数学高中人教A版必修4学案1.2.1任意角的三角函数的定义（第一课时）Word版含解析

第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数(第一课时)学习目标1.掌握任意角的三角函数的定义;2.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值;3.记住三角函数的定义域及在各象限的符号.学习过程复习:初中锐角的三角函数是如何定义的?Rt△ABC中,设A的对边为a,B的对边为b,C的对边为c,锐角A的正弦、余弦、正切依次为sinA=ac,cosA=,tanA=探究:1.坐标法求三角函数.锐角α可放在坐标系中,在角α的终边上任取一点P(a,b),点P与原点的距离r=a2sinα=;cosα=;tanα=.

由三角形相似,确定的α可对应相似的直角三角形,这三个比值对应,随P在角的终边的位置改变而改变.

2.单位圆.思考:怎样适当地选取P点使比值简化?其中,以原点为圆心,以为半径的圆为单位圆.

新知:1.任意角的三角函数.设α为一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y):那么:(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;(2)x叫作α的余弦,记作cosα,即;

(3)yx叫作α的正切,记作,即tanα=yx(x≠0三角函数:对于确定的角α,上面三个函数值都是唯一确定的,所以,正弦、余弦、正切都是以角为,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.由于角的集合和实数集之间可以建立一一对应的关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数.

2.三角函数的定义域、值域及三角函数值在各象限的符号.反思:在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点P(除了原点)的坐标为(x,y),则sinα=,cosα=,tanα=.

3.试用文字语言叙述公式(一)典型例题【例1】求53π的正弦、余弦和正切值【例2】已知角α的终边过点P0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值.【例3】求证:当下列不等式组成立时,角α为第三象限角,反之也对.sin【例4】确定下列三角函数值的符号.(1)cos250°;(2)sin(-π4);(3)tan(-672°);(4)tan3π【例5】求下列三角函数值.(1)sin1480°10';(2)cos9π4;(3)tan(-11达标检测1.α是第四象限角,则下列数值中一定是正值的是()A.sinα B.cosα C.tanα D.12.已知点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知角α的终边过点P(-1,2),则cosα的值为.

4.已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0),求α的正弦、余弦和正切值.5.判断sin4·tan(-23π4)参考答案复习:b探究:1.坐标法求三角函数.锐角α可放在坐标系中,在角α的终边上任取一点P(a,b),点P与原点的距离r=a2+b2,sinα=br,cosα=ar由三角形相似,确定的α可对应相似的直角三角形,这三个比值对应相等,不会随P在角的终边的位置改变而改变.2.单位圆.不难想到,当r=1时形式上比较简单,即sinα=b,cosα=a,tanα=ba,而当r=1时,可构设一个以原点为圆心以单位长为半径的圆,角α的终边与圆的交点选为P点.此时,点P与原点的距离r=1其中,以原点为圆心,以1个单位长度为半径的圆为单位圆.新知:1.cosα=x;tanα;自变量2.三角函数的定义域、值域及三角函数值在各象限的符号.函数定义域值域第一象限第二象限第三象限第四象限y=sinxR[-1,1]++--y=cosxR[-1,1]+--+y=tanx{x|x≠π2+kπ,k∈ZR+-+-反思:在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点P(除了原点)的坐标为(x,y),则sinα=yx2+y2,cosα=xx3.终边相同的角同一三角函数值相等.典型例题【例1】解:在直角坐标系中,作∠AOB=5π3,∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(12,-32),所以sin5π3=-32,cos【例2】解:sinα=-4(-3)2+(-4)2tanα=-4【例3】证明:如果sinα<0成立,那么角α的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非负半轴重合;如果tanα>0,则角α的终边位于第一或第三象限.所以,角α的终边只能位于第三象限.【例4】解:(1)因为250°是第三象限角,所以cos250°<0;(2)因为-π4是第四象限角,sin(-π4)<0(3)因为tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48°,而48°是第一象限角,所以tan(-672°)>0;(4)因为tan3π=tan(π+2π)=tanπ,而π的终边在x轴上,所以tanπ=0.【例5】解:(1)sin1480°10'=sin(40°10'+4×360°)=sin40°10'≈0.645;(2)cos9π4=co