2023-2024学年吉林省长春市二中高三上学期10月月考数学试题及答案

2024届高三年级第二次调研测试数学学科试卷8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.log2x1，则的充分不必要条件是（）pp1.已知：0x20x10x3D.A.x2B.C.196，则ab92.已知正实数a，b满足的最小值是（）abA.8B.16C.32D.36f(x)lg[(a2x2(ax的值域为R．则实数a的取值范围是（）3.已知函数55A.]B.D.]3355,1(,),1)C.33xa„1fx4.已知函数，x,xRxx对，，满足1212ax5,x12x2(xxf(x)f(x0，则实数a的取值范围是（）12121„31a3A.C.B.551a1„D.22f(x)f(x)f(xfx)x(0)时，5.已知定义在R上的函数f(x)满足，且当1172f(x)log4(x)f，则（）21212A.B.1C.D.16.如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且2，点E为DC的中点，则（）321232D.A.B.C.1127.已知函数fxx2mgx3xx,2x的图象上至少存在一对关于轴对称的与函数xm点，则实数的取值范围是（）545542,2222,2222D.A.B.C.4561f(x)cosx个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的8.将函数0)的图象先向右平移g(x)g(x)(,在)上没有零点，则的取值范围倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数22是（）2282][,](0,]A.C.B.D.923989(0,][994小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.fxsin2x3cos2x9.设函数，则下列结论正确的是（）fxfxA.B.C.D.的最小正周期为的图象关于直线x对称的一个零点为fxx3的最大值为31fx10.下列说法中错误的为（）53A.已知a1,2，b,，且a与aλb的夹角为锐角，则实数的取值范围是1324e，e,3不能作为平面内所有向量的一组基底B.向量12aC.若a//b，则a在b方向上的正射影的数量为ABCABACBOAOBD.三个不共线的向量，，，满足ABCABACBCABCOC0，则O是的内心CABC11.在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，sini1xi17而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．fx的图象就可以近似的模拟某种信号i1的波形，则下列说法正确的是（）A.函数为周期函数，且最小正周期为fxπB.函数为偶函数fxπyfx的图象关于直线xC.函数对称2D.函数的导函数fx的最大值为7fxπ5fxsinx12.设函数0，已知2π有且仅有5个零点，则（fx在）A.在fx2π有且仅有3个极大值点B.在2π有且仅有2个极小值点fxπ10C.在fx单调递增1229510,D.ω的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数yf(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x，x，…，都有x12nxxx1f1f2fnff(x)sinx(0,)在区间上是凸函12n，若函数nn中，sinAsinBsinC数，则在△的最大值是______.Ab14.在中，内角，B，Cac的对边分别为，，，已知142A2Bsin2CsinBsinC的面积为23，则边a的值为________．，且π12APmAC15.如图，在中，BAC，AD2DB，P为CD上一点，且满足AB，若3AP的面积为23，则的最小值为__________.π4π2f(x)abxcsinx和,ax时，fx216.若函数的图象经过点，且当恒成立，则实数a的取值范围是______.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）在处的切线为2x2y10fxxxaxbf117.已知函数（1）求实数.a,b的值；（2）求的单调区间.fx3fx3cos2xsinxcosx0)的最小正周期为.18.已知函数2（Ⅰ）求函数的单调递减区间；fx2（Ⅱ）若fxx，求取值的集合.219.PABAC为湿地两边夹角为120°2ABAC上分别设立游客接送点MNP到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM2千米，AN2千米．（1）求线段MN的长度；60（2）若，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．20.已知函数fxx2axalnxxx，.2有两个极值点1a（1）求的取值范围；242416ln2f1fx2（2）证明：.1x2fxeasinxb.21.设函数x（Ⅰ）当a1，x时，fxb0恒成立，求的范围；m2x（Ⅱ）若在处的切线为xy10，且方程fxfxx0m恰有两解，求实数的取值范x围.x1πxπ,.fxsinx，22已知函数ex2π,π（1）求证：在上单调递增；fx2（2）当π,0时，fxsinxexx≤ksinxk恒成立，求的取值范围.2024届高三年级第二次调研测试数学学科试卷命题人：戴丽美审题人：张伟萍8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.log2x1，则的充分不必要条件是（）pp1.已知：0x20x10x3D.A.x2B.C.【答案】C【解析】log2x1p【分析】解出的解集，的充分不必要条件是其子集，选出即可.【详解】解：由log2x1得0x2，的充分不必要条件是2的子集，C符合，p故选：C.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，是基础题.196，则ab92.已知正实数a，b满足的最小值是（）abA.8B.16C.32D.36【答案】B【解析】196利用基本不等式求出ab1且b9a6ab，把ab9展开得到【分析】对ab，即可求出最小值.a1b9=7ab9196【详解】因为正实数a，b满足，ab199191所以62，即ab1，当且仅当=a,b3时，即时取等号.ababab3196，所以b9a6ab，因为ab所以a1b9=9abab97ab97916.故a1b9的最小值是16.故选：Bf(x)lg[(a2x2(ax的值域为R．则实数a的取值范围是（）3.已知函数55A.]B.D.]3355,1(,),1)C.33【答案】A【解析】【分析】ax1的值域必须包含区间得解ya21x2当函数的值域为R时，命题等价于函数f(x)lg[(a2x2(ax的值域为R1xax1ya22令，则a1x1的值域必须包含区间ya21x210时，则a1当a2当a1时，y2x1符合题意；1时，y1当a不符合题意；210a53a1时，1a，解得当a124a205351aa，即实数的取值范围是]3故选：A【点睛】转化命题的等价命题是解题关键.xa„1fx4.已知函数，x,xRxx，满足2对，2ax5,x11212x(xxf(x)f(x0，则实数a的取值范围是（）12121„31a3A.C.B.551a1„D.22【答案】D【解析】【分析】先判断是R上的增函数，列关于实数a的不等式组，即可求得实数a的取值范围.fx【详解】由题意，得是R上的增函数，fxa1a152„11„则，解得，4„a12a15故选：D5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)f(xfx)x(0)时，，且当1172f(x)log4(x)f，则（）21212A.B.1C.D.1【答案】B【解析】【分析】f(xfx)f(2x)f(x)，再结合根据函数f(x)满足，得到f-x)+f(x)=0，得到1f(4x)f(x)x(0)f(x)log4(x)，即f(x)的周期为4，然后利用周期结合当时，求解.2f(xfx)【详解】因为函数f(x)满足，f(2x)f(x)所以，f-x)+f(x)=0又因为，所以f(2x)f(x)，f(4x)f(x)所以，1x(0)f(x)log4(x)又因为时，，21721212ff8f则，1log21f1log41212112221.22log24故选：B【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的综合应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.6.如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且2，点E为DC的中点，则（）321232D.A.B.C.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量线性运算、数量积运算求得正确答案.【详解】2BC1.22EOEOEO143.故选：A1127.已知函数fxx2mgx3xx,2x的图象上至少存在一对关于轴对称的与函数xm点，则实数的取值范围是（）545542,2222,2222D.A.B.C.4【答案】D【解析】1hxfxgxx【分析】由题可得2x3xm,2在2有零点，利用导数研究函数的性质m20m22进而可得，即得.1hxfxgxx【详解】原问题等价于2x3xm,2在2有零点，11hx2x32x1x1，而xx12hx,1,hx0，x2,hx0，hx单调递增，x∴单调递减，125h1mh222,h又2m，412122可判断h2h由，因而的值域为，hxmm22又有零点，有hxm20m22，.m2ln2,2所以故选：D.8.将函数561f(x)cosx的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的0)的取值范围g(x)g(x)(,在)上没有零点，则倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数22是（）2282][,](0,]A.C.B.D.923989(0,][99【答案】A【解析】【分析】根据y=Acos（ωx+φg（xx6弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．5f(x)cosx个单位长度，【详解】函数的图象先向右平移66yx可得的图象，10)再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，6g(x)x得到函数的图象，∴周期T，g(x)(,在)上没有零点，若函数22x∴，26626T∴62，26221，解得01，k41226k，又，解得22323k26238当k=0时，解，929当k=-1时，01，可得0，228][,].939故答案为：A.【点睛】本题考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.fxsin2x3cos2x9.设函数，则下列结论正确的是（）fxfxA.B.C.D.的最小正周期为的图象关于直线x对称的一个零点为fxx3的最大值为31fx【答案】ABC【解析】3fx2sin2x【分析】先化简，得到，再根据三角函数的图像和性质对四个选项一一验证.fxsin2x32x2sin2x【详解】函数.3对于A：的最小正周期为.故A正确；fxπ12ππf2sin22fx的图象关于直线，所以x对于B：对称.故B正确；123π3ππ3对于C：，所以的一个零点.故C正确；fx是f2sin20x333fx2sin2x对于D：函数的最大值为2.故D错误.fx,所以故选：ABC10.下列说法中错误的为（）53A.已知a1,2，b,，且a与aλb的夹角为锐角，则实数的取值范围是1324e，e,3不能作为平面内所有向量的一组基底B.向量12aC.若a//b，则a在b方向上的正射影的数量为ABCABACBOAOBD.三个不共线的向量，，，满足ABCABACBCABCOC0，则O是的内心CABC【答案】AC【解析】【分析】对于A，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可；对于B，由e4e，可知e，e不能作为平面内所有向量的一组基底；2121对于C，利用向量投影的定义即可判断；CA0，点O在角A的平分线上，同理，点O在角B的平分线上，点O对于D，由在角CAC的平分线上，进而得出点O是.的内心b【详解】对于A，已知a1,2，，且a与aλb的夹角为锐角，aab0aλb1λ,2λ，可得即有解得，且a与aλb不共线，1220212，且，535，则实数的取值范围是0且，0且3故A不正确；1324e,对于B，2e4e，12e，e不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；2向量1对于C，若ab，则a在b上的投影为a，故C错误；ABCA对于D，表示与中角A的外角平分线共线的向量，ABCACA0由，可知垂直于角A的外角平分线，CA所以，点O同理，点O在角A的平分线上，在角B的平分线上，点O在角C的平分线上，故点O是故选：AC.的内心，正确.D【点睛】本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.11.在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，sini1xi17而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．fx的图象就可以近似的模拟某种信号i1的波形，则下列说法正确的是（）A.函数为周期函数，且最小正周期为fxπB.函数为偶函数fxπyfx的图象关于直线xC.函数对称2D.函数的导函数fxfx的最大值为7【答案】CD【解析】【分析】利用周期的定义可判断A选项的正误；利用奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数的对称性可判断C选项的正误；求得函数的导数，求出fx的最大值，可判断D选项的正误.fxixsin21πsin21πiix2177【详解】对于选项A：因为fxπi1i1i1i1sinixπ21ixsin2177fx，i1i1i1i1fxπfx即，可知函数fx的最小正周期不为π，故A错误；sinxysinx为奇函数，所以sinx对于选项B：因为，sini1x7sin3xsin5xsin7xsin9xsin11xsin13x所以fxsinx也是奇函i135791113i1数，故B错误；sin21πixsin21πiix2177对于选项C：因为fπxi1i1i1i1sinixπ21sin2ix177fx，i1i1i1i1πfπxfx即，所以函数yfx的图像关于直线x对称，故C正确；2sin3xsin5xsin7xsin9xsin11xsin13xfxsinx对于选项D：因为，35791113所以，fxxcos3xcos5xcos7xcos9xcos11xcos13xx,cos3x,cos5x,cos7x,cos9x,cos11x,cos13x，因为的取值范围均为可知，当f07时，，fx7x0所以的最大值为7，所以D正确．fx故选：CD．πfxsinx12.设函数0，已知5fx在2π有且仅有5个零点，则（）A.在fx2π有且仅有3个极大值点B.在2π有且仅有2个极小值点fxπ10C.在fx单调递增1229510,D.ω的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】由在2π有且仅有5个零点，可得2π6可求出的范围，然后逐个分析fx5判断即可.π5fxsinx【详解】因为0在2π有且仅有5个零点，如图所示，1252910所以2π6，所以，所以D正确，55对于AB在5上的图象可知，fx在2π有且仅有33ysinx,2个或2个极小值点，所以A正确，B错误，π10ππππxx,对于C，当时，，55105π49πππππ1229π2,因为，所以，所以，51010510025105π10所以在fx单调递增，所以C正确，故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数yf(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x，x，…，都有xn12xxx1f1f2fnff(x)sinx(0,)在区间上是凸函12n，若函数nn中，sinAsinBsinC数，则在△的最大值是______.3332【答案】##32【解析】13ABC(sinAsinBsinC)sin(ABC)即可求最大值，注意等号【分析】根据题设凸函数的性质可得3成立条件.13【详解】由题设知：(sinAsinBsinC)sin()sin，3332332ABC∴ABC，当且仅当时等号成立.333故答案为：.2Ab14.在中，内角，B，Cac的对边分别为，，，已知1的面积为23，则边a的值为________．，且2A2Bsin2CsinBsinC4【答案】26【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系以及正弦，余弦定理求得角A的值，再利用正弦定理可得bca2a的面积求出边的值.，结合sinBsinCsin2AABsinCsinBsinC，【详解】解：2221sin2A1sin2BsinCsinBsinC，2即sin2Bsin2AsinCsinBsinC，2由正弦定理角化边得b2a2c2bc，b2c2a2bc1A，bcbc2abc由正弦定理，sinAsinBsinCbca2sinBsinCsin2Abc即1a2，sin243化简得a2bc，12SbcsinA23又的面积为bc8a2解得a26.故答案为：26.π12BACAPmACAB，若15.如图，在中，，AD2DB，P为CD上一点，且满足3的面积为23，则AP的最小值为__________.【答案】3【解析】【分析】2m后利用基本不等式可求其最小值.用AC,AB表示CD,，利用这两者共线可求，求出22ADABCD【详解】因为AD2DB，故，所以，332116mACmAC而，322316因为CD与PD为非零共线向量，故存在实数，使得mAC，14m故，2211211418122APACABAPACAB+2ACAB所以，所以，41613ACAB8ACAB23，故由的面积为23可得，222211412所以APACAB126413，1664ACAB2当且仅当时等号成立.AP3故，故答案为：3.【点睛】思路点睛：与三角形有关的向量问题，如果知道边与夹角的关系，则可以考虑用已知的边所在的向量作为基底向量，其余的向量可以用基地向量来表示，此时模长的计算、向量的数量积等都可以通过基底向量来计算.π4π2f(x)abxcsinx和,ax时，fx216.若函数的图象经过点，且当恒成立，则实数a的取值范围是______.0,422【答案】【解析】πf0f【分析】先根据a将,c的解析式，对a进行分类讨fx转化为来表示，由此化简a4论，根据fx2a恒成立列不等式来求得的取值范围.π4πf(0)ab1，f，所以22【详解】因为经过点和abπca，可fx,a422得bc1a，故f(x)aa)xa)sinxaa)(sinxx)a2(1a)sinx.4πππ3π2π40xxsinx1，因为，所以，所以24442π41时，1a01a2(1a)sinx2(1a)，当a，可得所以1f(x)a)a，要使2f(x)2恒成立，只要2(1a)a2，即a0，又a1，从而0a1；当a1时，f(x)1[2,2]；π4a1时，1a01a2(1a)sinx2(1a)，当，所以所以1f(x)a)a，要使2f(x)2恒成立，只要2a)a2，解得a422，又a1，从而1a422.综上所述，a的取值范围为0a422.0,422故答案为：【点睛】求解不等式恒成立的问题，主要解题思路是转化为求函数的最值来进行求解，如本题中fx恒成立，就转化为的值域，也即三角函数的值域来进行求解.fx2四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）在处的切线为2x2y10fxxxaxbf117.已知函数（1）求实数.a,b的值；（2）求的单调区间.fxa0111（2）减区间为(,)增区间为【答案】（1）bee2【解析】1）求出函数的导数，计算f′（1f（1）可求出a，b2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；122f1f1）依题意可得：2f(x)xxaxbf()xa1'12函数f(x)在f处的切线为2x2y10f，fa111fab2a012解得：b（2）由（1）可得：f'（x）＝1+lnx，1x，当当时，f'（x）≤0，f（x）单调递减；e1x时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，e11e∴的单调减区间为fx的单调增区间为fx，.e【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于基础题．3fx3cos2xsinxcosx0)的最小正周期为.18.已知函数2（Ⅰ）求函数的单调递减区间；fx2（Ⅱ）若fxx，求取值的集合.212【答案（1）函数的单调递减区间为k,k,kZx2）取值的集合为fx12xkx24k,kZ.24【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简3fxsinx，利用正弦函数的单调性解不等式2k,即可求得函数2k2x232322的单调递减区间Ⅱ）fx，即sin2x，由正弦函数的性质得fx222k2x2k,kZ，化简后，写成集合形式即可.434331233cos2xsinx1cos2xsin2xfx222313xsin2xsinx，223，，所以1，故fxsin2x因为周期为2k2x2k,kZkxk,kZ，由，得2321212函数的单调递减区间为k,k,kZ，fx12123222（Ⅱ）fxsin2x，即，22k2x2k,kZ，由正弦函数得性质得4342k2x2k,kxk,kZ，解得所以12122424xkxk,kZx则取值的集合为.242419.PABAC为湿地两边夹角为120°2ABAC上分别设立游客接送点MNP到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM2千米，AN2千米．（1）求线段MN的长度；60（2）若，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．【答案】（1）23千米（2）43千米【解析】1）在AMN中，利用余弦定理运算求解；π6（2）在中，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得PMPN43sin，进而可得结果.【小问1详解】在AMN中，由余弦定理得，2AM2AN22AMANcos，122212，可得MN23，22222即2所以线段MN的长度23千米．【小问2详解】2π3π2πPNM，设，因为，所以33PMPN在中，由正弦定理得，sinsinPNMsin234因为＝π，sinsin32π3PM4sinPNM4sin,PN4sin4sin，所以因此2π31PMPN4sin4sin4cossin4sin322π66sin2343sin＝，2πππ5π0因为，所以，3666πππ所以当，即时，PMPN取到最大值43千米．62320.已知函数fxx2axalnxxx，.2有两个极值点1a（1）求的取值范围；242416ln2f1fx2（2）证明：.1x2a8【答案】（1）（2）证明见解析【解析】12x上有两个实数根x1，x22axa0在分布即可求解，aaa2axx,xxgaaa24162（2）结合，代入化简式子，将问题转化为，12122242利用导数即可求解.【小问1详解】a2x2axafx2xa,xxfx有两个极值点x1，x2，则在上有两个实数根fx0x1，x2，所以2x上有两个实数根，2axa0在x1，x228a0Δaaxx0解得a8，则122axx0122a故的取值范围为a8，【小问2详解】aaxx,xx，且a8，由（1）知1212222424242421x222a2f1f2x1a1121224xxxx2212axa12x121212xx12a2aaa2aaaa24aa24，42242a2aaaga令gaaa24(a，，4222aa112a2a在上恒成立，haga,ha0a8令222aaaaahagaa8gag8440，所以在单调递减，故2222因此在a8单调递减，故gag8，1688ln424162gaa2aaa24162，得证.故ga42【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：12．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.fxeasinxb.21.设函数x（Ⅰ）当a1，x时，fxb0恒成立，求的范围；m2x（Ⅱ）若在处的切线为xy10，且方程fxfxx0m恰有两解，求实数的取值范x围.1（）【答案】（I）b1IIm0e【解析】1）将参数值代入得到函数表达式，研究函数的单调性求得函数最值，使得最小值大m2xa0，b2ex2x2xm2x，于等于02）根据切线得到，方