浙江省宁波市金兰教育合作组织2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题

2023学年第一学期宁波金兰教育合作组织期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用一元二次不等式解法可得或，再由补集、交集的运算法则即可求得结果.【详解】解不等式可得或，即或，则，又，所以.故选：C2.命题“"的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】命题“"的否定是“".故选：C3.已知函数则的值为（）A. B.6 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（2）＝6，进而可得＝f（），由解析式计算可得答案．【详解】根据题意，函数，则f（2）＝22+2×2﹣2＝6，则＝f（）＝2﹣（）2＝.故选D．【点睛】本题考查分段函数的求值，涉及分段函数的解析式，属于基础题．4.下图中可以表示以x为自变量的函数图象是（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义，对于自变量中的任意一个x，都有唯一确定的数y与之对应.【详解】根据函数的定义，对于自变量中的任意一个x，都有唯一确定的数y与之对应，所以ABD选项的图象不是函数图象，故排除,故选：C.5.函数的定义域是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由函数有意义，则满足，即，所以函数的定义域为，故选：B.6.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对，，分别化简放缩，利用指数函数单调性，即可求出.【详解】由题，，设函数，因为，所以单调递增，因为，所以.因为，所以，所以，故选：C7.某家医院成为病毒检测定点医院，在开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（，为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为10小时，第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，那么可得到第36天检测过程平均耗时约为（）A.6小时 B.7小时 C.9小时 D.5小时【答案】B【解析】【分析】按照题目所给的条件，算出，，再代入计算即可.【详解】因为第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，所以，所以，即，所以，解得，所以所以第36天检测过程平均耗时小时，故选：B.8.已知函数，函数，若任意的，存在，使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对分离变量化简，结合单调性，求出和的值域，由题意可得的值域为值域的子集，解不等式可得所求范围.【详解】，，①当时，函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，可得，，由题意，得，解得；②当时，函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递减，可得，，由题意，得，解得；③当时，，，显然不满足，故实数的取值范围为，故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设是定义在上的奇函数且在上单调递减，，则（）A.在上单调递减 B.C.不等式的解集为 D.的图象与轴只有2个公共点【答案】AC【解析】【分析】根据奇函数特征，画出的大致图象，结合图象分析四个选项.【详解】对于A，因为是定义在上的奇函数且在上单调递减，，根据奇函数特征，所以在上单调递减，，，故A正确；对于B，画出大致图象如图，根据图象可知，故B错误；对于C，如图可知，不等式的解集为，故C正确；对于D，的图象与轴只有3个公共点，分别是，，，故D错误，故选：AC.10.下列命题中正确的是（）A.的最小值为B.已知，则“”是“”的必要不充分条件C.已知为定义在上的奇函数，且当时，，则时，D.与是两个相同的函数【答案】BCD【解析】【分析】对于A，由基本不等式即可判断；对于B，利用充分必要条件的概念判断即可；对于C，利用函数的奇偶性求解析式即可；对于D，判断两个函数的定义域，对应关系是否一致即可.【详解】对于A，，当且仅当时取“=”，显然不成立，所以A错误；对于B，由，而，所以“”是“”的必要不充分条件，所以B正确；对于C，为定义在上的奇函数，时，，时，，则，所以，则C正确；对于D，，，两个函数的定义域，对应关系都一样，所以是两个相同的函数，则D正确；故选：BCD11.已知函数的图象关于对称，当，且时，成立，若对任意恒成立，则实数的可能取值为（）A0 B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由函数的图象关于对称，得到的图象关于y轴对称，即为偶函数，再根据当，且时，成立，得到在上递减，在上递增，然后将对任意恒成立，转化为对任意恒成立求解.【详解】解：因为函数的图象关于对称，所以函数的图象关于y轴对称，则为偶函数，又因为当，且时，成立，所以在上递减，在上递增，则对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，当时，成立；当时，即对任意恒成立，而，当且仅当，即时，等号成立，所以，即，故选：ABD12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于下列说法正确的是（）A.函数的值域是B.C.对任意恒成立D.存在三个点，，，使得为等腰直角三角形【答案】BC【解析】【分析】根据新定义函数得函数的值域为；无论为有理数还是无理数，均为有理数，故；由于与均属于有理数或均属于无理数，故对任意恒成立；假设存在，则根据函数推出矛盾即可否定结论.【详解】解：对于A选项，函数的值域为，故A选项错误.对于B选项，.当为有理数时，，当为无理数时，，所以，，故B选项正确.对于C选项，为有理数时，为有理数，当为无理数时，为无理数，所以恒成立，故C选项正确.对于D选项，若为等腰直角三角形，不妨设角为直角，则的值得可能性只能为或，由等腰直角三角形的性质得，所以，这与矛盾，故D选项错误.故选：BC.【点睛】本题考查函数新定义问题，考查数学知识的迁移与应用能力，是中档题.本题解题的关键在于根据函数的定义，把握函数的值只有两种取值，再结合题意讨论各选项即可得答案.非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数在第一象限单调递减，则__________.【答案】【解析】【分析】利用幂函数定义及单调性可得，代入解析式即可求得.【详解】由幂函数定义可得，即，解得或，又函数在第一象限单调递减，所以，即，即可得.故答案为：14.____________.【答案】81【解析】【分析】利用指数幂运算法则化简即可求得答案.【详解】故答案为：81.15.函数在上是减函数，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】根据题意，分和两种情况讨论，结合函数特点，求出实数的取值范围.【详解】当时，在上是减函数，符合题意；当时，为一元二次函数，对称轴为，因为函数在上是减函数，所以，解得，综上，，所以实数的取值范围是，故答案为：.16.已知函数，且，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】首先根据题中条件，结合二次函数的图象求出实数的值；从而结合对号函数的单调性即可求出最小值.【详解】二次函数的对称轴为，因为，所以或，因为，所以解得.所以，所以，因为在内单调递减，在单调递增，又，，所以的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合或，，.（1）求，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据集合的交并补运算公式计算即可.（2）根据集合的包含关系，分与两类讨论即可求出的取值范围.【小问1详解】因为集合或，，所以，所以小问2详解】∵，∴①当时，∴，解得②当时，则，解得综上所述：的取值范围是18.已知正数、满足.（1）求的最小值；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）由已知，展开后结合基本不等式求解.（2）对已知式子变形，结合已知条件求出，然后再利用基本不等式求解.【小问1详解】因为、是正数，所以当且仅当，时等号成立,所以的最小值为.【小问2详解】因为，所以，，所以，，则当且仅当，时等号成立，所以最小值为8.19.已知函数（且）的定义域为，且.（1）求函数的解析式，并判断其奇偶性；（2）判断函数在上的单调性，并利用单调性定义法证明.【答案】（1），奇函数（2）单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）根据求出的值，然后根据奇偶函数的定义判断其奇偶性.（2）定义法判断函数的单调性.【小问1详解】∵函数（且）的定义域为，，解得：，∴，，∴∴是奇函数.【小问2详解】设且，∴∵，，，∴，即当时，，∴在上单调递增.20.已知二次函数.（1）若，求在上的值域；（2）若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将代入，转换成二次函数求值域问题，求解即可..（2）分离参数，转换成不等式能成立问题，求解即可.【小问1详解】根据题意，函数，∵，则，又由，当时，有最小值4，当时，有最大值13，则有，即函数的值域为【小问2详解】整理得∵，∴令，设，且，则，因为，，所以，即，所以在单调递增，所以当时，，∴.21.2020年初新冠肺炎袭击全球，严重影响人民生产生活．为应对疫情，某厂家拟加大生产力度．已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产千件，需另投入成本．当年产量不足50千件时，（万元）；年产量不小于50千件时，（万元）．每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）60，280万元【解析】【分析】（1）可得销售额为万元，分和即可求出；（2）当时，利用二次函数性质求出最大值，当，利用基本不等式求出最值，再比较即可得出.【详解】（1）∵每千件商品售价为50万元．则x千件商品销售额万元当时，当时，（2）当时，此时，当时，即万元当时，此时，即，则万元由于所以当年产量为60千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为280万元．【点睛】关键点睛：本题考查函数模型的应用，解题的关键是理解清楚题意，正确的建立函数关系，再求最值时，需要利用函数性质分段讨论比较得出.22.已知函数，.（1）若，求的单调递增区间；（2）若函数在上单调，且对任意，恒成立，求的取值范围；（3）当时，函数在区间上的最大值为，求的函数解析式.【答案】（1）单调增区间为，（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意，分与讨论，即可得到结果；（2）根据题意，求得函数的最大