专题6.7 平面向量、复数和解三角形综合练（解析版）备战2024年新高考数学一轮复习题型突破精练（新高考专用）

第第页专题6.7平面向量、复数和解三角形综合练题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023春·黑龙江鸡西·高一鸡西市第四中学校考期中）已知向量均为任意向量，m为任意实数，则下列等式不一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用向量加法结合律判断A；利用数量积运算律判断B；利用数乘向量分配律判断C；利用数量积的意义判断D作答.【详解】对于A，由向量加法结合律知，成立，A正确；对于B，由数量积的分配律知，成立，B正确；对于C，由数乘向量的分配律知，成立，C正确；对于D，表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而是任意的，因此与不一定相等，D错误.故选：D2．（2023·江西·校联考模拟预测）已知复数，则的共轭复数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数乘法计算法则计算即可.【详解】，所以的共轭复数为故选：C3．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知，，若与模相等，则=（

）.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】利用坐标求出的模长，进而根据已知条件可以得到一个关于的方程，问题即可得到解决.【详解】因为，所以，故，而又已知，且，所以，解得.故选：C4．（2023春·吉林·高三东北师大附中校考期中）在中，角的对边分别为，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，利用正弦定理求得，再利用余弦定理求得，即可求解.【详解】因为，由正弦定理得，又因为，可得，又由余弦定理，可得，因为，所以.故选：B.5．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）在中，平分，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】记，在中，，在中，，由平分，得到或，当时，求得；当时，得，再由，结合基本不等式求得结果．【详解】如图，记，

在中，，则，在中，，则,∵平分，∴，∴，∴，∴∴，∴∴，∴，∴或，当时，为等腰三角形，∴，，∴；当时，，即，∴，当且仅当，即时，等号成立，∵，∴的最小值为.故选：C.6．（四川省2023届名校联考高考仿真测试（四）文科数学试题）已知向量，，则下列命题不正确的是（

）A． B．若，则C．存在唯一的使得 D．的最大值为【答案】D【分析】由向量模的计算公式，可判定A正确；由向量共线的坐标表示，可判定B正确；根据向量的数量积的运算公式，求得，得到，可判定C正确；根据向量的运算法则，化简得到，求得的最大值，可判定D错误.【详解】由向量，，对于A中，由，所以A正确；对于B中，若，可得且，可得，所以B正确；对于C中，若，可得，整理得，所以，可得，因为，可得，所以C正确；对于D中，由，因为，所以，可得，所以的最大值为，即的最大值为，所以D错误.故选：D.7．（云南三校2023届高三高考备考实用性联考卷（八）数学试题）已知，是方程的两个复根，则（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】利用求根公式求出两个复根，然后利用复数的运算法则及模的公式直接计算即可.【详解】已知，是方程的两个复根，所以，则设，，所以，故选：B.8．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在圆内接四边形中，.若为的中点，则的值为（

）A．-3 B． C． D．3【答案】C【分析】根据余弦定理得到，确定为圆的直径，为等边三角形，建立坐标系，确定点坐标，计算向量的数量积得到答案.【详解】连接，由余弦定理知，所以.由正弦定理得，所以为圆的直径，所以，所以，从而，又，所以为等边三角形，以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系.则，所以.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据平面向量的数量积的运算律一一判断求解.【详解】因为，所以，所以，又因为，所以,所以，所以，A错误；因为△ABC是边长为2的等边三角形，所以的夹角为，即的夹角为，所以，所以，B正确；，C正确，D错误；故选:BC.10．（2023·山东青岛·统考三模）关于x的方程的复数解为，，则（

）A．B．与互为共轭复数C．若，则满足的复数z在复平面内对应的点在第二象限D．若，则的最小值是3【答案】BD【分析】根据给定条件，求出，再逐项计算、判断作答.【详解】因为，因此不妨令方程的复数解，对于A，，A错误；对于B，与互为共轭复数，B正确；对于C，，由，得，则复数z在复平面内对应的点在第四象限，C错误；对于D，设，由，得，显然有，由选项A知，因此，当且仅当，即时取等号，D正确.故选：BD11．（2023·广东广州·统考模拟预测）在锐角中，角所对的边为，若，且，则的可能取值为（

）A． B．2 C． D．【答案】ACD【分析】由面积公式及余弦定理求出，再由正、余弦定理将角化边，即可求出，再由正弦定理及三角恒等变换公式将转化为关于的三角函数，最后由三角函数的性质计算可得.【详解】在锐角中，由余弦定理及三角形面积定理得：，即有，而，则，又，由正弦定理、余弦定理得，，化简得：，由正弦定理有：，即，，又是锐角三角形且，有，，解得，因此，由得：，，所以，结合选项，的可能取值为，，.故选：ACD12．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，记，则（

）

A．B．C．D．在方向上的投影向量为【答案】BC【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算律，对选项逐一判断即可得到结果.【详解】，故A错误；因为，故B正确；，又，所以，故C正确；在方向上的投影向量为，故D错误.故选：.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．（2023·重庆·统考模拟预测）如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚处测得山顶处的仰角为，又利用无人机在离地面高的处（即），观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，则山高_________m．

【答案】【分析】确定，，，在中，利用正弦定理求出，再由锐角三角函数计算得到答案.【详解】依题意，则，,，故，，在中，由正弦定理得，即，解得，则.

故答案为：14．（2023·全国·高三专题练习）计算________.【答案】【分析】利用特殊角的三角函数值及复数的四则运算法则求解计算.【详解】原式故答案为：.15．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）已知复数，若为实数，则________．【答案】2【分析】根据复数的加法和除法运算求得，进而得到，求得，即可求得答案.【详解】，所以，得，所以.故答案为：216．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）设是平面内的两条互相垂直的直线，线段AB，CD的长度分别为2，10，点A，C在a上，点B，D在b上，若M是AB的中点，则的取值范围是___________．【答案】【分析】设直线与直线的交点为，线段的中点为，由条件确定点的轨迹，结合数量积的运算求的取值范围.【详解】设直线与直线的交点为，因为M是AB的中点，，所以，故点在以为圆心，半径为的圆上，设线段的中点为，，所以，故点在以为圆心，半径为的圆上，因为，，所以，又，所以，所以的取值范围是.故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知复数z满足，且z的虚部为-1，z在复平面内所对应的点在第四象限．(1)求z；(2)若z，在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求∠OAB．【答案】(1)(2)【分析】（1）运用复数几何意义设出，再结合共轭复数定义写出，再运用复数乘法运算求得结果.（2）运用复数几何意义、两点间距离公式及勾股定理可求得结果.【详解】（1）由题意知，设（），则，所以，解得：，所以.（2）由（1）知，，所以，所以，，如图所示，

所以，，，，所以.所以.18．（2023春·河南洛阳·高三统考期中）已知平行四边形中，E是的中点，F是边上靠近点B的三等分点，与交于点M，，设，且．(1)用表示；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的线性运算即可求得答案；（2）求得，,根据向量的夹角公式即可求得答案.【详解】（1）由题意得，，故；（2）为向量和的夹角，且,而，所以,同理,，,而，所以.19．（2023·广东广州·统考模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围.【答案】(1)(2).【分析】（1）由余弦定理结合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；（2）由，结合正弦定理应用辅助角公式，根据锐角三角形中角的范围，即可应用三角函数值域求出范围【详解】（1）由余弦定理得，即，由正弦定理得，，即，.（2）由余弦定理得：，则.由正弦定理得所以，因为是锐角三角形，所以，即，则.中线长的取值范围是.20．（2023·广东深圳·校考二模）记的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知.(1)证明：；(2)若角B的平分线交AC于点D，且，，求的面积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用余弦定理结合条件即得；（2）利用余弦定理结合条件可得，然后利用角平分线定理及余弦定理即得.【详解】（1）由正弦定理得：所以可化为,因为,，所以所以，所以，即，所以；（2）角B的平分线交AC于点D，且，,由角平分线定理可得，,,又，由余弦定理得：，，在中，由余弦定理得：，所以.所以.21．（2023·全国·高三专题练习）已知在等腰中，，．(1)；(2)若点是外接圆上的动点，为圆心，求的取值范围．【答案】(1)2(2)【分析】（1）根据题意，由平面向量的数量积的定义，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，将转化为，然后结合数量积的定义，代入计算即可得到结果.【详解】（1）等腰中，，，则，.（2）

等腰中，，，点是外接圆上的动点，为圆心，，设，，，，，最大值为，最小值为．故的取值范围：.22．（2023·上海松