专题3.3 函数的奇偶性、周期性与对称性（解析版）备战2024年新高考数学一轮复习题型突破精练（新高考专用）

第第页专题3.3函数的奇偶性、周期性与对称性题型一判断函数的奇偶性题型二利用奇偶性求函数值或参数值题型三利用奇偶性求解析式题型四函数周期性的应用题型五函数对称性的应用题型六单调性与奇偶性的综合问题题型七对称性、周期性与奇偶性的综合问题题型一 判断函数的奇偶性例1．（2023·北京房山·统考二模）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判断二次函数的对称轴，可得函数不是偶函数，判断选项A，根据函数的定义域判断选项B，判断得，从而得函数为偶函数，结合三角函数的性质可判断得该函数不具有最小值，从而判断选项C，根据，得函数为偶函数，再利用基本不等式求解出最小值，即可判断选项D.【详解】对A，二次函数的对称轴为，不是偶函数，故A错误；对B，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；对C，，定义域为，所以函数是偶函数，结合三角函数的性质易判断函数无最小值，故C错误；对D，，定义域为，所以函数是偶函数，因为，，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数有最小值，故D正确.故选：D例2．（2023·山东青岛·统考二模）已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函数的奇偶性及选项逐项排除即可得到答案．【详解】，的定义域均为，且,，所以为奇函数，为偶函数.由图易知其为奇函数，而与为非奇非偶函数，故排除AB.当时，，排除C.故选:D．练习1．（2023春·北京·高三北京师大附中校考期中）下列函数是奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用奇偶性定义判断各项函数的奇偶性.【详解】显然各项函数的定义域均为R，，偶函数，A不符合；，奇函数，B符合；，非奇非偶函数，C不符合；，非奇非偶函数，D不符合.故选：B练习2．（2023·上海·高三专题练习）函数是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．奇函数也是偶函数 D．非奇非偶函数【答案】B【分析】求出定义域，根据函数奇偶性的定义判断即可.【详解】由函数可知，定义域为关于原点对称，又，故函数为内的偶函数.故选：B练习3．（2023·北京海淀·统考二模）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合基本初等函数的性质，即可由选项逐一判断.【详解】对于A,的定义域为，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误，对于B，的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，但在单调递减，故B错误，对于C，的定义域为,关于原点对称，又，故为偶函数，故C错误，对于D，由正切函数的性质可知为奇函数，且在单调递增，故D正确，故选：D练习4．（2023春·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）下列函数在其定义域内既是严格增函数，又是奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据初等函数的单调性和奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数在定义域上不是严格的单调函数，不符合题意；对于B中，函数的定义域为，所以为非奇非偶函数，不符合题意；对于C中，函数，可得，所以函数不是奇函数，不符合题意；对于D中，函数，在定义域上严格的单调递增函数，且，所以函数为奇函数，符合题意.故选：D.练习5．（2023·海南·校联考模拟预测）函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性证明函数为偶函数；分别求出，利用排除法，结合选项即可求解.【详解】函数的定义域为，关于原点对称，，则函数为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C；又，故排除AB，D符合题意.故选：D.题型二 利用奇偶性求函数值或参数值例3．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）若为奇函数，则（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】利用奇函数的定义，对分类讨论即可得解.【详解】因为函数为奇函数，所以的定义域关于原点对称.若，则的定义域不关于原点对称，所以的定义域为且，所以，解得.所以，定义域为.令，得，故，此时经检验，为奇函数.故选：C.例4．（2023春·河北保定·高三保定一中校考期中）已知函数且，则的值为__________【答案】【分析】由函数的解析式发现，它是由一个奇函数加一个常数的形式，再注意到已知的函数值和要求的函数值，它们的自变量互为相反数，所以可以直接代入利用奇函数的性质求解.【详解】因为，所以，所以，所以

，故答案为：.练习6．（2022秋·高三课时练习）为奇函数，为偶函数，且则（

）A．3 B．-1 C．1 D．-3【答案】A【分析】根据函数奇偶性可知，解方程组即可求得.【详解】因为为奇函数，为偶函数，则所以两式相加可得，即故选：A.练习7．（2023·辽宁·校联考二模）“”是“函数是奇函数”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】函数为奇函数，解得，判断与的互推关系，即可得到答案.【详解】当函数为奇函数，则，解得.所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件.故选：A.练习8．（2022秋·江苏南通·高一江苏省通州高级中学校考阶段练习）若函数是偶函数，则的最小值为（

）A．4 B．2 C． D．【答案】A【分析】根据为偶函数求出，再利用基本不等式求解.【详解】由为偶函数可得，即，所以．因为，且，，所以，所以，则，当且仅当，即时，取最小值4．故选：A练习9．（2023·广西玉林·统考三模）函数，若，则________．【答案】3【分析】根据题意可得，结合计算即可求解.【详解】由题得，∴，所以．故答案为：3.练习10．（2023·上海金山·统考二模）已知是定义域为的奇函数，当时，，则__________.【答案】【分析】根据奇函数性质求解即可.【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以，故答案为：.题型三 利用奇偶性求解析式例5．（2023·全国·高一专题练习）已知奇函数则__________．【答案】【分析】根据奇函数的定义，先求当时，，，再进一步求解.【详解】当时，，，则．故答案为：.例6．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为_________．【答案】/【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出时的解析式作答.【详解】是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，，，所以当时，的表达式为.故答案为：练习11．（2023·安徽马鞍山·统考三模）函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据奇偶函数的定义可得，再利用基本不等式求最小值.【详解】由题意可得，解得，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.练习12．（2023·全国·模拟预测）已知函数是奇函数，函数是偶函数．若，则（

）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性结合已知等式可得，联立可得，即得答案.【详解】由函数是奇函数，函数是偶函数，，故，即，将该式和相减可得，则，故选：C练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为_________．【答案】【分析】利用函数的奇偶性求解即可.【详解】由于函数是上的奇函数，则.当时，，设，则，则，所以.综上所述，.故答案为：【点睛】方法点睛：根据函数奇偶性求解析式的步骤：（1）设：要求哪个区间的解析式，就设在哪个区间；（2）代：利用已知区间的解析式代入进行推导；（3）转：根据的奇偶性，把写成或，从而解出.练习14．（2023秋·安徽芜湖·高三统考期末）函数为偶函数，当时，，则时，___________．【答案】【分析】由偶函数的定义求解．【详解】时，，是偶函数，∴，故答案为：．练习15．（2022秋·安徽马鞍山·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校考期中）已知是定义在上的奇函数，当时，．(1)求的解析式；(2)若方程有两个实数解，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）设，则，，然后由函数是定义在上的奇函数求解的解析式.（2）在同一坐标系中作出函数的图象，根据方程有两个解，转化为函数的图象有两个交点求解.【详解】（1）设，则，所以，因为函数是定义在上的奇函数，所以所以；（2）在同一坐标系中作出函数的图象，因为方程有两个解，所以函数的图象有两个交点，由图象知：或，所以的取值范围是.题型四 函数周期性的应用例7．（2023·山西运城·统考三模）已知定义在上的函数满足，为奇函数，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由题意推出函数的周期以及满足等式，赋值求得，利用函数的周期性即可求得答案.【详解】因为，所以，所以的周期为6，又为奇函数，所以，所以，令，得，所以,所以，故选：C.例8．（2023·陕西商洛·统考三模）定义在R上的奇函数满足R，，且当时，，则_________．【答案】1012【分析】根据函数的奇偶性、周期性求解即可.【详解】因为是奇函数，且，所以，故是周期为4的周期函数．所以，令,可得，所以，因为函数为奇函数且周期为4，所以，则，则．故答案为:1012.练习16．（2023春·江西·高三江西师大附中校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，则的值为（）A．－3 B．3 C．－1 D．1【答案】D【分析】根据，可得，从而可得函数的周期，再根据函数的周期性计算即可.【详解】因为，所以，则，所以，所以函数是以为周期的周期函数，则.故选：D.练习17．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过，和的方程联立，得到，根据函数的周期性赋值求解.【详解】当时，由①，得②，①②联立，可得,得③把①代入③可得，即，故，故选：C.练习18．（2023·全国·高三专题练习）若函数满足，且当时，，则（

）A．－1 B． C．0 D．【答案】B【分析】先利用求出函数的周期，利用周期性转化代入即可求解.【详解】依题意，因为，所以，所以，所以函数的周期为4，所以.又因为，所以，当时，，所以，所以.故选：B.练习19．（2023·广东·高三专题练习）已知，函数都满足，又，则______．【答案】/【分析】首先确定函数的周期，再根据条件和函数的周期，求函数值.【详解】根据题意，，显然，所以，

所以，所以函数的周期为8，所以.故答案为：练习20．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知定义在R上的奇函数满足恒成立，且，则的值为______．【答案】【分析】由函数的奇偶性得到，且，结合函数的周期和，求出，得到答案.【详解】因为是定义在R上的奇函数，故，且，又，所以，且，当时，，故，解得：，种，当时，，又，所以，故.故答案为：-1题型五 函数对称性的应用例9．（2023·湖北·统考二模）已知函数图象的对称轴为，则图象的对称轴为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题设条件可得，故可得正确的选项.【详解】设，则，故，整理得到，所以图象的对称轴为.故选：C.例10．（2023·浙江·高三专题练习）定义在R上的非常数函数满足：，且.请写出符合条件的一个函数的解析式______.【答案】（答案不唯一）【分析】根据已知，且得出对称轴和对称中心，确定一个具体函数即可.【详解】因为.得出对称中心，且得出对称轴为轴，且周期为4的函数都可以.故答案为：练习21．（2023·山西晋中·统考二模）已知函数，则的图象（

）A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于原点对称【答案】B【分析】利用函数的对称性及奇偶性即可求解.【详解】对于A，由，所以的图象不关于直线对称，故A错误；对于B，由，所以的图象关于点对称．故B正确；对于C，由，所以不是偶函数，故的图象不关于直线对称，故C错误；对于D，由，所以不是奇函数，故的图象不关于原点对称，故D错误；故选：B.练习22．（2023·陕西安康·统考二模）已知定义在上的奇函数满足，则（

）A． B．0 C．1 D．2．【答案】B【分析】由奇偶性及对称性得函数的周期性，由周期性计算函数值，【详解】由及是奇函数得，，所以，所以是周期函数，周期为4，，故选：B．练习23．（2023秋·河北承德·高三统考期末）已知函数满足，若与图象的交点为，则（

）A． B．0 C．4 D．8【答案】D【分析】由和的图象都关于直线对称，利用对称性求解.【详解】由可知的图象关于直线对称，的图象关于直线对称，所以.故选：D练习24．（2021春·陕西汉中·高三统考期中）已知二次函数，满足，且，则不等式的解集为______．【答案】【分析】根据二次函数的对称性、单调性求得正确答案.【详解】由于，所以二次函数的对称轴为，由于，所以开口向上，在上递减；在上递增，由得，即，所以不等式的解集为.故答案为：练习25．（2023秋·江苏苏州·高三统考开学考试）写出一个非常数函数同时满足条件：①，②.则___________.【答案】（形如或或或）【分析】根据函数所满足的周期性、对称性写出满足条件的函数即可.【详解】因为，，所以函数周期，函数对称轴为，故可取函数，故答案为：（答案不唯一，形如或或或都可以）题型六 单调性与奇偶性的综合问题例11．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第四中学校考期末）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意先求出函数在上为单调增函数且关于直线对称，然后利用函数的单调性和对称性即可求解.【详解】∵当时，恒成立，∴当时，，即，∴函数在上为单调增函数，∵函数是偶函数，即，∴函数的图象关于直线对称，∴，又函数在上为单调增函数，∴，即，∴，故选：B.例12．（2022秋·广东佛山·高三佛山市荣山中学校考期中）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________；若函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数．则不等式的解集为_________【答案】【分析】第一空利用奇函数的性质计算即可，第二空利用单调性结合偶函数的性质解不等式即可.【详解】令，即，则；由题意可得：.故答案为：；练习26．（2023·广西·校联考模拟预测）下列函数既是奇函数又在上是增函数的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别对每个选项中的函数进行奇偶性和增减性分析即可.【详解】对于，因为是奇函数，又在上是增函数，所以正确；对于，因为为偶函数，且定义域为，所以错误；对于，因为是奇函数，但在上为减函数，所以C错误；对于，因为为奇函数，但在上是减函数，所以错误.故选:A.练习27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判断的奇偶性与单调性，根据单调性转化不等式．再解不等式即可.【详解】由得，即函数的定义域为．因为，所以为上的偶函数，当时，，因为函数在上单调递减,所以在上单调递减，又都是在上单调递减，根据单调性的性质，可知函数在上单调递减，又因为函数为偶函数，所以函数在上单调递增，又，所以，可得，所以，且，解得或，所以不等式的解集为.故选：D练习28．（2023秋·浙江杭州·高三杭州市长河高级中学校考期末）若是奇函数，且在上是增函数，又，则的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据函数为奇函数求得且在上是增函数，进而根据得出且或且，最后取并集．【详解】解：函数为奇函数，，，函数在上是增函数，函数在上是增函数，所以当或时，当或时，对于，则或，解得或的取值范围是．故选：D．练习29．（2023春·河北保定·高三保定一中校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．(1)求函数的解析式．(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）设，利用，可得解析式；（2）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号“f”，再考虑到定义域即可求出a的范围．【详解】（1）因为为奇函数，，设，则，则,因为为奇函数，则，则．（2）当时，为单调递增函数，由奇函数可知是定义在[﹣3，3]上的增函数，又∵，∴，故有：，则有，解得：所以实数a取值范围是：练习30．（2023春·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知函数是奇函数．(1)求的值．(2)若时，是上的增函数，且，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据奇函数的定义即可求的值．（2）利用函数单调性和奇偶性解抽象不等式知识即可求的取值范围．【详解】（1）函数是奇函数．（2）若时，即时，是奇函数又是增函数，且，可得，，即的取值范围是.题型七 对称性、周期性与奇偶性的综合问题例13．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数且，当时，，则（

）A． B． C．0 D．10【答案】D【分析】根据题意推得，得到函数的周期为，利用函数的周期性和对称，结合，代入即可求解.【详解】由为奇函数，可得函数的对称中心为，即又由，则的对称轴为，即，所以，即，又由，所以，即函数的周期为，则.故选：D.例14．（山东省烟台市2023届高考适应性练习（一）数学试题）（多选）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（

）A．是奇函数 B．C．的图象关于直线对称 D．【答案】ABD【分析】利用函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可.【详解】对于选项，∵是偶函数，∴，∴函数关于直线对称，∴，∵，∴，∴是奇函数，则正确；对于选项，∵，∴，∴,∴的周期为，∴，则正确；对于选项，若的图象关于直线对称，则，但是，，即，这与假设条件矛盾，则选项错误；对于选项，将代入，得，将，代入，得，同理可知，又∵的周期为，∴正奇数项的周期为，∴，则正确.故选：ABD.练习31．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定的条件，探求函数的性质，再逐项分析判断作答.【详解】函数的定义域为，为偶函数，则，即，又为奇函数，则，即有，亦即，因此，即，由，得，则有，即函数是上的偶函数，又，从而是周期为6的周期函数，显然，而没有条件能求出，即CD错误；，没有条件能求出，A错误；由，得，即，所以，B正确.故选：B练习32．（2023·河南·校联考模拟预测）已知将函数的图像向左平移1个单位后关于轴对称，若，且，则（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】由题意得函数关于对称，即，结合，可得函数的周期为2，再根据，求出的值.【详解】因为将函数的图像向左平移1个单位后关于轴对称，所以函数关于对称，即，即；又因为，所以，即，所以，因为，所以，即，所以由，得，即，所以函数的周期为2，则，由，得.故选：B.练习33．（202