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文档简介

2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)

文科数学

参考答案

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.

1.A2.A3.D4.C5.C6.B7.B8.A9.A10.D11.D12.C

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.2

3

14.—##0.3

10

15.(x-2)2+(y-3)2=13或(%-2)2+(y-l)2=5或=£或

(8丫/169

-一S+(1)=次

16.①.——;In2.

2

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题

为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作

答.

17.(1)已

O

(2)由sinCsin(A_5)=sin8sin(C—A)可得,

sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinZ?(sinCcosA-cosCsinA),再由正弦定理可得,

accosB-becosA=hecosA—abcosC,然后根据余弦定理可知,

^(a2+c2-b2)-^h2+c2-a2)^^b2+c2-a2)-^(a2+b2-c2),化简得:

2a2^b2+c2,故原等式成立.

18.【小问1详解】

由于AD=CD,E是AC的中点,所以AC_LZ)E.

AD=CD

由于,所以aADB合△CDB,

NADB=NCDB

所以AB=C5,故ACJ_BD,

由于DEc8D=O,DE,BD\平面8£O,

所以AC,平面BED,

由于ACu平面AC。,所以平面BED_L平面ACO.

【小问2详解】

依题意45=3£>=3c=2,ZACB=60°,三角形ABC是等边三角形,

所以AC=2,AE=CE=1,BE=G,

由于AZ)=CD,A0,C。,所以三角形4co是等腰直角三角形,所以DE=1.

DE2+BE2=BD2>所以DELBE,

由于ACc6£=E,AC,BEu平面ABC,所以。E_L平面ABC.

由于△A063△C/M,所以NFBA=NFBC,

BF=BF

由于,NQM=ZFBC,所以AFBA三AFBC,

AB=CB

所以AF=CF,所以瓦'LAC,

由于S."c=;・AC-E/"所以当所最短时,三角形4尸。的面积最小值・

过E作防,6£),垂足为产,

I।片

在Rt/XBEZ)中,—BEDE=—BDEF,解得£尸=板,

222

过F作垂足为H,则由〃0E,所以户H_L平面ABC,且

FHBF_3

~DE~~BD~4'

3

所以切=“

所以kBCqLi"=gxgx2x6x|=¥.

19.(1)0.06m2;0.39m3

(2)0.97

(3)1209m3

20.(1)-1

(2)(O,-H»)

22

21.(1)匕+上=1

43

(2)(0,-2)

【小问1详解】

解:设椭圆E的方程为如2+〃y21.过A(O,-2),8(a,-l

4〃=1

则,9।解得〃?=!,〃=:,

—〃2+〃=134

14

所以椭圆E的方程为:匕+£=1.

43

【小问2详解】

32

A(0,-2),B(-,-l),所以+2=

22

①若过点PQ,-2)的直线斜率不存在,直线x=1.代入土+2L=1,

34

可得M(l,亚),N(l,-半),代入AB方程y=gx—2,可得

7(76+3,乎o,由而=而得至UH(276+5,平).求得HN方程:

y=(2-平)x—2,过点(0,-2).

②若过点P(L-2)的直线斜率存在,设乙一y-(%+2)=0,M(西,%),N(x2,y2).

kx-y—(k+2)=0

联立《X2y2,得(3女2+4)82_6%(2+左)彳+3%(氏+4)=0,

—+—=1

34

_6攵(2+2)—8(2+%)

可得《

3%(4+64(4+4%-2­)’

3二+4

-24k,*、

且石%+工2乂=3心+4()

y=y

可得T(半+3,y),“(3y+6—玉,%

联立

y^-x-2

3

可求得此时HN:y-%=-~4’2——(x-/,

3y+6-x,-x2

将(0,-2),代入整理得2(玉+/)-6(y+%)+玉%+一3y必-12=0,

将(*)代入,得24左+12k2+96+48左-24k-48-48%+24F-36k2-48=0,

显然成立,

综上,可得直线HN过定点(0,-2).

【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种:

①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;

②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.

(-)选考题:共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答,并用2B铅

笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分,不涂、

多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.

[选修4-4:坐标系与参数方程]

22.(1)>/3x+y+2m=0

195

(2)——<m<-

122

[选修4—5:不等式选讲]

23.【小问1详解】

33

证明:因为a>0,b>0,c>0,则q]〉。,庐>0

333_____________

所以正经CNJJ霹,

3

11333即a=/?=c=弓时取等号.

即(。/七)84§,所以abcWg,当且仅当/=房=/,

【小问2详解】

证明:因为a>0,b>0,c>0,

所以Z?+cN2j^,a+c>2\fac,a-\-b>2>fab,

333

所以a《〃二《212

b<bbccc

b+c2\[bc24abeQ+c2\[ac2\[abca

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