高考物理核心高频考点专题备考专题45 带电粒子在匀强磁场中的多解问题（解析版）

专题45带电粒子在匀强磁场中的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,由于多种因素的影响,使问题形成多解。多解形成原因一般包含4个方面:类型分析图例带电粒子电性不确定受洛伦兹力作用的带电粒子,可能带正电,也可能带负电,在相同的初速度下,正、负粒子在磁场中运动轨迹不同,形成多解。如图所示,带电粒子以速度v垂直磁感线进入匀强磁场,如带正电,其轨迹为a;如带负电,其轨迹为b磁场方向不确定在只知道磁感应强度大小,而未具体指出磁感应强度方向时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。如图所示,带正电粒子以速度v垂直磁感线进入匀强磁场,若B垂直纸面向里,其轨迹为a,若B垂直纸面向外,其轨迹为b临界状态不唯一带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹是圆弧状,因此,它可能穿过磁场飞出,也可能转过180°从入射界面这边反向飞出,于是形成多解运动具有周期性带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时,运动往往具有周期性,因而形成多解【典例1】[带电粒子电性不确定的多解问题]（多选）如图所示，一磁感强度为B的匀强磁场垂直纸面向里，且范围足够大。纸面上M、N两点之间的距离为d，一质量为m的带电粒子(不计重力)以水平速度v0从M点垂直进入磁场后会经过N点，已知M、N两点连线与速度v0的方向成30°角。以下说法正确的是(

)A.粒子可能带负电

B.粒子一定带正电，电荷量为mv0dB

C.粒子从M点运动到N点的时间可能是πd3v0

D.【答案】BCD【解析】根据题意作出粒子运动的轨迹如图所示：A.根据左手定则及曲线运动的条件判断出此电荷带正电，故A错误；B.由几何知识可知：d=MN=r，根据洛伦兹力提供向心力Bqv0=mv02r，解得q=mv0dB，故B正确；

CD.粒子由M运动到M时速度方向改变了60°角，所以粒子轨迹对应的圆心角为θ=n×360°+60°，所以粒子运动的时间为t=θ360°T=(n+16【典例2】[利用对称性讨论的多解问题]（多选）如图，虚线MN的上方有垂直纸面的匀强磁场，两电性相同、质量相等的粒子1、2先后从磁场边界的O点沿纸面射入磁场内，射入时粒子1、2的速度v1、v2与磁场边界的夹角分别为30°、60°已知两粒子在磁场中的运动时间相同，不计粒子重力，则粒子1、2A.带电量之比可能为4：1 B.带电量之比可能为5：2

C.运动半径之比可能为4v1:v【答案】BC【解析】AB、假设磁场垂直纸面向里，根据粒子在直线边界磁场运动的对称性，若粒子带负电，则粒子1的偏转角α=360°−2×30°=300°，2的偏转角β=2×60°=120°，偏转角之比为5:2，若粒子带正电，则粒子1的偏转角α=2×30°=60°，2的偏转角β=360°−2×60°=240°，偏转角之比为1:4，粒子在匀强磁场中的运动周期，运动时间为为偏转角)，因为运动时间t相同，质量m相同，所以电量之比等于偏转角之比，即当粒子带负电时，电量之比为5:2，粒子带正电时，电量之比为1:4，故A错误，B正确；CD、粒子在匀强磁场中的运动半径为R=mvBq，因为质量m相同，所以带粒子带负电时，半径之比为2v1:5v2，粒子带正电时，半径之比为4v1:【典例3】[速率不同的多解问题]（多选）如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点。若一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°的方向(如图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是A.该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场

B.若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0

C.若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是32t0

D.【答案】AD【解析】由题意可知带电粒子以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场，则知带电粒子的运动周期为T=2t0。随粒子速度逐渐增大，轨迹由①→②→③→④依次渐变，由图可以知道粒子在四个边射出时，射出范围分别为OG、FE、DC、BA之间，不可能从四个顶点射出，所以A项正确；当粒子从O点沿纸面垂直于cd边射入正方形内，轨迹恰好为半个圆周，即时间t0刚好为半周期，从ab边射出的粒子所用时间小于半周期t0，从bc边射出的粒子所用时间小于23T=4t03，所有从cd边射出的粒子圆心角都是300°，所用时间为【典例4】[运动过程的周期性的多解问题]如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外。三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子(质子重力不计、质子间的相互作用可忽略)，所有质子均能通过D点，已知质子的比荷qm=k，则质子的速度不可能为（A.BkL2 B.BkL C.3BkL2 【答案】C【解析】质子带正电，且经过D点，其可能的轨迹如图所示：所有圆弧所对圆心角均为60°，所以质子运行半径：r=Ln(n=1,2,3,…)，质子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB=mv2r，

解得：v=Bqrm=BkLn(n=1,2,3,…)，当n=1、2、3时，【点对点01】如图所示，由光滑弹性绝缘壁构成的等边三角形ABC容器的边长为a，其内存在垂直纸面向外的匀强磁场，小孔O是竖直边AB的中点，一质量为为m、电荷量为+q的粒子(不计重力)从小孔O以速度v水平射入磁场，粒子与器壁多次垂直碰撞后(碰撞时无能量和电荷量损失)仍能从O孔水平射出，已知粒子在磁场中运行的半径小于a2，则磁场的磁感应强度的最小值Bmin及对应粒子在磁场中运行的时间t为(    )A.Bmin=2mv0qa，t=7πa6v B.Bmin=2mv【答案】C【解析】粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，则Bqv=mv 2r，得r=mvqB，因粒子从O孔水平射入后，最终又要水平射出，则有(2n+1)r=a2，(n=1、2、3…)，联立得B=2(2n+1)mvqa，当n=1时B取最小值，Bmin 【点对点02】如图所示，圆形区域直径MN上方存在垂直于纸面向外的匀强磁场，下方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小相同．现有两个比荷相同的带电粒子a、b，分别以v1，v2的速度沿图示方向垂直磁场方向从M点入射，最终都从N点离开磁场，则(

A.粒子a、b可能带异种电荷

B.粒子a从N点离开磁场时的速度方向一定与初速度v1的方向垂直

C.v1:v2可能为2:1

【答案】C【解析】A、两粒子都从M点入射从N点出射，则a粒子向下偏转，b粒子向上偏转，由左手定则可知两粒子均带正电，故A错误；B、设磁场半径为R，将MN当成磁场的边界，两粒子均与边界成45°入射，由运动对称性可知出射时与边界成45°，则一次偏转穿过MN时速度偏转90°；同理第二次穿过MN时速度方向再次偏转90°与初速度方向平行，故B错误；CD、两粒子可以围绕MN重复穿越，运动有周期性，设a粒子重复k次穿过MN，b粒子重复n次穿过MN，由几何关系可知k⋅2r1=2R(k=1,2,3…)，n⋅2r2=2R(n=1,2,3…)，

由洛伦兹力提供向心力qvB=mv2r，可得v=qBrm，而两个粒子的比荷相同，可知v1v2=nk，如n=1，k=1时，v1【点对点03】（多选）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B.一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m(重力不计)、电荷量为q(q>0)的同种粒子，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab=L，则粒子的速度可能是(    )A.3qBL6m B.3qBL3m C.【答案】AB【解析】解：粒子可能在两个磁场间做多次的运动，画出可能的粒子轨迹，如图所示，所有圆弧的圆心角均为120°，根据几何关系可得粒子运动的半径为：r=33⋅Ln(其中n=1，2，3，…)根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB=mv2r联立可得：v=qBrm=3qBLn⋅3m(其中n=1，2，3，【点对点04】（多选）如图所示，直线MN与水平方向成θ=30°角，MN的右上方区域存在磁感应强度大小为B、方向水平向外的匀强磁场，MN的左下方区域存在磁感应强度大小为2B、方向水平向里的匀强磁场，MN与两磁场均垂直。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为q(q>0)的同种粒子(粒子重力不计)，所有粒子均能通过MN上的b点。已知ab=L，MN两侧磁场区域均足够大，则粒子的速率可能是(    )A.9BL8m B.qBL6m C.qBL2m【答案】BD【解析】设粒子速率为v，根据粒子在磁场中运动，洛伦兹力做向心力可得：B′vq=mv2R；那么，粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径R=mvB′q；所以，粒子在MN的右上方区域的轨道半径情况一：ab=L=n(R1+R2)=3nmv2qB，n∈N∗；故粒子速率为：v=2qBL3nm,n∈N∗，

情况二：L=nR1【点对点05】（多选）如图所示，边长为L的正方形虚线框内充满着垂直于纸面的匀强磁场，虚线AC及其上方的框内磁场方向向里，虚线AC下方的框内磁场方向向外，磁感应强度大小均为B。现有两个比荷相同的带电粒子a、b，分别以v1、v2的速度沿图示方向垂直磁场方向射入磁场，并分别从B、C两点离开磁场，设a、b两粒子在磁场中运动的时间分别为t1、tA.粒子a一定带正电，粒子b一定带负电B.v1:v2可能等于1:2

C.v1:v【答案】ABD【解析】A、做出粒子的可能的运动轨迹，结合左手定则可知：粒子a带正电，粒子b带负电，选项A正确；

BC、由题图结合几何关系可知：r1=22L，r2=2nL，(其中n=1、2、3、……)，根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB=mv2r，解得：v=qBrm，所以：v1：v2=r1：r2=n：2，故B正确，C错误；D、粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=2πrv=2πmqB，t1=T4，t2=n⋅T6(其中n=1、2、3、……)，所以：t1：t2=3：2n，(其中n=1、2、3、……)，可知若n=1时，t1：t2=3：2，故D正确；故选：ABD。

【点对点06】如图所示，在空间中有一坐标系A.该粒子一定沿y轴负方向从O点射出

B.该粒子射出时与y轴正方向夹角可能是74°

C.该粒子在磁场中运动的最短时间t=53πm60qB

D.【答案】B【解析】

A、粒子进入磁场中受到洛伦兹力而做匀速圆周运动，对于直线边界，考虑轨迹圆的对称性，粒子进入磁场与离开磁场时速度方向与边界的夹角相等，故粒子不可能从Ⅰ区到达O点，故一定是从Ⅱ区到达O点；画出可能的轨迹，如图所示：tanα=3L4L=0.75得α=37°，α+β=90°故该粒子一定沿y轴负方向从O点射出，故A正确，B错误；C、设粒子的入射速度为v，用R1，R2，T1，T2分别表示粒子在磁场I区和II区中运动的轨道半径和周期，则：qvB=mv2R1；qv(2B)=mv2R2

周期分别为：T1=2πR1v=2πmqB；T2=2πR2v=πmqB

粒子先在磁场I区中做顺时针的圆周运动，后在磁场II区中做逆时针的圆周运动，然后从O点射出，这样粒子从P点运动到O点所用的时间最短。粒子在磁场I区和II区中的运动时间分别为：t1=2β2π⋅T1；t2=2β2πT2

粒子从P点运动到O【点对点07】（多选）如图所示，EF和MN两平行线将磁场分割为上、下两部分，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里．现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)从EF线上的A点以速度v斜向下射入EF下方磁场，速度与边界成30°角，经过一段时间后正好经过C点，经过C点时速度方向斜向上，与EF也成30°角，已知A、C两点间距为L，两平行线间距为d，下列说法中正确的是(

)A.粒子不可能带负电

B.磁感应强度大小可能满足B=mvqL

C.粒子到达C点的时间可能为7πm3Bq+【答案】BCD【解析】由题意可知，粒子运动的轨迹可能有以下几种情形：

A.若粒子带负电，粒子可沿图甲轨迹通过C点，故A错误；B.如果粒子带正电，且直接偏转经过C点，如图乙所示，由几何关系可知：R=L，由qvB=mv2R得B=mvqL，故B正确；C.在图丙所示情形中粒子到达C点所用时间正好为t=56T+16T+16T+4dv=7πm3Bq+【点对点08】如图，光滑水平桌面上有一个矩形区域cdef，cf长度为L，cd长度为1.5L，cdef区域存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为−q的绝缘小球(可视为质点)以大小为kqBLm的初速度从f点向右进入磁场区域。

(1)若小球从ed边离开磁场，求k的最大值；

(2)若ef左边有水平向左的匀强电场(图中未画出)，小球从ed边中点离开磁场，求k的可能值。【答案】解：(1)小球进入磁场以后，将做匀速圆