D6-2-定积分在几何学上的应用

四、旋转体的侧面积(补充)三、平行截面面积函数的立体体积其次节一、平面图形的面积二、平面曲线的弧长机动名目上页下页返回完毕定积分在几何学上的应用第六章一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直及x轴所则机动名目上页下页返回完毕围曲边梯形面积为A,右以以下图所示图形面积为线例1.

计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解:由得交点机动名目上页下页返回完毕例2.

计算抛物线与直线围图形的面积.解:由得交点所为简便计算,选取y作积分变量,则有机动名目上页下页返回完毕例3.求椭圆解:

利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式机动名目上页下页返回完毕例4.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.解:机动名目上页下页返回完毕2.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应当小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为机动名目上页下页返回完毕对应例5.计算阿基米德螺线解:点击图片任意处播放开头或暂停机动名目上页下页返回完毕

从0变到2

所围图形面积.例6.计算心形线所围图形的面积.解:(利用对称性)心形线名目上页下页返回完毕心形线(外摆线的一种)即

尖点:

面积:

弧长:参数的几何意义心形线名目上页下页返回完毕例7.

计算心形线与圆所围图形的面积.解:

利用对称性,所求面积机动名目上页下页返回完毕例8.

求双纽线所围图形面积.解:

利用对称性,则所求面积为思考:用定积分表示该双纽线与圆所围公共局部的面积.机动名目上页下页返回完毕答案:二、平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)机动名目上页下页返回完毕则称(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(P168)机动名目上页下页返回完毕(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长机动名目上页下页返回完毕(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):(自己验证)机动名目上页下页返回完毕例9.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,成悬链线.求这一段弧长.解:机动名目上页下页返回完毕下垂悬链线方程为例10.

求连续曲线段解:的弧长.机动名目上页下页返回完毕例11.

计算摆线一拱的弧长.解:机动名目上页下页返回完毕例12.

求阿基米德螺线相应于0≤

≤2

一段的弧长.解:(P349公式39)小结名目上页下页返回完毕三、平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为机动名目上页下页返回完毕上连续,特殊,当考虑连续曲线段绕x轴旋转一四周成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一四周成的立体体积时,有机动名目上页下页返回完毕例13.

计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1

利用直角坐标方程则(利用对称性)机动名目上页下页返回完毕方法2

利用椭圆参数方程则特殊当b=a时,就得半径为a的球体的体积机动名目上页下页返回完毕例14.

计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.解:

绕x轴旋转而成的体积为利用对称性机动名目上页下页返回完毕绕

y轴旋转而成的体积为留意上下限!注注名目上页下页返回完毕分部积分注(利用“偶倍奇零”)柱壳体积说明:

柱面面积机动名目上页下页返回完毕偶函数奇函数机动名目上页下页返回完毕例15.设在x≥0时为连续的非负函数,且形绕直线x＝t旋转一周所成旋转体体积,证明:证:利用柱壳法则机动名目上页下页返回完毕故例16.

一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成

角,解:如以下图取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.机动名目上页下页返回完毕思考:可否选择y作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示:机动名目上页下页返回完毕垂直x轴的截面是椭圆例17.

计算由曲面所围立体(椭球体)解:它的面积为因此椭球体体积为特殊当a=b=c时就是球体体积.机动名目上页下页返回完毕的体积.例18.

求曲线与x轴围成的封闭图形绕直线y＝3旋转得的旋转体体积.(94考研)解:

利用对称性,故旋转体体积为在第一象限机动名目上页下页返回完毕四、旋转体的侧面积

(补充)设平面光滑曲线积分后得旋转体的侧面积求它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:机动名目上页下页返回完毕侧面积元素的线性主部.假设光滑曲线由参数方程给出,则它绕

x

轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积△S的机动名目上页下页返回完毕留意:侧面积为例19.计算圆x轴旋转一周所得的球台的侧面积S.解:对曲线弧应用公式得当球台高h＝2R时,得球的外表积公式机动名目上页下页返回完毕例20.求由星形线轴旋转一周所得的旋转体的外表积S.解:利用对称性绕x星形线名目上页下页返回完毕星形线星形线是内摆线的一种.点击图片任意处播放开头或暂停大圆半径R＝a小圆半径参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动时,小圆上的定点的轨迹为是内摆线)星形线名目上页下页返回完毕内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程直角坐标方程留意:求弧长时积分上下限必需上大下小机动名目上页下页返回完毕3.平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕x轴:4.旋转体的侧面积侧面积元素为(留意在不同坐标系下ds的表达式)绕y轴:(柱壳法)机动名目上页下页返回完毕思考与练习1.用定积分表示图中阴影局部的面积A及边界长s.提示:交点为弧线段局部直线段局部机动名目上页下页返回完毕以x为积分变量,则要分两段积分,故以y为积分变量.2.试用定积分求圆上半圆为下求体积:提示:方法1利用对称性机动名目上页下页返回完毕绕x轴旋转而成的环体体积V及外表积S.方法2用柱壳法说明:上式可变形为机动名目上页下页返回完毕上半圆为下此式反映了环体微元的另一种取法(如以下图).求侧面积:利用对称性机动名目上页下页返回完毕上式也可写成上半圆为下它也反映了环面微元的另一种取法.作业P2842(1),(3);4;5(2),(3);8(2);10;

27;30第三节名目上页下页返回完毕面积及弧长局部：体积及外表积局部：P28413;14;15(1),(4);17;18补充题:设有曲线过原点作其切线,求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的外表积.备用题解：1.求曲线所围图形的面积.明显面积为同理其它.机动名目上页下页返回完毕又故在区域分析曲线特点2.

解:与x轴所围面积由图形的对称性,也合于所求.

为何值才能使与x轴围成的面