时域离散信号和系统的频域分析

时域离散信号和系统的频域分析The

Frequency-domainAnalysis

of

the

DiscreteTime

Signal

&

System第一页，共四十五页。内容提要时域离散信号的傅里叶变换周期序列的傅里叶级数序列的Z变换讨论Z变换的定义和收敛域逆Z变换Z变换的定理和性质系统的频率响应系统函数的零极点分布特殊系统的系统函数及特点第二页，共四十五页。·

信号和系统的分析方法：时域分析和频域分析模拟信号：连续时间函数表示信号，微分方程表示系统，FT或LT表示其频域时域离散信号：序列表示信号，差分方程描述系统，FT或Z变换表示其频域第三页，共四十五页。2.2.1时域离散信号的傅里叶变换而f(jΩ)的傅里叶反变换定义为：连续时间信号f(t)的傅里叶变换定义为：第四页，共四十五页。时域离散信号x(n)的傅里叶变换定义为X(ejω)的傅里叶反变换定义为在物理意义上，X(ejω)表示序列x(n)的频谱，ω为数字域频率。

X(ejω)一般为复数，可用它的实部和虚部表示为或用幅度和相位表示为(2.2.1)第五页，共四十五页。例2.9求下列信号的傅里叶变换解：时域离散信号的傅里叶变换具有以下两个特点：X(ejω)是以2π为周期的ω的连续函数。当x(n)为实序列时，X(ejω)的幅值|

X(ejω)|在0≤ω≤2π区间内偶对称函数，相位arg[X(ejω)]是奇对称函数。第六页，共四十五页。Note：并不是任何序列x(n)的傅里叶变换都是存在的。条件：只有当序列x(n)绝对可和，即时，式(2.

2.1)中的级数才是绝对收敛的，或x(n)的傅里叶变换存在。第七页，共四十五页。2.2.2

时域离散信号傅里叶变换的性质(1)FT的周期性n,

M为整数(2.2.6)因此序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。X(ejω)是傅里叶级数的形式，x(n)是其系数。(2)线性设则第八页，共四十五页。(3)时移和频移特性设则(2.2.8)(2.2.9)(4)序列的折叠设则第九页，共四十五页。(5)序列乘以n设则(6)序列的复共轭设则第十页，共四十五页。(7)序列的傅里叶变换的对称性首先定义两个对称序列：共轭对称序列xe(n)，定义为e

o

o

oxe(n)=x

*(-n)；共轭反对称序列x

(n)定义为x

(n)=-x

*(-n)，此处上标*表示复共轭。其中共轭对称序列的实部是偶函数，而虚部是奇函数➢共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数第十一页，共四十五页。序列的傅里叶变换X(ejω)可以被分解成共轭对称与共轭反对称两部分之和，即其中第十二页，共四十五页。·

FT的对称性(a)将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行FT，得到X(e

jω)=Xe(e

jω)+Xo(e

jω)式中结论：序列分成实部与虚部两部分，实部的FT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。第十三页，共四十五页。(b)将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分

xo(n)，即x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.25)其中：第十四页，共四十五页。将上面两式分别进行FT，得到FT［xe(n)］=1/2［X(ejω)+X*(ejω)］=Re［X(ejω)］=XR(ejω)FT［xo(n)］=1/2［X(ejω)-X*(ejω)］=jIm［X(ejω)］=jXI(ejω)所以：X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)

(2.2.26)结论：序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ejω)，而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部（包括j）。第十五页，共四十五页。·

分析实序列h(n)的对称性FT只有共轭对称部分He(ejω)，共轭反对称部分为零。H(ejω)=He(ejω)H(ejω)=H*(e-jω)实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数，用公式表示为HR(ejω)=HR(e-jω)HI(ejω)=-HI(e-jω)第十六页，共四十五页。·

实序列h(n)分解为共轭对称部分和共轭反对称部分h(n)=he(n)+ho(n)则：he(n)=1/2［h(n)+h(-n)］ho(n)=1/2［h(n)-h(-n)］因为h(n)是实因果序列(2.2.27)第十七页，共四十五页。(2.2.28)实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为(2.2.29)h(n)=

he(n)u+(n)h(n)=

ho(n)u+(n)+h(0)δ(n)(2.2.30)(2.2.31)第十八页，共四十五页。(8)序列的卷积设则(9)序列相乘设则第十九页，共四十五页。(10)Parseval定理帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能量等于频域的总能量。第二十页，共四十五页。2.3周期序列的离散傅里叶级数2.3.1

定义设 是以N为周期的周期序列，

由于是周期性的，

可以展成傅里叶级数()其基波频率为：用复指数表示：第k次谐波为：第二十一页，共四十五页。由于是周期序列，且k次谐波也是周期为N的序列：因此，对于离散傅里叶级数，只取下标从0到N-1的N个谐波分量就足以表示原来的信号。这样可把离散傅里叶级数表示为式中，乘以系数1/N是为了下面计算的方便；为k次谐波的系数。第二十二页，共四十五页。将上式两边乘以由复指数序列的正交性：所以，第二十三页，共四十五页。得到周期序列的离散傅里叶级数表达式：(2.3.6)(2.3.7)如果将n当作时间变量，k当作频率变量，则第一式表示的是时域到频域的变换，称为DFS的正变换。第二式表示的是频域到时域的变换，称为DFS的反变换。由于故 是周期为N的离散周期信号。周期序列的信息可以用它在一个周期中的N个值来代表。第二十四页，共四十五页。2.3.2周期序列的傅里叶变换表示式(2.3.8)模拟系统中，令时域离散系统中，令假定其FT的形式与(2.3.8)式一样，但由于n取整数，下式成立取整数第二十五页，共四十五页。说明：复指数序列的FT是在ω0±2πr处的单位冲激函数，强度为2π，如图2.3.2所示。因此e

jω0n的FT为(2.3.9)若上述假定成立，则按照式(2.2.4)

的逆变换必须存在，

且唯一等于 ，

下面进行验证。第二十六页，共四十五页。图2.3.2的FT第二十七页，共四十五页。观察图2.3.2，

在±π区间，

只包括一个单位冲激函数，

等式右边为 ，

因此得到下式：结论：证明了式(2.3.9)是ejω0n的FT.对一般周期序列，按式(2.3.4)展开DFS，第k次谐波为其FT为第二十八页，共四十五页。式中k=0,

1,

2…N-1,如果让k在±∞之间变化，上式可简化成(2.3.10)因此的FT如下式第二十九页，共四十五页。表2.3.2基本序列的傅里叶变换第三十页，共四十五页。例

2.3.3

令，2π/ω0为有理数，求其FT。解：将用欧拉公式展开(2.3.11)按照式(2.3.9)，其FT推导如下：第三十一页，共四十五页。图2.3.4

cosω0n的FT第三十二页，共四十五页。2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系·

模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式(2.4.1)(2.4.2)其中，t与Ω的域均在±∞之间。第三十三页，共四十五页。·

连续信号和采样信号·

采样信号 和连续信号xa(t)的傅里叶变换之间的关系第三十四页，共四十五页。·

时域离散信号x(n)，或称序列x(n)：x(n)=xa(nT)n取整数，否则无定义。·

x(n)的一对傅里叶变换用式(2.2.1)和式(2.2.4)表示：第三十五页，共四十五页。·

讨论·X(e

jω)与Xa(jΩ)的关系·

数字频率ω与模拟频率Ω(f)之间的关系将t=nT代入式模拟信号的傅里叶变换式中，得到(2.4.4)并将其表示成无限多个积分和，每个积分区间为2π/T第三十六页，共四十五页。，代入上式后，再将Ω′用Ω令代替，得到式中，因为r和n均取整数，e-j2πrn=1，交换求和号和积分号得到(2.4.5)第三十七页，共四十五页。·

若序列是由一模拟信号取样产生，则序列的数字频率ω与模拟信号的频率Ω(f)成线性性关系，即：ω=ΩT式中T是采样周期T=1/fs，将其代入式(2.4.5)得到(2.4.6)现在对比(2.2.4)式和(2.4.6)式，得到(2.4.7)第三十八页，共四十五页。·

结论：序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系，与采样信号的FT和模拟信号的FT之间的关系一样，都是Xa(jΩ)以周期Ωs=2π/T进行周期延拓，且在频率轴上进行归一化（对归一化）。频率轴上取值的对应关系用式(1.2.10)表示。第三十九页，共四十五页。图2.4.1模拟频率与数字频率之间的定标关系第四十页，共四十五页。·

例2.4.1设xa(t)=cos(2πf0t)，

f0=50

Hz，以采样频率fs=200

Hz对xa(t)进行采样，

得到采样信号 和时域离散信号x(n)，

求的傅里叶变换以及x(n)的FT。xa(t)和解：(2.4.8)第四十一页，共四十五页。，按照以fs=200

Hz对xa(t)进行采样得到采样信号式(1.5.2)

， 与xa(t)的关系式为的傅里叶变换用式(1.5.5)确定，即以Ωs=2πfs为周期，将Xa(jΩ)周期延拓形成，得到：第四十二页，共四十五页。(2.4.9)将采样信号转换成序列x(n)，用下式表示：x(n)=xa(