2022年江苏省联盟大联考高三最后一卷数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.数列{%}满足：%=!，勺一。,用=2。“4+1，则数列{q".+J前10项的和为

1020八918

A.—B.—C.—D.—

21211919

2.如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（）

本入境游客（万人次）

14132.73

13868.53

13604.33

13340.13

13075.93

12811.73一

12013年2014年.2015年2I01年2I017年I201阵

A.2014年我国入境游客万人次最少

B.后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势

C.这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次

D.前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差

3.一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（）

A16兀36兀n1

6464

4.在正项等比数列｛。“｝中，45-41=15,a4-42=6,则的=()

I

A.2B.4C.-D.8

2

5.若函数＞=/（x）的定义域为21=国一2秘32},值域为N={y|0WyS2},则函数y=/（x）的图像可能是（）

C.

y

-2O2-X

6,下列命题中，真命题的个数为（）

①命题“若」一<」一，贝的否命题;

a+2b+2

②命题“若2'+，'>1，则x>0或2>0”;

③命题“若m=2,则直线x-=0与直线2x-4y+1=0平行”的逆命题.

A.0B.1C.2D.3

7.已知曲线f=4y,动点P在直线丁=-3上，过点P作曲线的两条切线4,",切点分别为A,6,则直线A8截圆

Y+y2_6y+5=0所得弦长为（）

A.6B.2C.4D.243

8.已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（）

D.三校附««■

f（}

9./（X）是定义在（o,+“）上的增函数，且满足：/（X）的导函数存在，且昔qx<x,则下列不等式成立的是（）

J\J

A./(2)<2/(1)B.3/（3）<4/（4）

C.2/(3)<3/(4)D.3/(2)<2/(3)

10.某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据，绘制如下折线图，那么，下列叙述错误的是（）

♦℃

---一各月最低气温平均值—各月最高气温平均值

A.各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关

B.全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大

C.全年中各月最低气温平均值不高于1（FC的月份有5个

D.从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势

11.复数z满足z（l+i）=2（i为虚数单位），则z的虚部为（）

A.iB.-iC.-1D.1

12.“完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家

毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个完全数”分别为496,8128,

33550336,现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（）

1234

A.-B.—C.-D.一

5555

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数/（x）=^lg1-l的定义域为___________.

14.设等比数列｛4｝的前〃项和为S“，若a「4=2,4-%=6,贝！1§4=.

15.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、

丙都未获奖丙说："我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是.

16.在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。为正方形，PA面ABC。,PA=AB=4,E,F,H分别是棱PB,BC,PD的

中点，过的平面交棱CD于点G,则四边形EFGH面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知非零实数“力满足a<0.

(1)求证：＜2crb-2ab11

（2）是否存在实数％'使得《一会2415一^恒成立？若存在,求出实数几的取值范围；若不存在,请说明理由

18.（12分）已知耳，入分别是椭圆E：5+与=l（a>b>0）的左，右焦点，点P（-l,包）在椭圆E上，且抛物线

y2=4x的焦点是椭圆E的一个焦点.

（1）求4,〃的值：

（2）过点尸2作不与X轴重合的直线/，设/与圆Y+y2=a2+b2相交于4,8两点，且与椭圆E相交于C,O两点，

当不•那=1时，求△4C。的面积.

19.（12分）记S,为数列｛4｝的前〃项和，已知S,=〃2,等比数列也｝满足4=q,"=%.

（1）求｛《,｝的通项公式；

（2）求也｝的前〃项和7“.

20.（12分）已知椭圆C：£+2=1（4〉5>0）过点（1,1）,过坐标原点。作两条互相垂直的射线与椭圆C分别交

于Al,N两点.

（1）证明：当4+9加取得最小值时，椭圆。的离心率为先.

2

（2）若椭圆C的焦距为2,是否存在定圆与直线MN总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.

21.（12分）己知。〉0,b>0,c>0.

（1）求证：qJ/"+/"（，+/）；

a2+b2

（2）若abc=L求证：a3+b3+c3..ab+be+ac.

22.（10分）已知椭圆。4+3=1（。>0,。>0）的长轴长为4,离心率e=#

（1）求椭圆C的方程；

（2）设A,3分别为椭圆与x轴正半轴和y轴正半轴的交点，P是椭圆。上在第一象限的一点，直线以与），轴交于

点M,直线依与x轴交于点N,问APMN与面积之差是否为定值？说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

11c1

分析：通过对an-an+i=2anaz变形可知--------=2,进而可知,利用裂项相消法求和即可.

a

”“+1n2〃一1

11°

详解：：％-4+1=2令6“+|,-----=2,

a”

1

XV—=5,

...：5+2（"3）=2n-l,即4=白

二皿数列，｛(a.a“+J,前10一项的和为,万if[,1一§1+§1―1g+…+而1一为HJ=1r,i\=io

故选A.

点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子

11<111]/I——广\

的结构特点，常见的裂项技巧：(1)-;入=7-------7；(2)-,==~T=-；(3)

n[n+k)k\nn+kJyjn+k+y/nkv'

]_J_<_1_______]=i_

(2n-l)(2n+l)~?\2n-\~2n+\J；⑷n(n+l)(n+2)~2

J(〃+八1)一7(一〃+14)(〃―+2K)；此外，需注意裂项

之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

2.D

【解析】

ABD可通过统计图直接分析得出结论，C可通过计算中位数判断选项是否正确.

【详解】

A.由统计图可知：2014年入境游客万人次最少，故正确；

B.由统计图可知：后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确；

C.入境游客万人次的中位数应为13340.13与13604.33的平均数，大于13340万次，故正确;

D.由统计图可知：前3年的入境游客万人次相比于后3年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对

应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求.

3.A

【解析】

求出满足条件的正AABC的面积，再求出满足条件的正AABC内的点到顶点A、B、C的距离均不小于2的图形的

面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案.

【详解】

满足条件的正AABC如下图所示：

其中正AABC的面积为=弓x4?=4打，

满足到正A4BC的顶点A、B、。的距离均不小于2的图形平面区域如图中阴影部分所示，

阴影部分区域的面积为S=工x»x2?=2%.

2

则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是P=1-上=1-叵.

4V36

故选：A.

【点睛】

本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.

4.B

【解析】

根据题意得到。5=44-4="，=4/-4夕=6,解得答案.

【详解】

q=—16

a5-at=a}cf-a,=15,a4-a2=-atq=6,解得＜1（舍去）.

故的=aq=4.

故选：B.

【点睛】

本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.

【解析】

因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；

对B满足函数定义，故符合；

对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；

对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定.

故选B.

6.C

【解析】

否命题与逆命题是等价命题，写出①的逆命题，举反例排除；原命题与逆否命题是等价命题，写出②的逆否命题后，

利用指数函数单调性验证正确；写出③的逆命题判，利用两直线平行的条件容易判断③正确.

【详解】

①的逆命题为“若a>b,则」一<一一”，

a+2/?+2

令。=-1,人=-3可知该命题为假命题，故否命题也为假命题；

②的逆否命题为“若x40且y40,则25'W1”，该命题为真命题，故②为真命题；

③的逆命题为“若直线X-根y=0与直线2x-4y+l=0平行，则机=2"，该命题为真命题.

故选：C.

【点睛】

本题考查判断命题真假.判断命题真假的思路：

(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判

断.

(2)当一个命题改写成“若P,则4”的形式之后，判断这个命题真假的方法:

①若由“，”经过逻辑推理，得出“4”，则可判定“若〃，则夕”是真命题；②判定“若〃，则夕”是假命题，只需举一反

例即可.

7.C

【解析】

设A否,当，3%2A,P«,-3),根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将/，点坐标代入切线

方程，抽象出直线AB方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解.

【详解】

圆x2+y2_6y+5=0可化为*2+()_3)2=4.

(2、(2\

设A孙今,5孙善设«，-3),

则4,/2的斜率分别为心右=彳，

所以4，/2的方程为/I：丁=5(%-$)+亨，即＞=58一凶，

/2：'=£(》—々)+5，即丁:争一%，

-3=寺一%

由于44都过点？。,一3),所以|,

-3=1-y

I2722

即A(±,y),3(马,％)都在直线-3=搭/一y上，

X

所以直线A3的方程为-3=]/-丁，恒过定点(0,3),

即直线AB过圆心(0,3),

则直线AB截圆f+V-6y+5=0所得弦长为4.

故选:C.

【点睛】

本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.

8.C

【解析】

试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求的.

9.D

【解析】

根据/（X）是定义在（0,+8）上的增函数及^^有意义可得r（x）＞0,构建新函数g（x）=W，利用导数可得

g（x）为（0,+8）上的增函数，从而可得正确的选项.

【详解】

因为/CO是定义在（（）,+“）上的增函数，故r（x”o.

f（X）

又粉'有意义，故r（x）w。，故尸（力＞。,所以/⑴〈矿⑺.

J\x）

令g(x)="x)，贝!Jg，(x)=([>0，

XX

故g（X）在（0,+功上为增函数，所以g（3）＞g（2）即早＞W,

整理得到2/（3）＞3/（2）.

故选：D.

【点睛】

本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系

构建新函数，本题属于中档题.

10.D

【解析】

根据折线图依次判断每个选项得到答案.

【详解】

由绘制出的折线图知：

在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；

在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；

在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确;

在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力.

11.C

【解析】

2

z=——，分子分母同乘以分母的共枕复数即可.

1+1

【详解】

22(1-i)

由已知,T+T-(l+i)(l-i)故z的虚部为-1.

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.

12.C

【解析】

先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为=10,再求出6和28恰好在同一组

包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率.

【详解】

解：根据题意，将五个"完全数''随机分为两组，一组2个，另一组3个，

则基本事件总数为盘=10,

则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数C；+=4,

10-43

6和28不在同一组的概率P=—5一=1.

故选：C.

【点睛】

本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

由题意可得，\x，解不等式可求.

.X

【详解】

解：由题意可得，,

0

Lx

解可得，

故答案为1[0<X,

【点睛】

本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础题.

14.-40

【解析】

由题意，设等比数列的公比为4,根据已知条件，列出方程组，求得4,4的值，利用求和公式，即可求解.

【详解】

由题意，设等比数列的公比为《，

fa,-axq=2

因为4一。2=2,出一。3=6,即〈,/，解得q=3,a]=-\9

[ayq-aAq-=6

所以S4：？

\-q1-3

【点睛】

本题主要考查了等比数列的通项公式，及前n项和公式的应用，其中解答中根据等比数列的通项公式，正确求解首项

和公比是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

15.丙

【解析】

若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙.

考点：反证法在推理中的应用.

16.4瓜

【解析】

设G是CD中点，由于分别是棱PB,BC,的中点，所以EF//PC,EF=-PC,HGHPC,HG=-PC,

22

斫以EF//HG,EF="G,所以四边形EFGH是平行四边形.由于_L平面ABCD，所以Q4，,而BO_LAC,

PA^AC^A,所以BO,平面PAC,所以8DJ_PC.由于产G/ABD,所以BGLPC,也即FG_LE/"所以四

边形4FG"是矩形.

而EF==PC=2区FG=LBD=2O.

22

从而SEFGH-2A/§x2V2=4A/6.

故答案为：4^6.

【点睛】

本小题主要考查空间平面图形面积的计算，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析(2)存在，2G[-1,3]

【解析】

(1)利用作差法即可证出.

(2)将不等式通分化简可得匕烈讨论必＞0或a匕＞0,分离参数,利用基本不等式即可求解.

a2b2ab

【详解】

(1)6Z3-h3一(2〃2人一=(〃一/?)(。2+Q力+82)—2〃人(〃一人)

=("/?)(/_"+/)=(”—6)"t)+［”

•/a<b,:.a-b<0

(3

又a——+—Z?2>0

I2)4

.,.廿一状<2a2b-2ab2

即yNa丝乌

a2b~ab

即"+吵:"24*)

a2b2ab')

①当，浴>0时，(*)即/［〉>+；),+矿=1+且+［恒成立

'"a2b2ab

balba-

abNab

(当且仅当a=b时取等号)，故4W3

②当时ab<0,(*)2>岁+当足=2+@+］恒成立

a-b~ab

(当且仅当a=-b时取等号)，故；IN-1

综上，AG[-1,3]

【点睛】

本题考查了作差法证明不等式、基本不等式求最值、考查了分类讨论的思想，属于基础题.

18.(1)a=Rb=l；(2)

7

【解析】

(1)由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出。，bx

(2)设直线/方程为x=)+l,联立直线与圆的方程可以求出产，再联立直线和椭圆的方程化简，由根与系数的关系

得到结论，继而求出面积.

【详解】

(1)y2=4x焦点为尸(1,0),则尸I(1,0),Ft(1,0),

2a=|PF]|+|P引=2及，解得q=c=i,b=l,

(H)由已知，可设直线/方程为x=)+l,4(石，弘)，B(x2,y2)

2t

x=/y+1/、x+而■

联立22c得(/+l)y+2)-2=。，易知A>o,则

x+y=32

t

F}A-F1B=(玉+1)(Z+D+X%=(yi+2)(ty2+2)+yly2

,2-2t2

=<t+1)y»2+2t(y,+y2)+4=-^-

__91

因为用•祁=1,所以年匚=1,解得t2=-

11t2+l3

x=/y+l

联立，尤2,得(t?+2)y2+2ty-l=0,A=8(t2+l)>0

一+V=1

I2,

-2t

y,+y4=二近

设c(七,外),8(々,北),则।

y3y尸一不

=F7s(i+t2)_vx3_4瓜

SAF|CD1ll^|,|y3-y4|=

t2+277~

3

【点睛】

本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解决直线与圆，直线与椭圆的位置关

系问题.意在考查学生的数学运算能力.

19.(1)a“=2〃-1(“eN”)(2)当片时｝当“7时，心+子

【解析】

(1)利用数列。“与s”的关系，求得氏=2〃-1；

(2)由(1)可得：仇=1,4=9,算出公比夕，利用等比数列的前〃项和公式求出乙.

【详解】

(1)当〃=1时，％=S]=1,

当"22时,a„=Sn-5n_1

2

=〃2-(/7-1)

=2〃-1,

因为4=I适合上式，

所以a.=2〃-1

(2)由(1)得4=1,4=9,

设等比数列也｝的公比为则a=$d=9,解得4=13,

当4=3时，7=，(1二")=之一].,

"1-322

当好一3时，『J1"]

“1-(-3)44

【点睛】

本题主要考查数列勺与S“的关系、等比数列的通项公式、前〃项和公式等基础知识，考

查运算求解能力.

12

20.(1)证明见解析；(2)存在，X2+/=y

【解析】

(1)将点代入椭圆方程得到」+提=1,结合基本不等式，求得取得最小值时/=2/，进而证得

I2Ja-4b

椭圆的离心率为正.

2

(2)当直线MN的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得。到直线MN的距离.当直线MN的斜率存在时，联立直

线MN的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用Q0_LQV,则工/2+乂巳=0列方程，求得加，人的关系式，进而求

得。到直线MN的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程.

【详解】

（1）证明：•.•椭圆C经过点[1，|.19

.•/十方1,

2

192g，\859b29a85\9b29a2_121

，a2+9b2=优+班）=1+瓦+疗M+2

a2+4分万.赤F

2

当且仅9当b2绛=9纸a，即"=2〃时，等号成立,

a24〃

此时椭圆C的离心率e

a22

1Q

⑵解「.椭圆。的焦距为2,又/+/=1,.“=4,/=3.

当直线MN的斜率不存在时，由对称性，设N（x0,-题）.

22]2

・•・〃，N在椭圆。上，*+£=l,.•.片=7，二。到直线MN的距离八闻二2V2T

当直线的斜率存在时，设MN的方程为旷=履+他.

y=kx+m

22

由，xy,得（3+4公卜2+8而优+4M-12=0,

143

△=（8k”y-4（3+4/）（4>-12）>0.

8km4m2-12

设M%,%），则%+/=一

3+4*=*—3+4公

VOM±ON,：.xtx2+yty2=0,

2

:.x}x2+（依+m）=（标+\^xlx2+km^xt+x2）+m=0,

4加2-128A2m2

:2++机2=o,即7加2=12俨+1）,

3+4/3+4k2

J.O到直线MN的距离d==、户='包.

V17PV77

综上，。到直线MN的距离为定值，且定值为名包，故存在定圆。：x2+y2=—,使得圆0与直线MN总相切.

77

【点睛】

本小题主要考查点和椭圆的位置关系，考查基本不等式求最值，考查直线和椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公

式，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.

21.(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】

(1)采用分析法论证，要证刀_八2+巩叫分式化整式为(/+切,4一“2加+。4)皿/+64),

a2+b2

再利用立方和公式转化为«6+h6..a5b+a柠,再作差提取公因式论证.

(2)由基本不等式得a，++1席＜2仇//+/+13hc,a3+c3+1?3ac,再用不等式的基本性质论证.

【详解】