专题14 双曲线中的向量问题(解析版)2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练（新高考专用）

第第页专题14双曲线中的向量问题限时：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若斜率为（）的直线过双曲线：的上焦点，与双曲线的上支交于，两点，，则的值为（

）A． B． C． D．【解析】因为双曲线：，所以，设直线方程为，代入双曲线方程消去y得，判别式，且，由韦达定理得，因为，所以，所以，两式联立解得，故选：D．2．已知双曲线的右顶点､右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线与C的一个交点为B，若，且，则的值为（

）A．2 B． C． D．【解析】∵，整理得：，即，∴，不妨设，根据结合比例易得，则，解得∴，故选：B．3．已知点P为双曲线C：（，）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一条渐近线l作垂线，垂足为A，为双曲线C的左焦点，若，则渐近线l的斜率为（）A． B． C． D．【解析】设，渐近线l的方程为，①直线的方程为，②联立①②可得，，即有，由，可得，，解得，，即，由P在双曲线上，可得，化为，即，可得，所以直线l的斜率为．故选：D．4．已知双曲线右支上的一点P，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点．当点P为AB的中点时，（

）A． B．9 C． D．【解析】设，，，，，由点P为AB的中点，得，，将P点代入双曲线方程可得，化简得，所以，故选：B．5．过双曲线的右焦点且斜率为的直线分别交双曲线的渐近线于，两点，在第一象限，在第二象限，若，则（

）A．1 B． C． D．2【解析】由题意得：由双曲线的方程，可知，过双曲线的右焦点且斜率为的直线方程为联立，得：，联立，得：，则，，，，整理得：，解得：，故选：A6．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线的右支于、两点．点满足，且，者，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【解析】如下图所示，取线段的中点，连接，

因为，则，因为为的中点，则，且，由双曲线的定义可得，所以，，则，由余弦定理可得，所以，，因此，该双曲线的离心率为.故选：C.7．已知双曲线的左､右焦点分别为、，过的左顶点作一条与渐近线平行的直线与轴相交于点，点为线段上一个动点，当分别取得最小值和最大值时，点的纵坐标分别记为、，则（

）A． B． C． D．【解析】由题意可得，，、，双曲线的渐近线方程为，不妨设直线的斜率为，则直线的方程为，易得，设点的坐标为，其中，，，所以，，故当时，取得最小值，此时，当时，取得最大值，此时，因此，.故选：D.8．已知椭圆与双曲线有相同的左焦点、右焦点，点是两曲线的一个交点，且.过作倾斜角为45°的直线交于，两点（点在轴的上方），且，则的值为（

）A． B． C． D．【解析】不妨设为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，椭圆方程为，，由双曲线定义可知：，又因为，所以，，所以，所以，所以，所以，所以，所以椭圆方程为，又因为，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，解得，故选：A.二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，且C的一条渐近线经过点，直线与C的另一条渐近线在第四象限交于点A，则下列结论正确的是（

）A．C的离心率为2B．若，则C的方程为C．若，则（O为坐标原点）的面积为D．若，则C的焦距为【解析】对A，双曲线C的渐近线方程为，因为C的一条渐近线经过点，所以，即，所以，所以，故选项A正确；对B，因为，所以点P在圆上，所以.又离心率，所以，则，所以C的方程为，故选项B正确；对C，由Ｂ得，的面积为，故选项C错误；对D，设，，由，得，所以，，代入渐近线方程，得，解得，所以C的焦距为，故选项D正确.故选：ABD.10．已知双曲线，，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则的值可以是（

）A． B． C． D．【解析】设点，则或，且有，可得，，，，令，其中或，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.①当时，函数单调递减，此时；②当时，函数单调递增，此时.综上所述，函数在上的值域为.因此，的值可以是、、.故选：BCD.11．已知双曲线的右顶点、右焦点分别为、，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，，且，则下列结论正确的是（

）A．直线与轴垂直 B．的离心率为C．的渐近线方程为 D．（其中为坐标原点）【解析】由已知得，设，由，得，所以轴，即，A正确；不妨设点在第一象限，易知，，，即点，设，由，得，所以，所以，即．因为点在双曲线上，所以，整理得，所以，解得或（负值舍去），B正确；，故C的渐近线的斜率的平方为，C错误；不妨设点在第一象限，则，所以，D错误．故选：AB．12．已知双曲线且成等差数列，过双曲线的右焦点F（c，0）的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，，则直线l的斜率的可能取值为（

）A． B．－ C． D．－【解析】因为成等差数列，所以，所以．设左焦点为，则．令，则，即，将代入解得，从而解得，故，而是直线l的倾斜角或倾斜角的补角，所以直线l的斜率的值为－或．故选：AB.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．设双曲线C的左、右焦点分别为，，且焦距为，P是C上一点，满足，，则的周长为．【解析】因为，所以.设，，因为，所以.在中，根据余弦定理有，所以，整理可得，，解得（负值舍去），所以，所以，，故周长为.14．已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是．【解析】以的中点O为坐标原点，的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则，由双曲线定义可知，点P的轨迹是以，为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，即点P的轨迹方程为．，由，可得．因为的最小值为，所以的最小值是3．15．已知双曲线的左右焦点分别为､，实轴长为1，是双曲线右支上的一点，满足，是轴上的一点，则.【解析】设，由题意知，,因为是双曲线右支上的一点，满足，所以,解得.所以，两式相减可得，即.设，则，又，所以.16．设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为.【解析】如图，设为的中点，连接，易知，，，又为的中点，，，，为等腰直角三角形，设，由双曲线的定义知，解得，，又，.在中，，，，化简得，即，又，.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程.【解析】（1）双曲线的渐近线化为，设双曲线的方程为，即，又双曲线的右焦点，则，解得，所以双曲线的标准方程为.（2）由（1）知，，设直线的方程为，显然，由消去整理得，显然，，而，则，化简得，即，而，解得，所以直线的方程为，即.

18．已知，，点满足，记点的轨迹为，(1)求轨迹的方程；(2)若直线过点，且与轨迹交于、两点．在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，使恒成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由．【解析】（1）由知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支．且，即，，故，

轨迹方程为．（2）若直线的斜率存在，设直线的方程为，联立得得，

设，，由条件得

，解得．

设存在点满足条件，由

，得

对任意恒成立，所以解得，因此存在定点满足条件．若直线的斜率不存在，则直线的方程为，联立得，，将验证，结果也成立.

综上所述，轴上存在定点，使恒成立.19．已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为.(1)求C的方程；(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由已知C：，点A的坐标为，得，焦点，，.所以，，故C：.（2）设l的方程为，则，故，由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故.与双曲线方程联立得：，由已知得，，设，，则，①由，得：，，消去得：，即②由①②得：，由已知，故存在定直线l：满足条件.20．已知双曲线的虚轴长为，左焦点为F．(1)设O为坐标原点，若过F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当时，求的面积；(2)设过F的直线l与C交于M，N两点，若x轴上存在一点P，使得为定值，求出点P的坐标及该定值．【解析】（1）由题意可知，，得，所以双曲线C的标准方程为，则，双曲线C的渐近线方程为，由对称性可知，直线l与垂直和直线l与垂直这两种情况下的面积是相等，不妨设直线l与垂直，则直线l的方程为，则点A在渐近线上，点B在渐近线上，由，解得，则，所以，易知，所以，故的面积．（2）设，当轴时，直线l的方程为，代入，解得，不妨取，，则，当轴时，直线l的方程为，代入，解得，不妨取，，则，令，解得，此时，当直线l与坐标轴不垂直时，设直线l的方程为，代入，得，，设，，则，，当点P的坐标为时，．综上可知，当点P的坐标为时，为定值0．21．点在以、为焦点的双曲线上，已知，，为坐标原点．(1)求双曲线的离心率；(2)过点作直线分别与双曲线渐近线相交于、两点，且，，求双曲线的方程；(3)若过点（为非零常数）的直线与（2）中双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且（为非零常数），问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这种定点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）因为，则，可得，因为，由勾股定理可得，即，所以，，因此，该双曲线的离心率为.（2）因为，则，所以，双曲线的方程为，即，双曲线的渐近线方程为，设点、、，，可得，因为，即，可得，即点，将点的坐标代入双曲线的方程可得，可得，所以，，所以，，因此，双曲线的方程为.（3）假设在轴上存在定点使得，设直线的方程为，设点、，联立，可得，由题意可得，可得，由韦达定理可得，，易知、，所以，，，因为，所以，，即，即，即，（*）由可得，则，将代入（