组合逻辑电路的分析和设计-逻辑函数的化简

16.2逻辑函数及其化简

6.2.4逻辑函数的化简

逻辑表达式越简单，则实现它所需要的逻辑元件就越少，逻辑电路的可靠性和稳定性也就越高，成本也越低。逻辑函数化简的方法逻辑代数运算法化简卡诺图化简2

代数运算法化简并项法吸收律配项法加项法（1）并项法

规则：利用，将两项合并为一项，并消去一个或两个变量，例如3

（2）吸收律应用A+AB=A，消去多余的因子，例如:（3）配项法应用

，将

与乘积项相乘，展开化简，例如4

（4）加项法应用

，在逻辑式中添加相同的项，然后合并化简，例如【例5.3】应用逻辑代数运算法化简逻辑式。1.4逻辑函数的图形法化简（1）最小项

如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。

3个变量A、B、C可组成8个最小项：①最小项的定义

2.

最小项的基本性质

(1)

对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为

1，

而其余各种变量取值均使其值为

0。三变量最小项表110000000111101000000110100100000101100010000100100001000011100000100010100000010001100000001000ABCm7m6m5m4m3m2m1m0ABC(2)

不同的最小项，使其值为

1的那组变量取值也不同。(3)

对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为

0。(4)

对于变量的任一组取值，全体最小项的和为

1。（2）逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的标准与--或式

如果一个与或逻辑表达式中的每一个与项都是最小项，则该逻辑表达式称为标准与--或式，也称为最小项表达式。任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和的表达式。对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式A＋A＝1和A(B+C)＝AB＋BC来配项展开成最小项表达式。如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。m1＝ABCm5＝ABCm4＝ABCm2＝ABC（3）卡诺图1.卡诺图的构成

将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。

2.卡诺图的特点

卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项）。每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的3.最小项的卡诺图表示每个2变量的最小项有两个最小项与它相邻每个3变量的最小项有3个最小项与它相邻（4）逻辑函数在卡诺图中的表示

（1）根据逻辑式中的变量数，画出变量的卡诺图；（2）在卡诺图上有最小项的方格内填入1，其余的方格内填入0或不填。m1m3m4m6m7m11m14m151.用卡诺图表示逻辑函数的步骤：每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的两个相邻最小项可以合并消去一个变量逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。变换为与或表达式ＡＤ的公因子ＢＣ的公因子2.逻辑函数的卡诺图表示

说明：如果求得了函数Ｙ的反函数Ｙ，则对Ｙ中所包含的各个最小项，在卡诺图相应方格内填入0，其余方格内填入1。3.卡诺图的性质（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。去异存同（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。BＤＢＤＢＤ（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。ＤＢ4.用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数的方法和步骤：A、画出逻辑函数的卡诺图；

B、合并卡诺图中的相邻最小项（即将卡诺图中相邻的1方格花在一个圈中）；C、将合并化简后的各与项进行逻辑加，便求得逻辑函数的最简与--或式。逻辑表达式或真值表卡诺图11化简示例合并最小项①圈越大越好，但每个圈中标１的方格数目必须为个。②同一个方格可同时画在几个圈内，但每个圈都要有新的方格，否则它就是多余的。③不能漏掉任何一个标１的方格。最简与或表达式ＢＤＣＤＡＣＤ冗余项2233将代表每个圈的乘积项相加两点说明

①在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。ＡＣＤ＋ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ不是最简ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ最简1.5具有约束项的逻辑函数的化简约束项：函数可以随意取值（可以为0，也可以为1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为也叫做约束项。1.逻辑函数中的无关项例如：判断一位十进制数是否为偶数。不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现

说明×111100111×111010110×110100101×110010100×101100011×10101001001001000011100010000YABCDYABCD

输入变量A，B，C，D取值为0000～1001时，逻辑函数Y有确定的值，根据题意，偶数时为1，奇数时为0。

A，B，C，D取值为1010～1111的情况不会出现或不允许出现，对应的最小项属于随意项。用符号“φ”、“×”或“d”表示。

随意项之和构成的逻辑表达式叫做随意条件或约束条件，用一个值恒为0的条件等式表示。含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式：2.利用约束项化简逻辑函数

在化简逻辑函数时，充分利用无关项可以得到更加简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程中，无关项的取值可视具体情况取0或取1。具体地讲，如