，那么的值为0．解：点在二次函数的图象上，，即，故答案为：0．9．（4分）抛物线的对称轴是直线，那么的值为．解：，抛物线对称轴为，，解得，故答案为：．10．（4分）已知二次函数的图象经过原点，那么的值为8．解：二次函数的图象经过原点，，解得，故答案为：8．11．（4分）如果点，在抛物线，那么（填“”、“”或“”解：抛物线的对称轴为直线，而抛物线开口向上，所以当时，随的增大而增大，因为点，在抛物线上，且，所以．故答案为：．12．（4分）如果向量与单位向量的方向相反，且长度为4，那么（用表示）解：向量与单位向量的方向相反，且长度为4，，故答案为：．13．（4分）在中，是中线，是重心，向量，向量，那么向量（用向量，表示）解：是中线，，，是的重心，，．故答案为：．14．（4分）如图，是等边三角形，在中，点在边上，以为边作等边，与交于点，如果，，那么．解：和都是等边三角形，，，，，，，，，，，，故答案为：．15．（4分）如图，在中，、分别是、的中点，是的中点，的延长线交边于点，那么的值为．解：、分别是、的中点，，，是的中点，，，，，，故答案为：．16．（4分）如图，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上，如果，的面积是36，那么的长为4．解：如图：过点作于，交于，的面积是36，，，，，，，，，故答案为：4．17．（4分）平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形中，，，，点、分别在边、上，如果是梯形的“比例中线”，那么的值为．解：如图过作的平行线交于，交于，是梯形的“比例中线”，，，，四边形，四边形为平行四边形，，，，，，故答案为：．18．（4分）如图，在矩形中，已知，如果将矩形沿直线翻折后，点落在边的中点处，直线分别与边、交于点、，如果，那么的长为．解：如图，连接，四边形为矩形，，，，为的中点，，将矩形沿直线翻折后，点落在边的中点处，直线分别与边、交于点、，，，在中，，，，，，又，，，即，，；故答案为：．二.解答题（本大题共7题，满分73分）19．（5分）如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量）解：，如图所示，即为所求．20．已知二次函数（其中、、为常数，且的自变量的值与它对应的函数值如下表所示：01300（1）该二次函数图象的对称轴是直线．（2）如果，求此二次函数的解析式及其图象与轴的交点坐标．解：（1）由表格可知，和时，都为0，二次函数的对称轴是直线，故答案为：；（2）如果，则此二次函数经过点，，，设二次函数为，代入得，，解得，，此二次函数的解析式为，令，则，其图象与轴的交点坐标是．21．已知抛物线与轴交于点，其顶点记作点．（1）求此抛物线的顶点的坐标．（2）将抛物线向左平移个单位，使其顶点落在直线上，求平移后新抛物线的表达式．解：（1）由题意，将代入抛物线得，．．抛物线为．此抛物线的顶点．（2）由题意，抛物线向左平移个单位，新抛物线为．此时顶点为．又顶点落在直线上，．．新抛物线的表达式为，即．22．如图，在四边形中，对角线、相交于点，过点作的平行线，分别交、于点、，且．（1）求证：；（2）如果，，求的长．【解答】（1）证明：，，，，；（2）解：，，，，，，，，，，，．23．（12分）如图，点、分别在的边、上，延长、交于点，且．（1）求证：；（2）联结，如果，求证：．【解答】证明：（1）．，又，，，又，；（2），，，，，，，，，，，又，，，，．24．（12分）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线过点、、，点的坐标是，点的坐标是，连接，抛物线的顶点为点．（1）求抛物线的表达式；（2）求的面积；（3）如果点是抛物线上的一点，当时，求点的横坐标．解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：①；（2）过点作轴交于点，由点、的坐标得，直线的表达式为：，由抛物线的表达式知，点，当时，，则，则的面积；（3）由点、的坐标知，，时，当点在上方时，设交轴于点，，则，则直线的表达式为：②，联立①②得：，解得：（舍去）或，即点的横坐标为：；当点在下方时，设交轴于点，同理可得：，则直线的表达式为：③，联立①③得：，解得：；即点的横坐标为：；综上，点的横坐标为：或．25．如图，在梯形中，，，，，，点在线段的延长线上，连接，作，与交于点．（1）求的长；（2）设，，求关