大学《微积分》课件1无穷级数的概念与性质

第七章无穷级数§7.4任意项级数绝对收敛§7.5幂级数§7.3正项级数§7.2无穷级数的基本性质§7.1无穷级数的概念§7.7某些初等函数的幂级数展开§7.8幂级数的应用举例§7.6泰勒公式和泰勒级数引例1.则小球运动的时间为设

tk

表示第

k

次小球落地的时间,

分析:弹性小球跳动次数无穷小球完成无穷次跳动所用的时间是否是有限的？“无限个数相加”设有弹性的小球自高1m处无初速地下落，落下后又弹起.若每次弹起的高度为前次下落高度的一半，如此往复不已，问小球是否会停止跳动？

如何求？引例2.分析:求1+(–1)+1+(–1)+…如果将上式写成

(1–1)+

(1–1)+

(1–1)+…=0+

0+

0+…=0如果写成

1+[(–1)+

1]+[(–1)+

1]+…=1+0+

0+…=1启示:“无限个数相加”不能简单引用有限个数相加求和的概念1、无穷级数

给定一个数列{un}

则由这数列构成的表达式

u1

u2

u3

un

其中第n项un叫做级数的通项

调和级数§7.1无穷级数的概念1、无穷级数

给定一个数列{un}

则由这数列构成的表达式叫做无穷级数(简称级数)

2、级数的部分和级数的前n项和

Sn

u1

u2

u3

un称为级数的部分和

S1

u1，S2

u1

u2，S3

u1

u2

u3，S4

u1

u2

u3

u4，…如：S1，S2，S3，S4，S5，…部分和数列3、级数敛散性定义

它们之间的差值

Rn

S

Sn

un

1

un

2

叫做这级数的余项

3、级数敛散性定义

注：判别级数的敛散性判别它的部分和数列的敛散性求级数的和求部分和数列的极限实质实质先求部分和再求极限4、判断级数敛散性的方法：

解

如果q

1

则部分和

当q

1时

Sn随着n为奇数或偶数而等于a或等于零

几何级数当时收敛，其和为；当时，级数发散.综上：几何级数的敛散性例如：几何级数其和为公比为例如：小球一定能停止跳动！例如：1+(–1)+1+(–1)+…公比为–1发散

解

所以这级数收敛

它的和是1

技巧:利用“拆项相消”求和

解

例3

判别级数的收敛性

(ln2

ln1)

(ln3

ln2)

(ln4

ln3)

(ln(n

1)

lnn)

ln(n

1)

所以级数发散

1.判断级数的敛散性.发散练习

2.判断级数的敛散性.定理7

1Sn、Wn、Tn

则§7.2无穷级数的基本性质定理7

1定理7

2不为零的常数a后

所得到的级数也收敛

且其和为aS

例4.判断下列级数的敛散性收敛发散收敛定理7

1定理7

2定理7

3举例

也是收敛的

定理7

1定理7

2定理7

3举例

也是收敛的

例5.

设级数的前n项部分和，判定级数的敛散性.若级数收敛，求它的和.解:因为所以级数收敛，其和为由定理7.3收敛.定理7

1定理7

2定理7

3定理7

4

如果一个级数收敛

则加括号后所成的级数也收敛

且与原级数有相同的和

应注意的问题

如果加括号后所成的级数收敛

则不能断定去括号后原来的级数也收敛

定理7

4

如果一个级数收敛

则加括号后所成的级数也收敛

且与原级数有相同的和

(1

1)+(1

1)+

收敛于零

但级数

1–1+1

1+

却是发散的

如果加括号后所成的级数发散

则原级数也必发散

对于正项级数

无论加括号或去括号

都不影响它的敛散性

例如

级数定理7

5(级数收敛的必要条件)

如果级数注:

1.级数的通项趋于零并不是级数收敛的充分条件

例6.

判断级数的敛散性.

这是以后我们判定一个级数发散的重要结论.发散

公元前5世纪，以诡辩著称的古希腊哲学家芝诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：

如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑，让乌龟在阿基里斯前头1000米开始，假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍，也永远追不上乌龟.芝诺的理论依据是：当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟仍然前于他10米，…