2022年小学五年级奥数寒假作业及答案难题

2022年小学五年级奥数寒假作业及答案难

题

2022年学校五班级奥数寒假作业及答案难题

第十天：

1.体育课上，30名同学面对老师站成一行，按老师口令，从左

到右报数：1,2,3,…，30,然后，老师让所报的数是2的倍

数的同学向后转，接着又让所报的数是3的倍数的同学向后转,

最终让所报的数是5的倍数的同学向后转，现在面对老师的同学

有多少人？

解：此题是容斥原理（包含排解、重叠问题）与奇偶分析的综合

题。低班级的孩子可以用枚举的方法（容斥原理没听课，所以需

要补上）：

2的倍数15个：

2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30

3的倍数10个：

3、6、9、12、15、18、21、24、27、30

5的倍数6个：

5、10、15、20、25、30

既是2又是3的倍数5个：

6、12、18、24、30

既是2又是5的倍数3个：

10、20、30

既是3又是5的倍数2个：

15、30

是2、3、5的倍数1个：

30

想要最终面对老师，那么符合这样条件的同学，要么转动了0次,

要么转动了2次。

结合上面的分析，应当很好理解了。

最终的结果为：

30-(15+10+6-5-3-2+1)+(5+3+2-3X1)=

15人

而使用容斥原理可直接用上述式子得出。

2.对于任意一个自然数n,当n为奇数时，加上121；当n为偶

数时，除以2O这算一次操作。现在对231连续进行这种操作,

在操作过程中是否可能消失100?为什么？

解：231是11的倍数，操作只有两个，一个是加121,而121也

是11的倍数，另一个操作是除以2(一个是11倍数的偶数的一

半，仍旧是11的倍数)，这两个操作都无法转变得数仍旧是11

倍数的这一性质，即在运算过程中消失的数肯定都是11的倍数,

由于100不是H的倍数，所以在题目中定义的运算里是不行能

消失100的。

假如将以上题目的231转变为任意一个11的倍数，包括0(要

先加121,即121）和11本身，那么得数中确定不会有100,这

个结论是牢靠的。但假如将231转变为任意一个不是11的倍数

的数，比如1、2、3、343甚至更大，只要不是H的倍数，就会

消失100,比如1,会在第105步得到100；2会在第106步得到

100；而34只用了16步：

第1步：34+2=17

第2步：17+121=138

第3步：138+2=69

第4步：69+121=190

第5步：190+2=95

第6步：95+121=216

第7步：216+2=108

第8步：108+2=54

第9步：54+2=27

第10步：27+121=148

第11步：148+2=74

第12步：74+2=37

第13步：37+121=158

第14步：158+2=79

第15步：79+121=200

第16步：200+2=100

那么我们能不能就说只要不是11的倍数，应用上述规章进行计

算，结果中就肯定会消失100呢？尽管做了可能的许多试验，这

个结论是正确的，但还必需经过数学证明才能下此结论。

3.有一类自然数，从第三个数字开头，每个数字都恰好是它前

面两个数字之和，这类数中最大的自然数是几？为什么？

解：根据题意，要使得数最大，那么前面的数字肯定要最小，这

样得到的结果的位数就可能大，最终的得数就大。

由于第一位只能是1,那么其次位就是0,有了这两位，依照题

目给出的规章就可以逐步计算出全部的位数，直到最终两位数字

之和大于9o

最终可得到所求的自然数是10112358o

4.(多次相遇问题)甲、乙二人以匀称的速度分别从A、B两地

同时动身，相向而行，甲、乙二人的速度分别是每小时30千米

和20千米，相遇后二人连续前进，走到对方动身点后马上返回，

已知二人其次次相遇的地点距离第一次相遇的地点是20千米，

那么，A、B两地之间的距离是多少千米？

解：如图所示，在A、B间，设甲、乙第一次相遇M点，其次次

相遇N点，并设A、N两点间的距离为a,MB两点间的距离为

b,依据题意有MN两点间的距离为20千米。

a20b

ANMB

第一次相遇时，甲走了(a+20)千米，乙走了b千米，相遇时所

用时间相同，则有：

(a+20)4-30=b4-20①

自第一次相遇点(即M点)到其次次相遇(即在N点)时，甲又

走了b+b+20,乙又走了20+a+a,可以看出甲和乙共走了A、B间

的2倍的路程，并且，依据题意又有A、B均是匀速，也就是有

甲其次次走的路程(b+b+20)是第一次相遇走的路程(a+20)的

两倍(由于总路程是两倍，所用时间也是两倍，所以有这个结论),

于是有：

(b+b+20)=2X(a+20)②

由以上①、②式联立得方程组解得：

a=10,b=20

那么A、B之间的距离