2022年全国乙卷数学（文科）高考真题文档版（答案）

2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)

文科数学

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.

1.A2.A3.D4.C5.C6.B7.B8.A9.A10.D11.D12.C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.2

3

14.—##0.3

10

15.(x-2)2+(y-3)2=13或(%-2)2+(y-l)2=5或=£或

(8丫/169

-一S+(1)=次

16.①.——；In2.

2

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题

为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作

答.

17.(1)已

O

(2)由sinCsin(A_5)=sin8sin(C—A)可得，

sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinZ?(sinCcosA-cosCsinA),再由正弦定理可得,

accosB-becosA=hecosA—abcosC,然后根据余弦定理可知，

^(a2+c2-b2)-^h2+c2-a2)^^b2+c2-a2)-^(a2+b2-c2),化简得：

2a2^b2+c2,故原等式成立.

18.【小问1详解】

由于AD=CD,E是AC的中点，所以AC_LZ)E.

AD=CD

由于，所以aADB合△CDB,

NADB=NCDB

所以AB=C5,故ACJ_BD,

由于DEc8D=O,DE,BD\平面8£O,

所以AC，平面BED，

由于ACu平面AC。，所以平面BED_L平面ACO.

【小问2详解】

依题意45=3£>=3c=2,ZACB=60°,三角形ABC是等边三角形，

所以AC=2,AE=CE=1,BE=G,

由于AZ)=CD,A0，C。，所以三角形4co是等腰直角三角形，所以DE=1.

DE2+BE2=BD2>所以DELBE，

由于ACc6£=E,AC,BEu平面ABC,所以。E_L平面ABC.

由于△A063△C/M,所以NFBA=NFBC,

BF=BF

由于，NQM=ZFBC,所以AFBA三AFBC,

AB=CB

所以AF=CF,所以瓦'LAC,

由于S."c=；・AC-E/"所以当所最短时，三角形4尸。的面积最小值・

过E作防，6£),垂足为产，

I।片

在Rt/XBEZ)中，—BEDE=—BDEF,解得£尸=板，

222

过F作垂足为H,则由〃0E,所以户H_L平面ABC,且

FHBF_3

~DE~~BD~4'

3

所以切=“

所以kBCqLi"=gxgx2x6x|=¥.

19.(1)0.06m2；0.39m3

(2)0.97

(3)1209m3

20.(1)-1

(2)(O,-H»)

22

21.(1)匕+上=1

43

(2)(0,-2)

【小问1详解】

解：设椭圆E的方程为如2+〃y21.过A(O,-2),8(a，-l

4〃=1

则，9।解得〃?=!,〃=:，

—〃2+〃=134

14

所以椭圆E的方程为：匕+£=1.

43

【小问2详解】

32

A（0,-2）,B（-,-l）,所以+2=

22

①若过点PQ,-2）的直线斜率不存在，直线x=1.代入土+2L=1,

34

可得M（l,亚），N（l,-半），代入AB方程y=gx—2,可得

7(76+3,乎o，由而=而得至UH(276+5,平).求得HN方程:

y=(2-平)x—2,过点(0,-2).

②若过点P(L-2)的直线斜率存在，设乙一y-(%+2)=0,M(西,％),N(x2,y2).

kx-y—(k+2)=0

联立《X2y2,得(3女2+4)82_6%(2+左)彳+3%(氏+4)=0,

—+—=1

34

_6攵(2+2)—8(2+%)

可得《

3%(4+64(4+4%-2­)’

3二+4

-24k,*、

且石%+工2乂=3心+4()

y=y

可得T(半+3,y),“(3y+6—玉,%

联立

y^-x-2

3

可求得此时HN:y-%=-~4’2——(x-/,

3y+6-x,-x2

将(0,-2),代入整理得2(玉+/)-6(y+%)+玉%+一3y必-12=0,

将(*)代入，得24左+12k2+96+48左-24k-48-48%+24F-36k2-48=0,

显然成立，

综上，可得直线HN过定点(0,-2).

【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

(-)选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅

笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、

多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.(1)>/3x+y+2m=0

195

(2)——<m<-

122

［选修4—5：不等式选讲］

23.【小问1详解】

33

证明：因为a>0,b>0,c>0，则q］〉。，庐>0

333_____________

所以正经CNJJ霹,

3

11333即a=/?=c=弓时取等号.

即（。/七）84§,所以abcWg,当且仅当/=房=/，

【小问2详解】

证明：因为a>0,b>0,c>0,

所以Z?+cN2j^，a+c>2\fac，a-\-b>2>fab,

333

所以a《〃二《212

b<bbccc

b+c2\[bc24abeQ+c2\[ac2\[abca