6随机信号-1（随机信号的描述与分析）

1第五章随机信号分析与处理基础随机信号的描述与分析一、

随机信号及其概率结构2确定性信号随时间变化的曲线解析式傅立叶变换得到在频域的表示随机信号的描述由于它的不能准确预测和不能肯定重复，因而不能像确定性信号那样进行，而有它独特的描述方式。由于随机信号是随时间变化的随机变量，因此，描述它的最基本的工具是它的概率结构，即概率（对离散型随机变量）和概率密度（对连续型随机变量），只是要把时间因素考虑在内。3几台性能完全相同的电子仪器由于热噪声引起的输出端的噪声电压一个随机信号的样本集合一、

随机信号及其概率结构正弦信号正弦信号是周期复指数信号的一种特例，即：只取周期复指数信号的实部。由欧拉公式，周期复指数信号为：取实部则为正弦信号如下：一、

随机信号及其概率结构4连续时间随机信号

，用来描述它的概率结构有：（1）一维概率分布函数（2）一维概率密度函数（3）

n维联合概率分布函数（4）n维联合概率密度函数正弦波形如图，其基波频率为 ，周期为T0其初相位为其幅度为A一、

随机信号及其概率结构有一类随机信号，其统计特性不随时间的平移而变化，即其n维联合概率分布函数满足n维联合概率密度函数满足在实际应用中，通常可以把在一段时间内产生随机现象的条件不发生明显变化的随机信号看成是严平稳随机信号。C

和a都是实数，即若 中的 为

0

,

C为实数同时若 中的 为

0

,

a为实数则 为实指数函数一、

随机信号及其概率结构•6如果随机信号只有其一维、二维统计特性满足平稳条件，即称为宽平稳随机信号。上面二个式子中，若令，则得表明平稳随机信号的一维概率密度函数与时间无关，二维概率密度函数只与时间差有关。实指数信号当a>0

x(t)随

t

的增加而指数增长这种类型的信号用来描述诸如原子弹爆炸或

化学链锁反应当

a<0

x(t)随

t

的增加而指数衰减这种类型的信号用来描述诸如放射性的衰变，RC

电路或阻尼机械振动7二、随机信号在时域的数字特征（一）连续时间随机信号的数字特征1.平稳随机信号的数字特征（1）均值（数学期望）均值定义为随机信号的所有样本函数在同一时刻取值的统计平均值。离散随机信号的均值为连续随机信号的均值为对于平稳随机信号，由于其一维概率密度函数与时间无关，故有二、随机信号在时域的数字特征为了表示随机信号的平均功率，有时需要均方值的概念，它由下式决定：对于平稳随机信号，则有（2）

方差方差用来表明随机信号各可能值对其平均值的偏离程度，是随机信号取值分散性的度量。它定义为随机信号可能值与平均值之差的均方值，即其平方根称为均方差。二、随机信号在时域的数字特征对于平稳随机信号，有（3）自相关函数与自协方差函数象一维概率密度函数一样，均值和方差描述的是随机信号在各个时刻的统计特性，为了反映随机信号在不同时刻的内在联系，定义其自相关函数为•当，则有，则有二、随机信号在时域的数字特征对于平稳随机信号还可以用随机信号 在两个不同时刻

、 取值起伏变化的相依程度来描述随机信号不同时刻的关联关系，定义自协方差函数为二、随机信号在时域的数字特征对于平稳随机信号还可以用随机信号 在两个不同时刻

、 取值起伏变化的相依程度来描述随机信号不同时刻的关联关系，定义自协方差函数为二、随机信号在时域的数字特征平稳随机信号的自相关函数和自协方差函数具有一些重要的性质1）•2）3）4）若5）若不含任何周期分量，则二、随机信号在时域的数字特征（4）互相关函数和互协方差函数当研究两个随机信号和的相互关系时，类似自相关函数和自协方差函数，可以定义互相关函数和互协方差函数。其中互相关函数定义为两个随机信号的互协方差函数定义为二、随机信号在时域的数字特征2.各态遍历性随机信号及其数字特征两个最重要的特征量：均值和自相关函数1）随机信号的时间均值2）随机信号的时间相关函数各态遍历性随机信号1）如果 以概率1成立，称各态遍历性。的均值具有2）如果 以概率1成立，称 的自相关函数具有各态遍历性。二、随机信号在时域的数字特征（二）离散时间随机信号的数字特征对于时间随机信号为离散时间随机信号，若t

的取值是离散的，则称对于离散时间随机信号（随机序列）的数字特征只是连续时间情况的延伸，其表示式与连续时间情况并无不同，只是这时时间变量t应为限取整数的变量n。对于一个平稳随机序列 ，如果它的各种时间平均（在足够长的时间内）以概率1收敛于相应的集合平均，则称 为遍历性随机序列。二、随机信号在时域的数字特征如果N是实际上所取的序列长度，则随机序列 的均值、自相关函数和互相关函数分别为二、随机信号在时域的数字特征（三）随机信号的时域分析与应用1.均值估计一个随机信号（序列）的均值估计为2.方差估计一个随机信号（序列）的方差估计为求方差估计时需要已知均值 ，如果均值也是估计值时，则可用均值估计值代替均值，即二、随机信号在时域的数字特征3.自相关函数估计一个随机信号（序列）的自相关函数的估计为式的估计是渐近无偏估计和一致估计，如果用实际求和项数代替N去除和式，则得到的估计是无偏估计，估计式为二、随机信号在时域的数字特征4.互相关函数估计两个随机信号（序列）的互相关函数的估计为这一估计也是渐近无偏估计和一致估计，若要得到无偏估计，也可采用与自相关函数估计类似的估计式子二、随机信号在时域的数字特征4.互相关函数估计两个随机信号（序列）的互相关函数的估计为这一估计也是渐近无偏估计和一致估计，若要得到无偏估计，也可采用与自相关函数估计类似的估计式子第二章已介绍了可以利用快速傅里叶变换FFT求取线性相关，所以，很容易得到以FFT为基础的自相关函数和互相关函数的快速计算方法。二、随机信号在时域的数字特征信号的相关技术在信号检测、雷达、通信、自动控制、地震学、生物医学、机械振动等领域得到广泛地应用。1.对噪声中的已知信号的检测2.检测噪声中的周期信号3.滞后时间的检测4.系统辨识二、随机信号在时域的数字特征三、随机信号的频域描述与分析（一）连续时间情况设 是随机信号 的一个样本，是功率型信号，不满足傅立叶变换所要求的总能量有限（平方可积）的条件，对于平稳随机信号 来说，将其给定的样本

截短，形成 ，即显然其满足傅立叶变换条件，其傅立叶变换存在，为二、随机信号在时域的数字特征并可写出能量的帕斯瓦尔等式等式两边同除以2T，并令，得即为随机信号的样本 的平均功率的谱表达式。二、随机信号在时域的数字特征随机信号 的所有样本都有其功率谱，构成功率谱集合，

， 它是频域的随机信号，取该随机信号的集平均就是随机信号 的功率谱，记为 ，即考虑平稳随机信号均，即的平均功率，它也应满足集平将上式推广到集平均，可以得到二、随机信号在时域的数字特征二、随机信号在时域的数字特征，有，与时间t无关对于平稳随机信号。则有维纳-辛钦（Wiener-Khinchine）公式二、随机信号在时域的数字特征由于是偶函数，它的均值的极限也必是偶函数。因此，维纳-辛钦公式也可表示为•当时，有二、随机信号在时域的数字特征对于两个随机信号

和 ，若它们是平稳相关的，可以定义它们的互功率密度谱（简称互谱）它和互相关函数也是傅立叶变换对，即二、随机信号在时域的数字特征（二）离散时间情况设 为由均匀间隔的离散时间信号构成的平稳随机序列，其自相关函数为当 满足绝对可积条件时，对自相关函数作离散时间傅立叶变换便得其功率谱二、随机信号在时域的数字特征离散时间信号的功率谱主要有以下特点：1）功率谱是周期性的，因此可作傅立叶级数分解，而 正是分解出的各次谐波的系数。2）反变换的积分区间是计算平稳随机序列功率谱时，可以先对 作双边z变换得