混凝土悬臂与连续体系梁桥的计算

桥梁工程

(BridgeEngineering)第二篇混凝土梁桥和刚架桥第四章混凝土悬臂与连续体系

梁桥的计算4-1

结构恒载及活载内力计算4-2结构次内力计算4-3

牛腿计算4-4悬臂施工时挠度和预拱度计算--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------第一节结构恒载及活载内力计算一、恒载内力计算简支梁桥：是按照成桥以后的结构图式进行分析；连续梁桥等超静定结构：应根据它所采用的施工方法来确定其计算图式。

以连续梁为例，施工方法大体有以下几种：整体施工法；简支—连续施工法逐孔施工法；悬臂施工法；顶推施工法等。1.计算特点可按照成桥状态，一次建立结构计算图式按施工过程，分阶段建立结构受力图式单跨固定梁分别采用整体现浇和分段现浇的施工方法自重内力图2.悬臂浇筑施工时连续梁的恒载内力计算3.顶推法施工时连续梁桥的恒载内力计算全桥每个截面的内力不断地从负弯矩一正弯矩一负弯矩…呈反复性的变化。

为了改善这种施工方法带来的负面影响，一般采用以下措施：在顶推梁的最前端设置临时钢导梁(又称鼻梁)，长度约为主梁跨径L的0.6～0.7倍左右；当主梁跨径较大(一般≥60m)时，可设置临时墩，或增设三角形临时钢斜托；配置适量的临时预应力钢束。台座上梁段不参与计算，靠近台座的桥台处可取为完全铰；每个顶推阶段均按该阶段全桥实际跨径布置和荷载图式进行整体内力分析，而不是对不同阶段计算进行叠加，即截面内力是流动的、而不是叠加的。1）计算假定2）最大正弯矩截面的计算顶推连续梁计算图示3）最大负弯矩截面计算导梁接近前方支点:前支点支承在导梁约一半长度处:4)一般梁截向的内力计算各支点截面在端弯矩Md作用下的弯矩：各支点截面在主梁自重作用下的弯矩：各支点截面的总恒载弯矩Mi为：

导梁完全处在悬臂状态，多跨连续梁可分解为下图所示的两种情况计算，然后叠加。对弯矩无影响等截面等跨径连续梁在端弯矩作用下支点弯矩系数跨数各支点截面弯矩系数η1nM0M1M2M3M4M5M6M7M8M9M1010-1200.250000-130-0.0666670.266667-1400.017857-0.0714290.267857-150-0.0047850.019139-0.0717710.267943-1600.001282-0.0051280.019231-0.0717950.267949-170-0.0003440.001374-0.0051530.019237-0.0717970.267949-1800.000092-0.0003680.001381-0.0051550.019238-0.0717970.267949-190-0.0000250.000097-0.0003700.001381-0.0051550.019238-0.0717970.267949-11000.000007-0.0000260.000099-0.0003700.001381-0.0051550.019238-0.0717970.267949-1等截面等跨径连续梁在自重作用下支点弯矩系数

跨数各支点截面弯矩系数η2nM0M1M2M3M4M5M6M7M8M9M1010020-0.125000030-0.100000-0.100000040-0.107143-0.071428-0.107143050-0.105263-0.078947-0.078947-0.105263060-0.105769-0.076923-0.086538-0.076923-0.105769070-0.105634-0.077465-0.084507-0.084507-0.077465-0.105634080-0.105670-0.077320-0.085052-0.082474-0.085052-0.077320-0.105670090-0.105660-0.077358-0.084906-0.083019-0.083019-0.084906-0.077358-0.1056600100-0.105663-0.077348-0.084945-0.082873-0.083564-0.082873-0.084945-0.077348-0.1056630【例2-4-1】如图所示,设主梁的荷载集度q自=10kN/m，导梁长度l导＝βl=0.65×40＝26m，荷载集度q导=1kN/m(γ=0.1)，导梁与主梁的刚度比E导I导/EI=0.15，试计算该主梁的最大和最小的弯矩值。方法1：按近似公式计算1)求主梁最大正弯矩值方法2：4号结点的弯矩3号中支点截面的弯矩系数分别为：3号支点总弯矩为：最大正弯矩值为：2)求主梁最大负弯矩值按导粱接近前方支点的计算图式:按导梁中点支在3号墩顶的图式(d)计算:此值与有限元法程序的计算使-1958kN·m十分吻合。经比较，以按此图式算得的负弯矩值最大，该截面距主梁前端的距离约为27m。二、箱梁剪力滞效应及有效宽度1.剪力滞概念

由于箱梁腹板的存在，剪应力在顶、底板上的分布是不均匀的，腹板处最大、远离腹板逐渐减小，这种现象称之为“剪力滞后现象”。2.有效宽度的实用计算法1)原理

实际设计按精确剪力滞计算公式或空间有限元来分析截面应力不方便；往往采用偏安全的实用计算方法—翼缘有效宽度法，其步骤：①按平面杆系结构理论计算箱梁截面内力（弯矩）→

②用有效宽度折减系数将箱形截面翼缘宽度进行折减→

③按照折减后的截面尺寸进行配筋设计和应力计算。有效分布宽度定义：

按初等梁理论公式算得的应力与实际应力峰值接近相等的那个翼缘折算宽度，称做有效宽度。2)规范规定我国新公路桥规，对箱形截面梁在腹板两侧上、下翼缘的有效宽度bmi作如下规定：(1)简支梁、连续梁各跨中部梁段，悬臂梁中间跨中部梁段(2)简支梁支点，连续梁边、中支点，悬臂梁悬臂段箱形截面翼缘有效宽度

简支梁和连续梁各跨中部梁段、悬臂梁中间跨中部梁段翼缘的有效宽度；简支梁支点、连续梁边支点和中间支点、悬臂梁悬臂段翼缘的有效宽度；取值：

结构体系简支梁连续梁边跨中间跨悬臂梁(3)当梁高

h≥bi/0.3时，翼缘有效宽度采用翼缘实际宽度。(4)

计算预加力引起混凝土应力时，由预加力作为轴向力产生的应力可按翼缘全宽计算；由预加力偏心引起的弯矩产生的应力可按翼缘有效宽度计算。(5)对超静定结构进行内力分析时，箱形截面梁翼缘宽度可取全宽。三、活载内力计算——与施工方法无关

非简支体系梁桥的荷载横向分布系数mi和内力影响线竖标yi，分别作一些补充介绍。1.荷载横向分布计算的等代简支梁法①将多室箱梁假想地从各室顶、底板中点切开，使之变为由n片T形梁(或I字形梁)组成的桥跨结构。1）基本原理②

按照在同等集中荷载P=1作用下

跨中挠度W相等的原理来反算抗弯惯矩换算系数Cw。即：③

同理：令实际梁与等代梁在集中扭矩T=1作用下扭转（自由扭转）角相等的条件来反求连续梁中跨的抗扭惯矩换算系数Cθ，即：各跨换算系数求出后，代入修正偏心压力法公式。修正偏心压力法公式：修正抗扭修正系数：同理，连续梁边跨也是在其中点施加P=1和T=1分别来反算该跨的换算系数Cw和。①CW表达式

图d中跨等代梁在P作用下，跨中挠度W代为：截面抗弯刚度为EIc的简支梁跨中挠度为W简为：两式比较，得：具有与实际梁跨中截面抗弯惯矩Ic相同的等截面简支梁跨中挠度非简支体系梁桥中某跨跨中挠度2）Cw的计算②

悬臂体系悬臂跨的CW计算a)悬臂梁桥有悬臂端，故等代简支梁的跨长应取悬臂跨长的两倍，且作用于跨中集中力P=2。→b)变截面悬臂梁端部的挠度W非可用力学中的各种近似方法（图解解析法、纽玛克法等）或者平面杆系有限元法程序求解→c)等代简支梁的跨中挠度W简可容易得出→d)将W非和W简值代入式（4-3-3），便可确定出等代简支梁抗弯惯矩换算系数CW。3）Cθ的计算一般形式：悬臂体系：（变截面）4)荷载增大系数

工程上为了计算的简化和偏安全取值起见，可假定图中每片梁均达到了边梁的荷载横向分布系数mmax，于是引入荷载增大系数ζ的概念，它可表为：【例2-4-2】图所示三跨变高度连续箱梁桥的跨径组合为40+60+40m，混凝土为C40，截面周边平均尺寸变化规律示于图b)及表中，试求边跨及中跨抗扭修正系数β及边跨的荷载增大系数。1）Cw的计算解：①计算边跨和中跨的跨中截面抗弯惯矩Ic②分别计算该两跨的简支梁跨中挠度(单位为m)：③应用平面杆系有限元计算程序分别计算边跨和中跨跨中在集中力P作用下的跨中挠度：④计算两跨的抗弯惯性矩换算系数Cw：2）Cθ的计算①计算各截面抗扭惯矩ITi以图中0号截面为例进行计算：②计算两跨的抗扭惯性矩换算系数Cθ：3)抗扭修正系数β计算边跨中跨4）荷载增大系数ξ计算①左侧1﹟腹板的荷载横向分布影响线②左侧1﹟腹板的荷载横向分布系数

按荷载横向分布影响线进行内插，可得两行车和三行车合力作用点所对应的竖标分别为0.5368和0.5163。对于两行车的荷载横向分布系数：对于三行车的荷载横向分布系数：③求荷载增大系数对于二车道：对于三车道：经比较，对于边跨应取ζ＝2.41632.非简支体系梁桥的内力影响线1）双悬臂梁桥属静定结构，主梁（等高、变高）的内力影响线均呈线性变化。①跨中截面除存在正弯矩影响线区段外，还存在负弯矩影响线区段，直至两侧挂梁的最外支点C和D。②支点A存在负弯矩影响线区段，其受影响的范围仅局限在相邻的挂梁及悬臂段。③支点A内、外（左、右）侧的剪力影响线的分布规律是截然不同的，其左侧的影响线亦仅限于相邻的挂梁和悬臂段。④支点A的反力影响线均受两侧悬臂及挂梁段的影响，但它们符号相反，影响线竖标值的大小也不同。2）T形刚构T形刚构的控制截面主要是悬臂根部截面。与双悬臂梁的影响线相比的共同点：①影响线均呈线性分布；②每个T构受荷载影响的区段仅局限在两侧挂梁的外支点以内。二者的差异：①T构上无正弯矩影响线区段②T构的墩身截面也受桥面荷载影响，其单侧影响线分布规律与T构根部截面相同。3）连续梁桥①属超静定结构，各种内力影响线的基本特点是呈曲线分布的形式；②计算公式比悬臂梁桥复杂得多，尤其当跨径不等且截面呈变高度时，手算十分困难，只能应用计算机方法求数值解；③等截面连续梁桥可直接从《手册》中查到欲算截面的内力影响线竖标值；④不论等截面还是变截面，在跨径相同时，连续梁内力影响线的分布形式是相似的。用机动法，可很快得到各种内力影响线分布规律，据此考虑如何进行纵向布载，或用来判断计算机程序的结果有无差错。4）连续刚构①连续刚构桥内力影响线要比连续梁桥更复杂，是因墩与梁固结、共同受力，用机动法很难准确得到影响线示意图，故只能借助计算机程序来完成。其中有的影响线在同一跨内出现反号，这在相同跨径的连续梁桥中就不会出现。第二节结构次内力的计算一、次内力的概念

超静定结构(连续梁和连续刚构等)因各种强迫变形(例如预应力、徐变、收缩、温度及基础沉降等)而在多余约束处产生的附加内力，统称次内力或二次内力。静定结构超静定结构初预矩二、预应力次内力计算1.基本假定1)预应力筋的摩阻损失忽略不计(或按平均分布计入）；2)预应力筋贯穿构件的全长；3)索曲线近似地视为按二次抛物线变化，且曲率平缓。2.曲线预应力索的等效荷载

索曲线的二次抛物线的表达式为:

预应力对中性轴产生的偏心力矩M(x)为:梁的弯矩与荷载的关系知:由几何关系知:3.折线预应力索的等效荷载折线形索的索力方程：预应力产生的剪力为:4.等效荷载法的应用

总结：预应力对结构的作用可以用一组自平衡的等效荷载代替。【例2-4-3】两等跨等截面连续梁，索曲线的布置如图所示，各段索曲线的偏心距e(x)方程列出如表，端部预加力Ny＝1158kN，试求中支点B截面的总弯矩M总和次力矩M次。两跨连续梁预应力内力分析(尺寸单位:m)1）绘制预加力初预距图2)计算预加力等效荷载3)B截面总弯矩M总：4)B截面次力矩:5.吻合束的概念

按实际荷载下弯矩图线形作为束曲线的线形，则是吻合束的线形，此时预加力产生的总弯矩M总、初预距M0及实际荷载下的弯矩Mq三者相等，预加力产生的次力矩M次=0。可以证明：1.两跨等截面梁，预应力索采用折线形布置(如图)。预加力Ny=1200kN,在跨中及支点B截面的偏心矩均为0.3m，试求中支点B截面预加力产生的总弯矩和次弯矩。作业二、徐变次内力的计算1.基本概念徐变系数是自加载龄期τ0后至某个t时刻，棱柱体内的徐变应变值与瞬时应变(弹性应变)值之比，可表示为:徐变次内力——与施工方法有关混合理论老化理论先天理论2．我国公路桥规关于徐变系数的表达式三种基本理论1）一般表达式：2）名义徐变系数φ0：其中3）加载后徐变随时间发展的系数：其中3.结构混凝土的徐变变形计算换算弹性模量1)基本假定不考虑结构内配筋的影响；混凝土的弹性模量假定为常值；采用线性徐变理论。2)静定结构在恒定荷载条件下的徐变变形计算有下列关系式：按照结构力学中的虚功原理：先简支后连续恒载q

弯矩图单位力矩弯矩图两跨简支基本结构，切口处初始恒载弯矩，基本结构上只有垂直恒载q和随时间变化的徐变赘余次力矩M(t)作用。3）随时间变化的荷载M(t)作用下之徐变变形计算①应用狄辛格法时,在时间增量dt内,切口两侧变形增量的协调方程为:②应用巴曾法时,在任意时刻t时,切口两侧变形协调方程为:金成棣教授，采取联立混合求解徐变次内力M(t)在切口产生的相对角位移：此微分方程的解为：利用边界条件：则同时老化系数的一般表达式为：换算弹性模量4.超静定梁的徐变次内力计算选取基本结构的计算图式；按不同施工阶段计算恒载内力图Mp；在赘余力处分别施加各单位赘余力，得到图;计算各梁段的老化系数ρ(t,τ)及换算弹性模量Eφ和Eρφ。采用图乘法或积分法，计算恒定荷载及徐变赘余力在赘余约束处产生的变位，即:解力法方程求各徐变赘余力根据求得的徐变赘余力Xit计算结构的徐变次内力;将各施工阶段的恒载内力和徐变次内力结果叠加，得结构总的内力。【例2-4-4】两等跨等截面连续梁每跨跨长l＝48m，采用先预制吊装后合龙固结的施工方法，左半跨的徐变系数φ1(∞,τ)＝1，右半路的徐变系数φ2(∞,τ)＝2，作用于桥上的均布恒载q＝10kN/m(预制梁自重)，E、I分别为该结构的弹性模量和截面抗弯惯矩，如图所示，试求：t=∞时中支点截面的徐变次力矩和总弯矩。解:1)选取从跨中断开的两跨简支梁作为基本结构，由于合龙时，该截面的弯矩为零;2)在赘余联系处仅施加一个赘余力Mt，即待定的徐变次内力;3)计算老化系数及换算弹性模量;4)常变位和载变位计算(图乘法)5)解力法方程6)叠加法作总弯矩图

如图可知徐变后，中支点截面产生较大负弯矩，而跨中截面正弯矩减小，相当于卸载。与上例参数一致，若采用两阶段施工：中支点两侧采用对称悬浇法，两端采用在支架上进行合龙。上例，若采用在支架上一次浇筑法完成。本例表明，一次浇筑的超静定结构，其徐变次内力为零，但产生徐变变形！2.两等跨等截面连续梁每跨跨长l＝48m，采用在支架上一次浇筑法完成，左半跨的徐变系数φ1(∞,τ)＝1，右半路的徐变系数φ2(∞,τ)＝2，作用于桥上的均布恒载q＝10kN/m(预制梁自重)，E、I分别为该结构的弹性模量和截面抗弯惯矩，如图所示，试求：t=∞时中支点截面的徐变次力矩和总弯矩。作业三、混凝土收缩次内力的计算

对于连续梁桥结构，一般只计算结构的收缩位移量，但对于墩-梁固结的连续刚构体系桥梁，则必须考虑因收缩引起的结构次内力。1.混凝土缩应变表达式一般表达式：名义收缩系数：其中：收缩随时间发展的系数：2.等效温降值计算法计算时刻混凝土龄期

构件理论厚度（mm），A为截面面积，u为构件与大气接触的周边度；【例2-4-5】某三跨等截面连续刚构桥，在边跨合拢后、中跨尚未合拢时，梁、墩均发生相同的收缩应变εs。梁的抗弯刚度为EI1，墩的抗弯刚度为EI2，墩高h。试求此时收缩引起的边支座反力。1）因结构对称，可取图b所示的基本结构分析2）计算柔度系数和收缩在赘余力X1方向的位移：3）解力法方程：四、基础沉降次内力的计算地基设计规范中有下列的规定：墩台均匀总沉降(cm)值(不包括施工中的沉降)为相邻墩台均匀总沉降(cm)值(不包括施工中的沉降)为其中l为相邻墩台间最小跨径长度(以m计),跨径小于25m时仍以25m计算。（≤0.2%的附加纵坡）五、温度次内力的计算

温度梯度是指当桥梁结构受到日照温度影响后，温度沿梁截面高度变化的形式。

结构因受到自然环境温度的影响(升温或降温)将产生伸缩或弯曲变形，当这个变形受到多余约束时，便会在结构内产生附加内力，工程上称此附加内力为温度次内力。

结构在非线性温度梯度影响下产生挠曲变形时，因梁要服从平截面假定，致使截面内各纤维层的变形不协调而互相约束，从而在整个截面内产生一组自相平衡的应力，我们称此应力为温度自应力。第三节牛腿计算牛腿在荷载作用下凹角处会出现很大的局部应力。挂梁的肋数与悬臂梁梁肋（腹板）片数相同。对箱形截面的悬臂梁桥，挂梁的肋数要多于箱梁腹板数。避免尖锐的凹角，还需配置密集钢筋网，减小支座高度。悬臂梁桥的悬臂端和挂梁端结合部的局部构造称为牛腿。

牛腿的计算，包括了非腹板部位及腹板部位的牛腿计算和牛腿横梁计算三部分。一、非腹板部位牛腿计算

非腹板部位牛腿可近似按悬臂板来计算，验算垂直截面a-b。1）恒载：1)牛腿悬臂部分宽度为b+2e，高度为h的自重荷载q牛；2)挂梁及相应的桥面铺装恒载反力Pg。用杠杆原理法算得位于挂梁上的汽车荷载(车辆和人群)支反力R2:3）验算内容:正截面强度验算，(包括竖直截面和斜截面);正常使用极限状态计算。2）可变荷载：车辆荷载、汽车制动力与支座摩阻力。二、牛腿端横梁计算1）计算图

端横梁视作支承在箱梁腹板上的多跨(视箱梁腹板数而定)等截面连续梁，其截面为L形。2）计算荷载

它包括:端横梁自重，挂梁恒载反力和挂梁上的汽车荷载反力(车辆、人群)等。

对于弯矩取跨中和中间支点截面，对于剪力取端点和中间支点截面。正截面强度;斜截面强度;裂缝宽度等。3）计算截面4）验算内容:三、腹板部位牛腿计算1．牛腿的任意截面内力

对于任意斜截面a-c虽然截面增大，但作用于其上的内力也随之增大。

上的内力

2.竖直截面a-b

（按偏心受拉构件验算）当不计其他可变荷载时，

3、最弱斜截面验算判别标准：边缘应力最大任意斜截面边缘应力的表达式：

斜截面纯混凝土面积和截面模量。求导使，即可求得为最大时斜截面倾斜角的表达式，无水平荷载时如果是预应力牛腿，计算截面内力时应该考虑预应力。轴向力：弯矩:得到：3.45°斜截面的抗拉验算（按轴心受拉构件）

如图,可得外力作用R下斜截面上总斜拉力为：近似按轴心受拉构件验算，应满足强度条件：5、专门空间分析

对于重要的牛腿应作为专门课题来验算第四节悬臂施工时挠度和预拱度计算一、挠度计算

连续梁和刚构桥属于超静定结构体系，一般为大跨或特大跨径桥，其挠度分析一般可采用有限单元法，特点如下:按施工过程来计算结构恒载挠度，在不同的施工阶段，结构体系及作用在结构上的荷载均可能发生变化。恒载挠度需考虑的荷载因素:①结构自重;②施工荷载;③预加力;④混凝土收缩与徐变作用。活载挠度主要考虑的荷载因素:汽车荷载与人群荷载。1.有支架施工的悬臂梁节段自重及预应力对i结点产生的弹性变形各结点在卸架后由恒载引起的总变形2.悬臂拼装结构悬臂结构逐段拼装时，后节段的恒载对先拼节段会产生弹性变形，而先拼的节段已完成了本身恒载的变形，不再对后续节段产生影响。

由于恒载而设的预拱度可表示：3.挂篮施工的悬浇结构挂篮施工悬浇和悬臂拼装工艺的最大差别：①挂篮在施工过程中固定在先完