2022年高考全国甲卷数学（理）真题

2022年高考全国甲卷数学(理)真题

一、单选题

1.若z=-l+百i,则二=()

ZZ—1

A.一1+后B.-1-/C.®D.」一®

3333

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取

10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社

区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

95%..............................................................................................-*

90%...................................♦..........................-*.............................

替85%..................♦.........................-♦.......♦...............*-----•-........

你80%..............*............................*-....*讲座前

田75%...........................*一.................•讲座后

70%...........................*.....................................................................

65%........■*.....................................*................................................

；........*........*.............................

12345678910"

居民编号

则()

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3.设全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合4={-1,2},8=付/一以+3=0},则①(AuB)=

()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多

面体的体积为()

A.8B.12C.16D.20

5.函数y=（3'—3-，）cosx在区间-段的图象大致为（）

X

A.—1B.—C.；D.I

22

7.在长方体ABCO-ABC2中，己知用。与平面ABC。和平面44百8所成的角均为

30°，贝I]()

A.AB^2ADB.AB与平面所成的角为30°

C.AC=CBtD.8Q与平面BBCC所成的角为45。

8.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会

圆术“，如图，AB是以。为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，。在AB上，

CD1M.“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s=+当

0A=2,乙4。3=60。时，5=(

11-37311-473C9-3。9-4>/3

2222

9.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲

S甲cKi

和5乙，体积分别为％和%.若U=2,则”=（）

5>/10

A.石B.2夜c.710

10.椭圆C:0+斗=1（“>〃>0）的左顶点为A,点P,。均在C上，且关于y轴对

ab

称.若直线ARA。的斜率之积为二，则C的离心率为（）

11.设函数f（x）=sin（0x+]J在区间（0,兀）恰有三个极值点、两个零点，则。的取值

范围是（）

-513、「519、（138]（1319-

A.B.C.—D.—

364|_36J\63J\66_

3111

12,已知4=—,/?=cos-,c=4sin-,则（）

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

二、填空题

13.设向量2,分的夹角的余弦值为g,且忖=1,W=3,则（2Z+B）•坂=_

14.若双曲线丁一工=1（机>0）的渐近线与圆f+y2-4），+3=0相切，则，〃=

15.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为

16.已知△ABC中，点。在边5C上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.当一取得最

AB

小值时，BD=.

三、解答题

17.记S“为数列｛a,,｝的前〃项和.己知瑜+〃=2%+1.

(1)证明：｛a,,｝是等差数列；

(2)若%成等比数列，求S,的最小值.

18.在四棱锥尸-ABC。中，叨，底面

ABCD,CD〃AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=C.

(1)证明：BDLPA；

(2)求尸。与平面P48所成的角的正弦值.

19.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方

得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在

三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

(1)求甲学校获得冠军的概率；

(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

20.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为尸，点。(p,0),过F的直线交C于M,N两

点.当直线垂直于x轴时，尸|=3.

⑴求C的方程；

(2)设直线与C的另一个交点分别为A,B,记直线MMA8的倾斜角分别为

a,/3.当a-夕取得最大值时，求直线AB的方程.

21.已知函数〃x)=J-lnx+x-a.

(1)若f(x)20,求a的取值范围;

(2)证明：若/(X)有两个零点儿,三，则为了2<1.

■2+t

22.在直角坐标系水川中，曲线C1的参数方程为「一一/(f为参数)，曲线C2的参

y=4t

2+s

x=-------

数方程为J6(s为参数).

y=-4s

(1)写出C1的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为

2cosd-sin，=0,求G与G交点的直角坐标，及C,与G交点的直角坐标.

23.已知a,b,c均为正数，且片+〃+4°2=3,证明：

(1)6Z+Z?+2C,<3；

(2)若6=2c,则工+423.

参考答案：

1.C

由共粗复数的概念及复数的运算即可得解.

解：z=-l->/3i,zz=(-l+>/3i)(-l->/3i)=l+3=4.

z-l+后1A/3.

----------=----------------=--------1--------1

ZZ-1333

故选：C

2.B

由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.

解：讲座前中位数为‘0%；75%>70%,所以A错;

讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问

卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对；

讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确

率的标准差，所以C错；

讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%,

讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%,所以D错.

故选:B.

3.D

解方程求出集合已再由集合的运算即可得解.

解:由题意，5=仲2-4二+3=0}={1,3},所以=1,123},

所以"(ALB)={-2,0}.

故选：D.

4.B

由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.

解：由三视图还原几何体，如图，

答案第1页，共15页

则该直四棱柱的体积V=-7-X2X2=12.

2

故选：B.

5.A

由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.

解:令f(x)=(3*-37)c°sx,xw—1,-|,

则/(-X)=(3-v-y)cos(-%)=-(3X-3-x)cosx=-f(x),

所以/(x)为奇函数，排除BD；

又当时，3'-3-x>0,cosx>0,所以〃x)>0,排除C.

故选：A.

6.B

根据题意可知/。)=-2,尸(1)=0即可解得a,6,再根据广(x)即可解出.

解：因为函数“X)定义域为(0,+8),所以依题可知，/(1)=-2,/'(1)=0,而

r(x)=q-与，所以。=-2,〃-方=0,即a=-2力=-2,所以(⑺=二+二，因此函数

XX入X

“X)在(0,1)上递增，在(1,E)上递减，X=1时取最大值，满足题意，即有

f<2)=T+L」.

V722

故选：B.

7.D

根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出.

解：如图所示：

答案第2页，共15页

D

不妨设A3=〃,A3=A,A4=c,依题以及长方体的结构特征可知，用。与平面ABC。所成

cb

角为NBQB,BQ与平面A4/田所成角为NO8M，所以疝30=芯=右，即％=°,

DXDDXD

222

BlD=2c=y/a+b+c,解得〃=岳.

对于A,AB=a,AD=b,AB=6AD，A错误；

对于B,过B作BELAg于£,易知8£1平面4?©。，所以4B与平面A8G。所成角为

ABAE,因为tanNBAE=£=①，所以乙5AEw3O,B错误；

a2

2922

对于C,AC=\lcr+b=y/3cCB{=y/h+c=V2c,ACwCg,C错误；

对于D,4。与平面B8CC所成角为ND?C，sin/Z)4C=52=F="，而

B、D2c2

0<ZDB,C<90,所以NO8C=45：.D正确.

故选：D.

8.B

连接OC，分别求出AB,OC,CO,再根据题中公式即可得出答案.

解：解：如图，连接OC,

因为C是AB的中点，

所以OCJ./W,

又CD_LAB,所以O,C,。三点共线，

即8=。4=。3=2,

又4403=60。，

所以AB=Q4=OB=2,

答案第3页，共15页

则oc=5故CD=2-G

所以S=A8+空=2+^M=l^.

OA22

故选：B.

9.C

设母线长为/，甲圆锥底面半径为4,乙圆锥底面圆半径为4,根据圆锥的侧面积公式可得

r,=2r2,再结合圆心角之和可将小4分别用/表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高,

再根据圆锥的体积公式即可得解.

解：解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为乙圆锥底面圆半径为

贝仔嗯仔2,

所以4=24,

又细+独=2%，

则中=1,

21

所以4=]/，0=§/，

所以甲圆锥的高4=

乙圆锥的高饱=J/2__y2=苧

答案第4页，共15页

1打4巾6

y鼻孙％-Ix—/_

所以十^——\磊=M-

乙『3l/2x^z

393

故选：c.

10.A

2i

设P（X"J，则。（f，x）,根据斜率公式结合题意可得式2=再根据

—x（+。4

）2

工+去=1,将》用玉表示，整理，再结合离心率公式即可得解.

ab

解：解：A（-«,0）,

设P（%,y），则。（-%，乂），

又£+驾=1,则y；="（'「一'）,

«2b2“a2

从/i

所以一滔—_1,即勺=上,

—~A4

一年+。4a

所以椭圆C的离心率e=£=、1X=3.

a\a22

故选：A.

11.C

由X的取值范围得到。X+?的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即

可.

解：解：依题意可得。＞0,因为xe（0,7）,所以勿乃+（）,

要使函数在区间（0,万）恰有三个极值点、两个零点，又丫=加孙女（9,3万］的图象如下所

示：

答案第5页，共15页

12.A

由：=41211!结合三角函数的性质可得。>/?；构造函数/（犬）=（：（^+:/-1,彳€（0,+00）,

b42

利用导数可得人〃，即可得解.

解：因为］=4tan；,因为当xe（0,71

,sinx<x<tanx

所以*即2,所以C*

、19

=cosx+—.r-1,XG(0,+oo)

yz（x）=-sinx+x>0,所以fM在（0,+oo）单调递增,

则叫>f（0）=0，所以cos>0,

所以…，所以。〉〃〉a,

故选：A

13.11

设2与B的夹角为。，依题意可得cosd=；,再根据数量积的定义求出H，最后根据数量

积的运算律计算可得.

解：解：设公与丐的夹角为兄因为£与分的夹角的余弦值为g，即cosO=g,

又忖=1,1|=3,所以=忖,阵0$0=lx3xg=1,

所以（2a+.）4=2a出+B=2a-b+1/?|=2xl+32=11.

故答案为：11.

答案第6页，共15页

14.B

3

首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依

题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可.

2

解：解：双曲线产-二=1（根>0）的渐近线为y=±A，即x土叼=0,

不妨取x+冲=0,圆/+/_4丫+3=0,即f+（y—2）2=l,所以圆心为（0,2）,半径

r=1,

依题意圆心（0,2）到渐近线x+冲=0的距离d=J丝=1,

，1+"

解得初二^^或"2=-X^（舍去）.

33

故答案为：迫.

3

15.—.

35

根据古典概型的概率公式即可求出.

解：从正方体的8个顶点中任取4个，有〃=C；=70个结果，这4个点在同一个平面的有

〃2=6+6=12个，故所求概率「=%=昆=9.

n7035

故答案为：—.

16.73-1##-1+>/3

AC2

^CD=2BD=2m>0,利用余弦定理表示出7F-后,结合基本不等式即可得解.

解：i§：CD=2BD=2m>0,

则在AABD中，AB2=BD2+AD2-2BDADcosZADB=nr+4+2m,

在ZMC。中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4m2+4-4m，

AC?4m2+4_4加4(m2+4+24)―]2(1+m)12

2

所以AB?M+4+2Mm+4+2m〃?+l)+=-

"t+1

12

>4-=4-2^3

2.(zn+1).-

Vm+1

当且仅当即"=石一时等号成立,

答案第7页，共15页

所以当警取最小值时，^=73-1.

故答案为：石-1.

17.(1)证明见解析；

(2)-78.

.[S”〃=1

⑴依题意可得2s“+〃2=2〃%+〃，根据4=：、.，作差即可得到

Sn-S„.„n>2

《,-a“T=l，从而得证；

(2)由(1)及等比中项的性质求出％,即可得到｛《,｝的通项公式与前〃项和，再根据二

次函数的性质计算可得.

(1)

2s

解：因为久+〃=2a“+l,HP2S„+n2=2na„+n@,

当〃22时，2s,i+(〃-1)2=2(〃-1)4I+(〃-1)②，

①-②得，2s“+〃2—2S“_]-(〃-1)=2〃a“+〃-2(〃-1"“_1-(〃-1),

即4+2〃-1=2也“一2(〃-1)41+1,

即2(〃一1)%一2(〃一=2(〃一1),所以”22且〃eN*,

所以｛q｝是以1为公差的等差数列.

⑵

解：由(1)可得“4=q+3,%=q+6,“9=4+8,

答案第8页，共15页

又。4，%，%成等比数列，所以。72=%・%，

即（4+6『=（4+3＞（4+8）,解得％=T2,

LL,、tIOLL2〃（〃-1）1125125?625

所以4,=〃T3,所以S“=-12〃+」——^=一〃一——”=一n---------------

“22222）8

所以，当”=12或”=13时⑸L=—78.

18.(1)证明见解析；

⑵亨.

(1)作于E,于F,利用勾股定理证明4)，BD，根据线面垂直的性

质可得尸。_1_或)，从而可得8。_L平面PAO,再根据线面垂直的性质即可得证；

(2)以点Z)为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.

(1)

证明：在四边形A8C£＞中，作OEJ_AB于E,于F,

因为C£＞//AB,AO=8=C8=1,AB=2,

所以四边形ABCD为等腰梯形，

所以AE=BP=L,

2

故。E=*，BD7DE2+BE?=6,

所以+配)2=皿2,

所以4)_LB£＞，

因为PD_L平面A8C3,8£＞u平面ABC3,

所以PZ5_L5r),

又PDcAD=D,

所以8O_L平面PA£),

又因为R4u平面R4Z),

所以瓦＞_LA4；

答案第9页，共15页

⑵

解：如图，以点。为原点建立空间直角坐标系,

80=6

则A（l,0,0）,3（0,G,0）,P（0,0,⑹，

则丽=卜1,0,6）,丽=（0,-0,6）,而=（o,o,后卜

设平面R4S的法向量M=（x,y,z）,

n-AP=-x+A/3Z=0

则有｛可取"=(6,1,1),

n-BP=-sl3y+j3z=0

则"廊＞=摘邛

所以PO与平面A48所成角的正弦值为4.

19.(1)0.6：

（2）分布列见解析，E（X）=13.

（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为AaC,再根据甲获得冠军则至少获胜两个项

答案第10页，共15页

目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；

(2)依题可知，X的可能取值为0,10,20,30,再分别计算出对应的概率，列出分布列，即

可求出期望.

(1)

设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A8,C,所以甲学校获得冠军的概率为

P^P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=0.5x0.4X0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

(2)

依题可知，X的可能取值为0,10,20,30,所以，

p(X=0)=0.5x04x0.8=0.16,

X=10)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P(X=20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

P(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列为

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E(X)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

20.(l)r=4x；

(2)AB:x=+4.

(1)由抛物线的定义可得尸|=p+5,即可得解；

(2)设点的坐标及直线=,町+1,由韦达定理及斜率公式可得£”N=23B，再由差

角的正切公式及基本不等式可得&即=等，设直线A8:x=&y+〃，结合韦达定理可解.

(1)

答案第11页，共15页

抛物线的准线为X=-^,当MD与x轴垂直时，点"的横坐标为p,

此时|MF|印+5=3,所以0=2,

所以抛物线C的方程为V=4x；

⑵

直线MN.x=tny+\,

x-my+1

由〈，可得)「一4冲一4=0,A>0,)^=-4,

y~=4x2

k:）1f=4二；4

由斜率公式可得MN一二至一弘+必，"一支宝―不，

4444

直线M。:x=土匚.y+2,代入抛物线方程可得V―4（“-2））-8=0,

乂X

△>。，乂力=-8,所以%=2%，同理可得乂=2乂，

.44

所以=-7—=57―7―7=

）、+以2（%+y2）2

又因为直线MN、AB的倾斜角分别为a,£,

、

所uu,以i,&.=1211尸o=博'MV^=丁tanct，

若要使a最大，则匹（00，

fan一二一tana-tan-一"一〔<〔

T

设G=2M=2Z>0,则ian（a-夕广|+tanatan^一币记一一币工一

%2u,2

当且仅当!=2%即％=XZ时，等号成立，

k2

所以当。一夕最大时，J吟,设直线AB:x=^y+”，

代入抛物线方程可得尸-4夜y-4〃=0,

△>0-^3^4=-4/1=4y1^,=-16,所以"=4,

所以直线48:x=&y+4.

点评：关键点：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐

标间的关系.

答案第12页，共15页

21.(l)(-oo,e+l]

(2)证明见的解析

（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解;

（2）利用分析法•,转化要证明条件为三-抚1-2

>0,再利用导数即可得

证.

（1）

f（x）的定义域为（0,”）,

令f(x)=o,得x=l

当xw(0,1),r(x)<0,/(x)单调递减

当Xe(l,+oo),/,(x)>0,/(x)单调递增,f(x)>/(l)=e+l-a,

若/(x)20,则e+1-aNO,即a4e+l

所以”的取值范围为(-8,e+l]

(2)

由题知,”x)一个零点小于1,一个零点大于1

不妨设%V1V%2

1

要证MW<1,即证X<一

X]

因为x”L(0,l),即证〃占)>/仕]

X2)

因为〃％）=/（电）,即证/（毛）>/

Q-|

即证---\nx+x-xex-Inx——>0,XG(l,+oo)

XX

e

即证一一“铲一2

x

下面证明1>1时，---xex>0,lnx-^-fx--1<0

x2Vx)

答案第13页，共15页

设g(x)=---xex,x>1，

所以/(x)>*(l)=e,而e：<

所以J-5>0,所以g'(x)>0

X

所以g(x)在(L”)单调递增

即g(x)>g⑴=0,所以Jp—e->0

x

令〃(x)=lnx--1^fx--j