九年级数学寒假作业 公开课教学设计

2013届九年级数学寒假作业（三）一.仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）的相反数是（）A．2B．C．﹣2D．考点：相反数；绝对值．专题：计算题．分析：根据相反数的意义，在这个数的前面加上负号，化简即得出．解答：解：根据相反数的意义，的相反数为，﹣=﹣||=﹣．故选D．点评：此题考查的知识点是相反数和绝对值，关键是根据相反数的意义求其相反数，然后取绝对值符号．2．（3分）下列运算正确的是（）A．﹣（﹣a+b）=a+bB．3a3﹣3a2=aC．a+a﹣1=0D．考点：负整数指数幂；合并同类项；去括号与添括号．分析：根据去括号、合并同类项、负整数指数幂等知识点进行判断．解答：解：A、﹣（﹣a+b）=a﹣b，故错误；B、这两个式子不是同类项不能相加减，故错误；C、a+a﹣1=a+≠0，故错误；D、1﹣1=1÷=1×=．故正确，故选D．点评：本题考查了去括号、合并同类项和负整数指数幂的知识点，基础题，需要掌握．3．（3分）北京时间2010年10月1日长征三号丙火箭在位于中国四川的西昌卫星发射中心发发射，把嫦娥二号探月卫星成功送入太空．“嫦娥二号”所携带的CCD立体相机的空间分辨率小于10米，并将在距月球约100公里的轨道上绕月运行，较“嫦娥一号”的距月球200公里高的轨道要低，也就是卫星轨道距月球表面又近了一倍，“看得更加精细”．“200公里”用科学记数法表示为（）A．×102米B．×105米C．200×103米D．×104米考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：200公里=200×1000千米=200000千米=2×105米．故选B．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）下列图案由黑、白两种颜色的正方形组成，其中属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．解答：解：根据轴对称图形的定义，可知图案A、C、D不是轴对称图形，不符合题意；图案B是轴对称图形，符合题意．故选B．点评：掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（3分）（2009•乐山）为了解初三学生的体育锻炼时间，小华调查了某班45名同学一周参加体育锻炼的情况，并把它绘制成折线统计图（如图所示）．那么关于该班45名同学一周参加体育锻炼时间的说法错误的是（）A．众数是9B．中位数是9C．平均数是9D．锻炼时间不低于9小时的有14人考点：折线统计图；算术平均数；中位数；众数．专题：图表型．分析：此题根据众数，中位数，平均数的定义解答．解答：解：由图可知，锻炼9小时的有18人，所以9在这组数中出现18次为最多，所以众数是9．把数据从小到大排列，中位数是第23位数，第23位是9，所以中位数是9．平均数是（7×5+8×8+9×18+10×10+11×4）÷45=9，所以平均数是9．由以上可知A、B、C都对，故D错．故选D．点评：众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．平均数是所有数的和除以所有数的个数．6．（3分）如图所示的正方体，用一个平面截去它的一个角，则截面不可能是（A．锐角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形考点：截一个几何体．分析：让截面经过正方体的三个面，判断其具体形状即可．解答：解：截面经过正方体的3个面时，得到三角形，但任意两条线段不可能垂直，所以截面不可能是等腰直角三角形，故选C．点评：解决本题的关键是得到经过正方体的三个面的任意两条线段不可能垂直．7．（3分）如图是小明在物理实验课上用量筒和水测量铁块A的体积实验，小明在匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度的过程中，则下图能反映液面高度h与铁块被提起的时间t之间的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．分析：根据题意，在实验中有3个阶段，①、铁块在液面以下，②、铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，③、铁块完全露出时，分析液面得变化，结合选项，可得答案．解答：解：根据题意，在实验中有3个阶段，①、铁块在液面以下，液面得高度不变；②、铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，液面高度降低；③、铁块在液面以上，完全露出时，液面高度又维持不变；分析可得，B符合描述；故选B．点评：解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而得到整体得变化情况．8．（3分）一个正偶数的算术平方根是a，那么与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根（）A．a+2B．a2+2C．D．考点：算术平方根．专题：计算题．分析：首先根据算术平方根的概念先求得这个正偶数为x2，再根据算术平方根的定义即可求得与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根．解答：解：∵一个正偶数的算术平方根是x，∴这个正偶数为x2，∴与这个正偶数相邻的下一个正偶数为x2+2，∴与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是．故选C．点评：此题主要考查算术平方根的定义及其应用，比较简单．9．（3分）如图，边长为a的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心O点所经过的路径长为（）A．6aB．5aC．2aπD．考点：正多边形和圆．专题：计算题；数形结合．分析：首先求得从B到B′时，圆心O的运动路线与点F运动的路线相同，即是弧FF′的长，又由正六边形的内角为120°，求得弧FF′的圆心角为60°，则问题得解．解答：解：∵正六边形的内角为120°，∴∠BAF=120°，∴∠FAF′=60°，∴==πa，∴六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心O点所经过的路径长为πa×6=2aπ．故选C．点评：此题考查了正六边形与弧长公式等知识．解此题的关键是抓住圆心O的运动路线相当于6个弧FF′的长．注意数形结合思想的应用．10．（3分）如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直线BE、DG交于H，且HE•HB=，BD、AF交于M，当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列四个结论：①BE⊥GD；②AF、GD所夹的锐角为45°；③GD=；④若BE平分∠DBC，则正方形ABCD的面积为4．其中正确的结论个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；正方形的性质；圆周角定理．专题：动点型．分析：①由已知条件可证得△BEC≌△DGC，∠EBC=∠CDG，因为∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，所以∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正确；②若以BD为直径作圆，那么此圆必经过A、B、C、H、D五点，根据圆周角定理即可得到∠AHD=45°，所以②的结论也是正确的．③此题要通过相似三角形来解；由②的五点共圆，可得∠BAH=∠BDH，而∠ABD=∠DBG=45°，由此可判定△ABM∽△DBG，根据相似三角形的比例线段即可得到AM、DG的比例关系；④若BE平分∠DBC，那么H是DG的中点；易证得△ABH∽△BCE，得BD•BC=BE•BH，即BC2=BE•BH，因此只需求出BE•BH的值即可得到正方形的面积，可先求出BE、EH的比例关系，代入已知的乘积式中，即可求得BE•BH的值，由此得解．解答：解：①正确，证明如下：∵BC=DC，CE=CG，∠BCE=∠DCG=90°，∴△BEC≌△DGC，∴∠EBC=∠CDG，∵∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，∴∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正确；②由于∠BAD、∠BCD、∠BHD都是直角，因此A、B、C、D、H五点都在以BD为直径的圆上；由圆周角定理知：∠DHA=∠ABD=45°，故②正确；③由②知：A、B、C、D、H五点共圆，则∠BAH=∠BDH；又∵∠ABD=∠DBG=45°，∴△ABM∽△DBG，得AM：DG=AB：BD=1：，即DG=AM；故③正确；④过H作HN⊥CD于N，连接EG；若BH平分∠DBG，且BH⊥DG，易知：BH垂直平分DG；得DE=EG，H是DG中点，HN为△DCG的中位线；设CG=x，则：HN=x，EG=DE=x，DC=BC=（+1）x；∵HN⊥CD，BC⊥CD，∴HN∥BC，∴∠NHB=∠EBC，∠ENH=∠ECB，∴△BEC∽△HEN，则BE：EH=BC：HN=2+2，即EH=；∴HE•BH=BH•=4﹣2，即BE•BH=4；∵∠DBH=∠CBE，且∠BHD=∠BCE=90°，∴△DBH∽△CBE，得：DB•BC=BE•BH=4，即BC2=4，得：BC2=4，即正方形ABCD的面积为4；故④正确；因此四个结论都正确，故选D．点评：本题主要考查三角形相似和全等的判定及性质、正方形的性质以及圆周角定理等知识的综合应用，能够判断出A、B、C、D、H五点共圆是解题的关键．二.认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案11．（4分）请从4a2，（x+y）2，1，9b2中，任选两式做差得到的一个式子进行因式分解是4a2﹣1=（2a﹣1）（2a+1）．考点：因式分解的意义；整式的加减．专题：开放型．分析：任选两式做差，例如，4a2；﹣1，运用平方差公式因式分解，即可解答．解答：解：根据平方差公式，得，4a2；﹣1，=（2a）2﹣12，=（2a﹣1）（2a+1），故4a2；﹣1=（2a﹣1）（2a+1）．答案不唯一．点评：本题考查了运用平方差公式因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式；属于基础题．12．（4分）已知正整数a满足不等式组（x为未知数）无解，则函数y=（3﹣a）x2﹣x﹣1图象与x轴的坐标为（1，0），（﹣，0）．考点：抛物线与x轴的交点．专题：计算题．分析：根据不等式组无解，可得出关于a的取值范围，从而求出正整数a，再令y=0，解得x，即为函数y=（3﹣a）x2﹣x﹣1图象与x轴的横坐标．解答：解：∵不等式组（x为未知数）无解，∴a+2＞3a﹣2，解得a＜2，∴正整数a=1；∴函数的解析式为y=2x2﹣x﹣1，令y=0，则2x2﹣x﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣，∴函数y=（3﹣a）x2﹣x﹣1图象与x轴的坐标为（1，0），（﹣，0）．故答案为：（1，0），（﹣，0）．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点坐标以及不等式组的正整数解，确定a的值是解此题的关键．13．（4分）如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为6米．考点：相似三角形的应用；平行投影．专题：几何图形问题．分析：根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得=；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．解答：解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=3，FD=12，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，有=，即DC2=ED•FD，代入数据可得DC2=36，DC=6，故答案为6．点评：本题考查了通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小，是平行投影性质在实际生活中的应用，难度适中．14．（4分）如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=50°，∠C=70°，则sin∠ODB=．考点：圆周角定理；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：欲求∠ODB的正弦值，只需求出∠ODB的度数即可，根据图示可知，∠ADB=90°，又∠B=50°，∠C=70°，可得出∠A=60°，∠ABD=30°，即有∠AOD=60°，在△AOD中，可得出∠ODA=60°，即∠ODB=30°．sin∠ODB=．解答：解：结合题意，可知，∠ADB=90°，又∠B=50°，∠C=70°，可得出∠A=60°，即有∠ABD=30°，且∠BOD=120°，在△BOD中，可得出∠ODB=30°，即sin∠ODB=，故答案为．点评：本题考查的是圆周角定理以及常用的正余弦知识，要知道在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等．15．（4分）图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是多少？考点：勾股定理．分析：由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．解答：解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169所以x=13所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．点评：本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．16．（4分）（2010•南宁）如图所示，点A1，A2，A3在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3，分别过点A1，A2，A3作y轴的平行线，与反比例函数y=（x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3，分别过点B1，B2，B3作x轴的平行线，分别于y轴交于点C1，C2，C3，连接OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为．考点：反比例函数综合题；反比例函数系数k的几何意义．专题：规律型．分析：先根据反比例函数上的点向x轴y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k值得到S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3=k=4，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到3个阴影部分的三角形的面积从而求得面积和．解答：解：根据题意可知S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3=k=4∵OA1=A1A2=A2A3，A1B1∥A2B2∥A3B3∥y轴设图中阴影部分的面积从左向右依次为s1，s2，s3则s1=k=4，s2：S△OB2C2=1：4，s3：S△OB3C3=1：9∴图中阴影部分的面积分别是s1=4，s2=1，s3=∴图中阴影部分的面积之和=4+1+=．故答案为：．点评：此题综合考查了反比例函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点向x轴y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k值．三.全面答一答（本题有8个小题，共66分）17．（6分）①存在两个不同的无理数，它们的积是整数；②存在两个不同的无理数，它们的差是非零整数；③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数．先判断这3个结论分别是正确还是错误的，如果正确，请举出符合结论的两个数．考点：实数的运算．分析：根据已知可以分别举出符合条件的例子，从而证明结论的正确性．解答：解：∵①存在两个不同的无理数，它们的积是整数；∵（+1）（﹣1）=1，∴①正确；②存在两个不同的无理数，它们的差是非零整数；∵（+1）﹣（﹣1）=2，∴②正确；③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数．∵+=1，=2．故3个结论都是正确的．点评：此题主要考查了实数运算的性质，是各地中考题中常见的计算题型，熟练应用有理数与无理数的定义是解决问题的关键．20．（8分）某商场为了迎接“六一”儿童节的到来，制造了一个超大的“不倒翁”．小灵对“不倒翁”很感兴趣，原来“不倒翁”的底部是由一个空心的半球做成的，并在底部的中心（即图中的C处）固定一个重物，再从正中心立起一根杆子，在杆子上作些装饰，在重力和杠杆的作用下，“不倒翁”就会左摇右晃，又不会完全倒下去．小灵画出剖面图，进行细致研究：圆弧的圆心为点O，过点O的木杆CD长为260cm，OA、OB为圆弧的半径长为90cm（作为木杆的支架），且OA、OB关于CD对称，弧AB的长为30πcm．当木杆CD向右摆动使点B落在地面上（即圆弧与直线l相切于点B）时，木杆的顶端点D到直线l的距离DF是多少cm？考点：弧长的计算；解直角三角形．分析：根据弧长的公式先求出∠AOB=60°，从而∠BOE=∠COB=30°，再根据三角函数的知识求出木杆的顶端点D到直线l的距离DF．解答：解：∵弧AB的长为30πcm，OA、OB为圆弧的半径长为90cm．根据弧长的公式l=，得到：30π=，解得n=60°，即∠AOB=60°，从而∠BOE=∠COB=30°，∵OB=90cm，∴OE=cm，∴DE=170+cm，∴DF=90+cm．点评：本题主要考查了弧长的公式l=，及三角函数的知识，有一定的难度．21．（8分）“五一”期间，国美电器商城设计了两种优惠方式：第一种是打折优惠，凡是在该商城购买家用电器的客户均可享受八折优惠；第二种方式是：赠送购物券，凡在商城三天内购买家用电器的金额满400元且少于600元的，赠购物券100元；不少于600元的，所赠购物券是购买电器金额的，另再送50元现金（注：每次购买电器时只能使用其中一种优惠方式）（1）以上两种促销方式中第二种方式，可用如下形式表达：设购买电器的金额为x﹙x≥400﹚元，优惠金额为y元，则：①当x=500时，y=100；②当x≥600时，y=x+50；（2）如果小张想一次性购买原价为x﹙400≤x＜600﹚元的电器，在上面的两种促销方式中，试通过计算帮他确定一种比较合算的方式（3）如果小张在三天内在此商城先后两次购买电器时都得到了优惠券（且第二次购买时未使用第一次的优惠券），所得优惠券金额累计达800元，设他购买电器的金额为W元，W至少应为多少（W=支付金额一所送现金金额）考点：一次函数的应用．分析：实际第一种打折优惠即y=；第二种方式是：y=0，（0＜x＜400）；y=100，（400≤x＜600）；y=x+50，（x≥600），依此求解．（1）代入法求出①，当x≥600时，购买电器的金额×=优惠劵金额求出②（2）确定一种比较合算的方式，即优惠金额多，根据相应的函数计算．（3）根据两种优惠方式的函数式知，不少于600元和不超过600大于400的，二种方式进行计算，由W=支付金额一所送现金金额，求出W的最小值．解答：解：（1）当x=500时，y=100；当x≥600时，y=x+50．（2）当400≤x＜500时，第二种方式为：赠购物券100元，第一种方式是y=，最多优惠小于100元，∴第二种方式比较合算；当500＜x≤600时，第二种方式为：赠购物券100元，第一种方式是y=，最多优惠大于100元，∴第一种方式比较合算；当x=500时，第二种方式为：赠购物券100元，第一种方式是y==100元，∴x=500时同样合算；（3）设第一次花m元，第二次花n元．①当400≤m＜600，n＞600时，n+100=800，解得n=2800，2800+400﹣50=3150元.2800+600﹣50=3350元，所以3150≤W＜3350，最少为3150元；②m＞600，n＞600时，m+n=800，解得m+n=3200，3200﹣50×2=3100元．点评：本题重点考查了一次函数和实际应用相结合的问题，注意要依题意确定一种比较合算的方式．22．（10分）将军家俱市场现有大批如图所示的边角余料（单位：cm），城西中学数学兴趣小组决定将其加工成等腰三角形，且方案如下：（1）三角形中至少有一边长为10cm；（2）三角形中至少有一边上的高为8cm，请在备用图上画出分割线，并求出相应图形面积．考点：勾股定理；三角形的面积．专题：方案型；操作型．分析：（1）由图形可知，要求有又一边为10cm，可以将其作为三角形的一斜边，将另一边的边长截为10cm．（2）利用勾股定理和三角形求面积公式，即可求出．解答：解：由勾股定理得：AB=则如图（1）AD=AB=10cm时，BD=6cm，S△ABD==48cm2；（3分）如图（2）BD=AB=10cm时，S△ABD==40cm2；（6分）如图（3）线段AB的垂直平分线交BC延长线于点D，则AB=10，设DC=x，则AD=BD=6+x，在Rt△ACD中，S△ABD==；答：可以设计出面积分别为48cm2、40cm2和cm2的等腰三角形．（10分）点评：主要考查了学生对三角形的认识和对勾股定理的灵活运用．23．（10分）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点C（0，5）（长度单位：m）（1）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为的地毯，地毯的价格为20元/m2，求购买地毯需多少元？（2）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并增加铺设斜面EG和HF，已知矩形EFGH的周长为，求增加斜面的长．考点：二次函数的应用．专题：经济问题；数形结合．分析：（1）求出抛物线与x轴交点的坐标，AB的长度即可求得，再由已知顶点C的坐标，根据平移的性质求得地毯的总长度，进一步求得面积解决问题；（2）设出抛物线点G的坐标，分别表示出矩形的长和宽，并利用矩形的周长求得长和宽，进一步利用矩形的性质及勾股定理解答问题．解答：解：（1）因为顶点C（0，5），c=5，所以OC=5，令y=0，即，解得x1=10，x2=﹣10，∴AB=10﹣（﹣10）=20，∴地毯的总长度为：AB+2OC=20+2×5=30，∴30××20=900（元）．答：购买地毯需要900元．（2）设G的坐标为，其中m＞0，则．由已知得：2（EF+GF）=，即，解得：m1=5，m2=35（不合题意，舍去），把m1=5代入=．∴点G的坐标是（5，）．∴EF=10，GF=；∴，又∵EG=HF，∴．答：斜面的长为．点评：此题主要