专题7 全等三角形中与中点有关问题的解决策略（解析版）

专题7全等三角形中与中点有关问题的解决策略（解析版）专题解读：中点是几何中最重要的元素之一，属于中考必考元素。掌握全等三角形中解决中点问题的策略，对后续解决中点在等腰三角形边上，在直角三角形边上以及在四边形边上等问题都很有启发。解决策略一倍长中线典例1在△ABC中，AD为BC边上的中线，（1）如图1，求证：AB+AC＞2AD；（2）如图2，若∠BAC＜90°，作EA⊥AC，FA⊥BA，且AE＝AC，AF＝AB，连接EF，写出AD与EF的数量关系，并证明．【思路引领】（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，证明△CDE与△ADB全等，再利用三角形的三边关系证明即可；（2）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM、CM，根据∠ABM+∠BAC＝180°、∠EAC+∠BAF＝180°知∠ABM＝∠EAF，再证△AEF≌△BMA可得．【解答】证明：（1）如图1，延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，在△CDE与△ADB中AD=DE∠ADB=∠EDC∴△CDE≌△ADB（SAS），∴AB＝CE，∴AC+CE＝AC+AB＞AE＝2AD，即AC+AB＞2AD；（2）EF＝2AD，如图2，延长AD到M，使AD＝DM，连接BM、CM，∵BD＝DC，AD＝DM，∴四边形ABMC是平行四边形，∴AC＝BM＝AE，BM∥AC，∴∠ABM+∠BAC＝180°，又∵EA⊥AC，FA⊥BA，∴∠EAC+∠BAF＝90°+90°＝180°，即∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠ABM＝∠EAF，在△AEF和△BMA中，∵AE=BM∠EAF=∠MBA∴△AEF≌△BMA（SAS），∴EF＝AM＝2AD．【总结提升】本题主要考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线构建全等三角形将待证线段利用全等三角形联系到一起是关键．变式训练1．（2022秋•西城区校级期中）如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，AM＝3，DE＝6．【思路引领】延长AM至N，使MN＝AM，连接BN，证明△AMC≌△NMB（SAS），推出AC＝BN，∠C＝∠NBM，求出∠EAD＝∠ABN，再证明△EAD≌△ABN（SAS），根据全等三角形的性质求解即可．【解答】解：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN，∵点M为BC的中点，∴CM＝BM，在△AMC和△NMB中，AM=MN∠AMC=∠NMB∴△AMC≌△NMB（SAS），∴AC＝BN，∠C＝∠NBM，∵AD＝AC，∴AD＝BN，∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°，∴∠EAD+∠BAC＝180°，∴∠ABN＝∠ABC+∠NBM＝∠ABC+∠C＝180°﹣∠BAC＝∠EAD，在△EAD和△ABN中，AE=AB∠EAD=∠ABN∴△EAD≌△ABN（SAS），∴DE＝AN＝2AM＝6．故答案为：6．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力，延长AM至N，使MN＝AM，再证AN＝DE即可，这就是“倍长中线”，实质是“补短法”．2．如图，AB⊥AE，AB＝AE，AC⊥AD，AC＝AD，AH⊥DE于点H，延长AH交BC于点M．求证：M是BC的中点．【思路引领】过点B作BN∥AC交AM的延长线于点N，设AB交DE于点F，证明△BNM≌△CAM，即可得到BM＝CM．【解答】证明：过点B作BN∥AC交AM的延长线于点N，设AB交DE于点F，则∠ABN+∠BAC＝180°．∵∠DAE+∠BAC＝90°+90°＝180°，∴∠ABN＝∠DAE．∵AH⊥DE，AB⊥AE，∴∠BAM+∠AFH＝90°，∠AFE+∠AED＝90°，∴∠BAM＝∠AED，在△ABN和△EAD中，∠BAN=∠EAB=EA∴△ABN≌△EAD（ASA），∴BN＝AD＝AC．∵BN∥AC，∴∠BNM＝∠CAM，∠NBM＝∠ACM．在△BNM和△CAM中，∠BNM=∠CAMBN=AC∴△BNM≌△CAM（ASA），∴BM＝CM，∴M为BC的中点．【总结提升】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），在△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是B．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）AD的取值范围是C．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．[问题解决]（3）如图（2），AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA．求证：AE＝2AD．【思路引领】（1）根据AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可；（2）根据全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三边关系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可；（3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠BCA＝∠MBD，根据∠BAC＝∠BCA，推出∠ACE＝∠MBA，根据全等三角形的判定与性质求出即可．【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中AD=DE∠ADC=∠BDE∴△ADC≌△EDB（SAS），故选：B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故选：C．（3）证明：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，∵AD是△ABC中线，∴CD＝BD，在△ADC和△MDB中DC=DB∠ADC=∠MDB∴△ADC≌△MDB（SAS），∴BM＝AC，∠BCA＝∠MBD，∵∠BAC＝∠BCA，∠ACE＝∠ABC+∠BAC，∠MBA＝∠MBD+∠ABD，∴∠ACE＝∠MBA，在△ACE和△MBA中，AC=MB∠ACE=∠MBA∴△ACE≌△MBA（SAS），∴AE＝AM＝2AD．【总结提升】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．解决策略二类倍长中线典例2（2013秋•大冶市校级月考）如图，在△ABC中，点O为BC的中点，点M为AB上一点，ON⊥OM交AC于N．求证：BM+CN＞MN．【思路引领】延长NO至P，使OP＝NO，连接MP、BP，根据SAS可证△BOP≌△CON，根据全等三角形的性质，线段中垂线定理可得MN＝MP，再根据三角形三边关系即可求解．【解答】证明：延长NO至P，使OP＝NO，连接MP、BP，∵点0为BC的中点，∴BO＝CO，在△BOP与△CON中，OP=NO∠BOP=∠CON∴△BOP≌△CON（SAS），∴PB＝CN，∵MO⊥PN，OP＝ON，∴MN＝MP（线段中垂线定理），∵BM+BP＞MP，∴BM+CN＞MN．【总结提升】考查了全等三角形的判定与性质，线段中垂线定理，三角形三边关系，本题的难点是作出辅助线，将三条线段转移到一个三角形中．变式训练1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．【思路引领】延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，也可证得△ABE≌△GCE，从而可得AB＝CG，即可得到结论．【解答】AF+CF＝AB．证明：如图③，延长AE，DF交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中，CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF（等角对等边），∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．解题秘籍：本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键解决策略三过线段的两端点向中点处的线段作垂线构造全等三角形典例3如图，D为CE的中点，F为AD上一点，且EF＝AC．求证：∠DFE＝∠DAC．【思路引领】首先根据全等三角形的判定得出△DEN≌△DCM，进而得出EN＝MC，即可得出Rt△FEN≌Rt△CAM，进而得出∠DFE＝∠DAC．【解答】证明：过C作CM⊥AD于M，过E作EN⊥AD于N，在△DEN和△DCM中∠CMD=∠END∠CDM=∠EDN∴△DEN≌△DCM（AAS），∴EN＝MC，在Rt△ACM和Rt△FEM中EF=ACEN=MC∴Rt△FEN≌Rt△CAM，∴∠DFE＝∠DAC．【总结提升】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理得出是解题关键．变式训练1．（2022秋•天河区校级期中）（1）如图①，AC平分∠DAB，∠B＝∠D＝90°，若DC＝5，则BC＝5．（2）探究：如图②，四边形ABCD，AC平分∠DAB，∠B+∠D＝180°，求证：DC＝BC．（3）应用：如图③，点D、F分别在EC、AD上，若EF＝AC，且∠DFE＝∠DAC，求证：D为CE的中点．【思路引领】（1）利用角平分线的性质即可得出答案；（2）在AB上截取AE＝AD，连接CE，证△DAC≌△EAC（SAS），得DC＝EC，∠D＝∠AEC，再证∠CEB＝∠B，得EC＝BC，即可得出结论；（3）过C作CM⊥AD于M，过E作EN⊥AD于N，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】（1）解：∵AC平分∠DAB，∠B＝∠D＝90°，∴BC＝DC＝5，故答案为：5；（2）证明：在AB上截取AE＝AD，连接CE，如图②所示：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC，在△DAC和△EAC中，AD=AE∠DAC=∠EAC∴△DAC≌△EAC（SAS），∴DC＝EC，∠D＝∠AEC，∵∠AEC+∠CEB＝180°，∴∠D+∠CEB＝180°，∵∠B+∠D＝180°，∴∠CEB＝∠B，∴EC＝BC，∴DC＝BC；（3）证明：过C作CM⊥AD于M，过E作EN⊥AD于N，在△ACM和△FEN中∠EFD=∠CAD∠N=∠AMC=90°∴△ACM≌△FEN（AAS），∴EN＝MC，在△CMD和△END中∠CMD=∠N=90°∠CDM=∠EDN∴△CMD≌△END（AAS），∴DE＝DC，∴D为CE的中点．【总结提升】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加辅助线，构造出全等三角形，属于中考常考题型．2．如图，AD为△ABC的中线，E为AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于F，FG⊥AD于G．求证：AG＝EG．【思路引领】过点B作BM⊥AD于M，过点C作CN⊥AD于N，根据三角形的中线的定义可得BD＝CD，然后利用“角角边”证明△BDM和△CDN全等，根据全等三角形对应边相等可得BM＝CN，再利用“HL”证明△ACN和△EBM全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CAN＝∠BEM，然后求出∠CAN＝∠AEF，根据等角对等边可得AF＝EF，再利用等腰三角形三线合一的性质证明即可．【解答】证明：如图，过点B作BM⊥AD于M，过点C作CN⊥AD于N，∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD，在△BDM和△CDN中，∠M=∠CND=90°∠CDN=∠BDM∴△BDM≌△CDN（AAS），∴BM＝CN，在Rt△ACN和Rt△EBM中，BE=ACBM=CN∴Rt△ACN≌Rt△EBM（HL），∴∠CAN＝∠BEM，∵∠AEF＝∠BEM，∴∠CAN＝∠AEF，∴AF＝EF，∵FG⊥AD，∴AG＝EG（等腰三角形三线合一）．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，难点在于作出辅助线并两次证明三角形全等．3．如图．∠C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延长线交DE于F（1）求证：点F是ED的中点；（2）求证：S△ABC＝2S△BEF．【思路引领】（1）过点E作EM⊥CF交CF的延长线于M，根据同角的余角相等求出∠EBM＝∠A，然后利用“角角边”证明△ABC和△BEM全等，根据全等三角形对应边相等可得BC＝EM，再求出BD＝EM，然后利用“角角边”证明△EMF和△DBF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF＝DF，从而得证；（2）根据全等三角形的面积相等和等底等高的三角形的面积相等进行证明．【解答】证明：（1）如图，过点E作EM⊥CF交CF的延长线于M，∵BE⊥AB，∴∠EBM+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∵∠C＝90°，∴∠A+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，在△ABC和△BEM中，∠EBM=∠A∠C=∠M=90°∴△ABC≌△BEM（AAS），∴BC＝EM，∵BD＝BC，∴BD＝EM，在△EMF和△DBF中，∠M=∠DBF=90°∠EFM=∠DFB∴△EMF≌△DBF（AAS），∴EF＝DF，∴点F是ED的中点；（2）∵△ABC≌△BEM，△EMF≌△DBF，∴S△ABC＝S△BEM，S△EMF＝S△DBF，∵点F是ED的中点，∴S△BEF＝S△DBF=12S△BEM=12∴S△ABC＝2S△BEF．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．解决策略四中点加平行线构造8字全等典例4如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，DE⊥EC．求证：（1）DE平分∠ADC；（2）AD+BC＝DC．【思路引领】（1）延长DE交CB的延长线于F，可证得△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD＝CF，推出∠CDF＝∠F，由∠ADF＝∠F即可证明；（2）由△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD＝CF，进而利用等线段的代换可证得结论；【解答】证明：（1）延长DE交CB的延长线于F，∵AD∥CF，∴∠A＝∠ABF，∠ADE＝∠F．在△AED与△BEF中，，∴△AED≌△BEF，∴AD＝BF，DE＝EF，∵CE⊥DF，∴∠CDF＝∠F，∵AD∥CF，∴∠ADE＝∠F，∴∠ADE＝∠CDF，∴ED平分∠ADC．（2）∵△AED≌△BEF，∴AD＝BF，DE＝EF，∵CE⊥DF，∴CD＝CF＝BC+BF，∴AD+BC＝DC．【总结提升】本题考查梯形、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是因为点E是中点，所以应该联想到构造全等三角形，这是经常用到的解题思路，同学们要注意掌握．针对训练1．如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，E为CD的中点，若用S1、S2、S3分别表示△ADE、△EBC、△ABE的面积，则S1、S2、S3的关系是（）A．S1+S2＞S3 B．S1+S2＝S3 C．S1+S2＜S3 D．以上都不对思路引领：延长AE，交BC延长线于点F，则可得到△ADE≌△FCE，则AE＝EF，从而得到△AEB与△BFE是等底同高的两个三角形，即它们的面积相等，则三者的关系不难得出．解：如图，延长AE，交BC延长线于点F，∵AD∥BC，E为CD的中点，∴△ADE≌△FCE，点E是AF的中点，有AE＝EF，∴△AEB与△BFE是等底同高的两个三角形，即它们的面积相等，∴S△BFE＝S1+S2＝S3故选：B．解题秘籍：本题考查梯形，三角形的相关知识．解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为几个三角形，从而由三角形的性质来求解．2．（2021•行唐县模拟）如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；思路引领：延长BE与CD相交于点F，则EF＝BE，证明△AEB≌△△DEF，根据全等三角形的性质证明结论；解：延长BE与CD相交于点F，则