2022年黑龙江省龙东南七校高考冲刺数学模拟试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.由曲线y=*2与曲线产=》所围成的平面图形的面积为()

124

A.1B.-C.-D.一

333

2.在区间上随机取一个数A,使直线y=%(x+3)与圆Y+j?=1相交的概率为()

11C.巨D.E

A.-B.-

2343

3.把函数/(x)=siMx的图象向右平移展个单位，得到函数g(x)的图象.给出下列四个命题

①g(x)的值域为(0』］

②g(x)的一个对称轴是X==7T

③g(x)的一个对称中心是

④g(x)存在两条互相垂直的切线

其中正确的命题个数是()

A.1B.2C.3D.4

7

4.已知i是虚数单位，若一=2i+l,则|z|=()

l-i

A.V2B.2C.V10D.10

5.在AABC中，角A,B,C的对边分别为"，b,c,^2(/?cos/l+acosS)=c2,b=3,3cosA=l,则"=

()

A.75B.3C.屈D.4

6.已知f(x)=ax?+bx是定义在［a-1,2a］上的偶函数，那么a+b的值是

7.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且（S“+l）（S,,+2+l）=（S,,”+l）2（〃eN*）,4=1吗=2,贝”“=（）

A.—------B.2n+1C.2"一1D.2,,+|+1

2-~~

8.已知函数f（幻=sin（0x+e）3＞0,|同＜|）的最小正周期为乃,/（x）的图象向左平移"单位长度后关于）,轴对

称，则/（＞-多JT）的单调递增区间为（）

乃，5万，万，乃,

A.——卜k,兀、——+K7TkeZB.---+左乃,一+女）keZ

_36_L36

7T.7T.

C.--+k7T,—+k7rkeZD.---------\-K7T.——\-K7TkeZ

1212L63

9.已知四棱锥P—A8CD中，Q4_L平面ABC。，底面ABCD是边长为2的正方形，24=石，E为PC的中点,

则异面直线BE与PO所成角的余弦值为（）

AV13V13„715V15

A.--------nB.------C.--------nD.------

393955

10.幻方最早起源于我国，由正整数1,2,3,……，/这〃2个数填入〃X”方格中，使得每行、每列、每条对角线

上的数的和相等，这个正方形数阵就叫〃阶幻方.定义了（〃）为〃阶幻方对角线上所有数的和，如/⑶=15,则/（10）=

（）

A.55B.500C.505D.5050

11.数列｛q,｝满足a“+a“+2=2a“+i(〃wN*),且4+4+03=9,%=8，则4=（）

2117

A.—B・9C.—D.7

22

12.学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A、3、C'、。、E五个等级.某班共有36名学生且全部选

考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为A的学生有5人，这两科中

仅有一科等级为A的学生，其另外一科等级为B,则该班（）

7级

科*ABCDE

物理1016910

化学819720

A.物理化学等级都是8的学生至多有12人

B.物理化学等级都是8的学生至少有5人

C.这两科只有一科等级为3且最高等级为3的学生至多有18人

D.这两科只有一科等级为8且最高等级为B的学生至少有1人

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在棱长为2的正方体中，E是正方形B4GC的中心，M为的中点，过A"的平面&与

直线OE垂直，则平面a截正方体ABC。-所得的截面面积为.

22

14.已知双曲线:■-与=13>0力>0）的左焦点为尸（-6,0），A、3为双曲线上关于原点对称的两点，Ab的中点

ab~

为H,8尸的中点为K,的中点为G,若因K|=2|OG|,且直线A3的斜率为无，贝!IIA6|=,双

4

曲线的离心率为.

15.经过椭圆与+尸=1中心的直线与椭圆相交于"、N两点（点”在第一象限），过点用作x轴的垂线，垂足为

点E.设直线NE与椭圆的另一个交点为P.则cosZNMP的值是.

16.在直角三角形ABC中，NC为直角，ABAC>45°,点。在线段8c上，且CO=1C8,若tanNDAB=L

32

则NS4c的正切值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在矩形A3CO中，45=4,AD=3,点瓦下分别是线段。CBC的中点，分别将△D4E沿4E

折起，△CEF沿"折起，使得2c重合于点G,连结AE.

DECG

（I）求证：平面GEE，平面GAE；

（H）求直线GE与平面G4E所成角的正弦值.

18.（12分）如图AB是圆。的直径，R4垂直于圆。所在的平面，。为圆周上不同于A8的任意一点

（1）求证：平面B4C_L平面P8C；

（2）设P4=AB=2AC=4,。为PB的中点，”为A尸上的动点（不与A重合）求二面角A—3M-。的正切值的

最小值

19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AB//CD,ZBAD=90°,A3=2C£>=4,PA1CD,

在锐角△PAO中，E是边上一点，且AD=PD=3ED=3C-

（2）当R1的长为何值时，AC与平面尸。所成的角为30。？

x-cosCC

20.（12分）在平面直角坐标系中，曲线G的参数方程为.（a为参数），将曲线C上每一点的横坐标

y=sina

变为原来的72倍,纵坐标不变,得到曲线a,以坐标原点。为极点，8轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线/：e=。

与曲线c2交于点P,将射线/绕极点逆时针方向旋转楙交曲线于点Q.

（1）求曲线G的参数方程;

(2)求”。。面积的最大值.

21.(12分)已知ZVU5C的内角A、B、C的对边分别为小b、c,且(sinA—sinBp=sii?C—sinAsin5.

(I)求C；

(H)若c=l,AA8C的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由.

22.(10分)椭圆C：0+^=1(。＞6〉0)的离心率为白，它的四个顶点构成的四边形面积为2五.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P是直线x=/上任意一点，过点p作圆/+：/="的两条切线，切点分别为知，N,求证：直线恒

过一个定点.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.

【详解】

y=x2(%=°[A:,=1

联立方程：工可得：八，1-,,

y-=x[弘=0[y2=l

结合定积分的几何意义可知曲线了二产与曲线/=x所围成的平面图形的面积为：

本题选择B选项.

【点睛】

本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题.

2.C

【解析】

根据直线与圆相交，可求出k的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率.

【详解】

因为圆心(0,0),半径r=1,直线与圆相交，所以

|3人|,

d/2",解得-

Jl+%244

V2

所以相交的概率「=互=也，故选C.

一〒一彳

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.

3.C

【解析】

由图象变换的原则可得8")=-；8$(2%一看)+1由3(2%-看上［—1,1］可求得值域；利用代入检验法判断②③;

对g(x)求导，并得到导函数的值域,即可判断④.

【详解】

由题,/(x)=sin2x=।二c,2x,

则向右平移白个单位可得，(、

12g(x)

vcos2x-^-ef-1,1］,g(x)的值域为［0,1］，①错误;

TT7TTT

当x=G时,2工-”=°，所以x=是函数g(x)的一条对称轴，②正确;

12612

当x=£时,2x-?=I，所以g(x)的一个对称中心是③正确；

362\52)

g'(x)=sin|2x-2卜［-1,1］,则3X,,X2GR,g'(%)=-1,gT%)=1,使得g'(M)•g'(Z)=-1,则g(x)在％=不和

x=A-2处的切线互相垂直，④正确.

即②③④正确，共3个.

故选:C

【点睛】

本题考查三角函数的图像变换，考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心，考查导函数的几何意义的应用.

4.C

【解析】

根据复数模的性质计算即可.

【详解】

7

因为j—=2i+l,

所以z=(l—i)⑵+1),

|zHl-z|-|2z+lhV2xV5=710,

故选：C

【点睛】

本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题.

5.B

【解析】

由正弦定理及条件可得2(sinBcosA+sinAcos3)=csinC,

即2sin(A+3)=2sinC=csinC.

QsinC>0»

:•c=2,

由余弦定理得/="+。2-2/COSA=22+32—2X2X3X」=9。

3

6.B

【解析】

依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f(-x)=f(x),且定义域关于原点对称，a-1=-2a,即可得解.

【详解】

根据偶函数的定义域关于原点对称，且f(x)是定义在［a-l,2a］上的偶函数，

得a-l=-2a,解得a=g,又f(-x)=f(x),

b=0,.*.a+b=—・故选B.

3

【点睛】

本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f(-X)=f(x)；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定

义域区间两个端点互为相反数.

7.C

【解析】

根据已知条件判断出数列｛S,+l｝是等比数列，求得其通项公式，由此求得s“.

【详解】

由于(S,+1)(S.+2+1)=(S“+I+1)2(〃WN*),所以数列｛*+1｝是等比数列，其首项为£+1=4+1=2,第二项为

4

52+l=a,+«2+l=4,所以公比为2=2.所以S,+l=2",所以S“=2"-1.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.

8.D

【解析】

先由函数/(x)=sin(a)x+的周期和图象的平移后的函数的图象性质得出函数f(x)=sin(a)x+0)的解析式，从而

得出/(x-JTT)的解析式，再根据正弦函数/(x)=sinx的单调递增区间得出函数/。-T!T)的单调递增区间，可得选

66

项.

【详解】

因为函数;•(©=如(血+。)3＞0,冏＜])的最小正周期是乃，所以兀=」，EW<y=2,所以/(x)=sin(2x+°),

23

/(x)=sin(2x+0)的图象向左平移1个单位长度后得到的函数解析式为

.%)Y1•乃\

j=sm2—+0)=sm^2x+—,

由于其图象关于y轴对称，所以三9吟+2k兀,kwZ,又倒＜、，所以夕=：:,所以/(x)=sin(2x+^),

所以/(x_£)=sinj2(x_g]+q]=sin(2x_f],

6|_\6J6J16y

JT7T

因为/(x)=sinx的递增区间是：一万+2后万,2版■+万,keZ,

TT7TTC71TT

由+2%乃K2x----J2k"——,keZ,得：----+kjr<x<kjr-\——,ZwZ,

26263

所以函数F（x—2）的单调递增区间为一g+A匹g+A万（丘Z）.

6L63_

故选：D.

【点睛】

本题主要考查正弦型函数的周期性，对称性，单调性，图象的平移，在进行图象的平移时，注意自变量的系数，属于

中档题.

9.B

【解析】

由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用cos（砺，丽）BEPD

网附即可得解.

【详解】

.JPA_L平面ABCO,底面ABC。是边长为2的正方形,

如图建立空间直角坐标系，由题意:

A（0,0,0）,3（2,0,0）,C（2,2,0）,尸（0,0词,£>（0,2,0）,

•••E为尸。的中点，，E1,1,

/.BE=T/与，而=倒,2,一⑹,

_1

cos（8£,P£>>雇.丽__2_岳

--

|BE|.|PZ）|Vi|1339

二异面直线BE与PO所成角的余弦值为|cos（BE,而，即为巫.

故选：B.

D

【点睛】

本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.

10.C

【解析】

因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得…+”，即得解.

n

【详解】

因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，

所以〃阶幻方对角线上数的和/(〃)就等于每行(或每列)的数的和，

又〃阶幻方有"行(或〃列),

1+2+3+…+/

因此，/(〃)=

n

于是y（10）=11+2+3H-~--k99+1T00=505

10

故选：C

【点睛】

本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.

11.A

【解析】

先由题意可得数列｛4｝为等差数列，再根据4+%+。3=9,%=8,可求出公差，即可求出生•

【详解】

数列｛%｝满足an+-=2/5eN*),则数列｛怎｝为等差数列，

,：al+a2+a3=9,a4=8,

3q+3d=9,q+3d=8,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

12.D

【解析】

根据题意分别计算出物理等级为A,化学等级为8的学生人数以及物理等级为3,化学等级为A的学生人数，结合表

格中的数据进行分析，可得出合适的选项.

【详解】

根据题意可知，36名学生减去5名全A和一科为A另一科为3的学生10—5+8-5=8人（其中物理A化学3的有5

人，物理B化学A的有3人），

表格变为：

ABCDE

物理10-5-5=016-3=13910

化学8-5-3=019-5=14720

对于A选项，物理化学等级都是8的学生至多有13人，A选项错误；

对于B选项，当物理C和。，化学都是B时，或化学C和。，物理都是8时，物理、化学都是8的人数最少，至少

为13—7—2=4（人），B选项错误；

对于C选项，在表格中，除去物理化学都是8的学生，剩下的都是一科为3且最高等级为3的学生，

因为都是3的学生最少4人，所以一科为3且最高等级为3的学生最多为13+9+1-4=19（人），

C选项错误；

对于D选项，物理化学都是3的最多13人，所以两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生最少14-13=1（人）,

D选项正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2*）

【解析】

确定平面4MCN即为平面a,四边形AMCN是菱形，计算面积得到答案.

【详解】

如图，在正方体—中，记AB的中点为N,连接MC,CN,NA，

则平面4MCN即为平面a.证明如下：

由正方体的性质可知，HNC,则％,M,CN,N四点共面，

记CC的中点为尸，连接。尸，易证。F_LMC.连接EF,则

所以平面£)£F,则。E_LMC.

同理可证，DE±NC,NCHMC=C,则OE_L平面4"CN,

所以平面4"CN即平面a,且四边形4MCN即平面a截正方体ABC。-A4Gq所得的截面•

因为正方体的棱长为2,易知四边形A"CN是菱形，

其对角线4。=2百，MN=2及，所以其面积S=；x2&x2j^=2次.

故答案为：2屈

DtMG

ANB

【点睛】

本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

14.26国

2

【解析】

设A(x0,%),3(-%,-%)，根据中点坐标公式可得“，K坐标，利用丽.冰=0可得到A点坐标所满足的方程，

结合直线斜率可求得看,必，进而求得|/3|；将A点坐标代入双曲线方程，结合焦点坐标可求得。力，进而得到离心

率.

【详解】

•••左焦点为网—省,0),；.双曲线的半焦距c=JL

设A（Xo，%），B（一%,一%），,K%°2,

\7\/

a_丫22

■.■\HK\=2\OG\,:.OH^OK,即丽.丽=o，—今=0,即x：+y：=3,

又直线AB斜率为乎，即资=#，；•片=g，N：=g，

.・14却="片+4乂=26,

22o1

•.•4在双曲线上，二里—4=1,即工一寸=1，

a2b23a23b2

结合'2="+〃=3可解得：a=6,人=1,.・.离心率e=£=逅.

a2

故答案为：2g;—.

2

【点睛】

本题考查直线与双曲线的综合应用问题，涉及到直线截双曲线所得线段长度的求解、双曲线离心率的求解问题；关键

是能够通过设点的方式，结合直线斜率、垂直关系、点在双曲线上来构造方程组求得所需变量的值.

15.0

【解析】

作出图形，设点M（%%），则N（—七,一%）、£（^,0）,设点P&，x）,利用点差法得出够g,利用斜

率公式得出火心=（%仰，进而可得出％MM”P=T，可得出MN，MP，由此可求得cosNWP的值.

【详解】

设点”（七,%）（毛>0,%>0）,则N（f）,-%）、七（不,0）,设点P（石，x）,

2

1+巾=1

片-乂_1

则,,两式相减得汽二+（4一y：）=0,即

X；一片2'

y+%」：一、=i

即^MP^NPy-/

王一小%+x0%,—x02

由斜率公式得右）=心£=瞪=小食=9%''••《MN^MP=—1，故

MNIMP,

因此，cosZ.NMP=0.

故答案为：0.

【点睛】

本题考查椭圆中角的余弦值的求解，涉及了点差法与斜率公式的应用，考查计算能力，属于中等题.

16.3

【解析】

在直角三角形中设BC=3,AC=x<3,tanND48=tan（N84C—ND4C）=L,利用两角差的正切公式求解.

2

【详解】

设BC=3,AC=x<39

31

则tanABAC--,tanADAC--

xx

2

-2x1

tanZDAB=tan（ZBAC-ZDAC）=—=——=一nx=1,

i.k+32

1+7

故tanN84C=3.

故答案为：3

【点睛】

此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（I）详见解析；（n）上也.

9

【解析】

（I）根据GE_LG4,GELGF,可得GE_L平面GAP,故而平面GE尸，平面G477.

(II)过户作方H_LAG于H,则可证£H_L平面G4E,故NRGH为所求角，在AAGR中利用余弦定理计算

cosZFGH,再计算sinNAG//.

【详解】

解：(I)因为GELG4,GELGF,GEC\GF^G,GEl平面GAF,GEu平面GAE

所以GEL平面GA/7,

又GEi平面GEE,

所以平面GEF1平面GAF；

(ED过户作EHLAG于H,则由GE_L平面G4F,且FHu平面GAF知

GE1FH,所以EH_L平面G4E,从而NR汨是直线GE与平面G钻所成角.

3

因为AG=3,FG=—,AF

2

n973

GA?+G尸-A尸7

所以cosZAGF-44

2GAGF2.3--9

2

从而sinZFGH=sinZAGF=A/1-COS2ZAGF=生巨

9

【点睛】

本题考查了面面垂直的判定，考查直线与平面所成角的计算，属于中档题.

18.(1)见解析(2)巫

3

【解析】

(D推导出AC_LBC,PALBC,从而8C_L平面PAC,由面面垂直的判定定理即可得证.

(2)过A作Ax_LAB,以A为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，设M(0,0")fe(0,4],利用空间向量法表示出

二面角的余弦值，当余弦值取得最大时，正切值求得最小值；

【详解】

(1)因为Q4_LOO,BCu面。。

：.PA±BC

BC±AC,ACoPA-A,ACu平面PAC,PAu平面PAC,

.•.BC_L平面PAC,

又BCu平面P8C,

平面PAC_L平面PBC；

(2)过A作ArLAB,以A为坐标原点，建立如图所示空间坐标系,

则A(0,0,0),C(省,1,0),3(0,4,0),设〃(0,0/)此(0,4],

BC=(A/3,-3,0),BM=(0,-4,r)

则平面AMB的一个法向量为m=(1,0,0)

设平面BMC的一个法向量为n=(x,%z)

n-BC=QGx-3y=0

则nl〈---，即｛，令x=gr

n-BM=0[-4y+fz=0

如图二面角A-8M—C的平面角为锐角，设二面角A-BM—C为6,

.」=4时cos。取得最大值，最大值为巫，则tan6最小值为巫

53

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.

19.(1)证明见解析；(2)当PA=卡时，4C与平面尸。所成的角为30。.

【解析】

(1)连接BD交AC于。，由相似三角形可得丝=,，结合”=，得出OE//P3,故而依//平面ACE；

OB2EP2

(2)过A作A尸J_P。，可证AFL平面PC。，根据NACF=30°计算AR,得出NAZ)厂的大小，再计算B4的长.

【详解】

(1)证明：连接80交4c于点0,连接0E,

ccnDOCD1DE

QCD//AB，----==—=

OBAB2EP

:.OE//PB

又「OEu平面ACE,PBcz平面ACE,

;.P3//平面ACE.

(2)♦.CAO,CD1PA,ADr>PA=A

\CD人平面PAD

作AFLPD,尸为垂足，连接CF

-.CD_L平面PAD,AFu平面PAD.

：.CD±AF,有AFLPD,CDC\PD=D,：.CF上平面PCD

：.ZACF就是AC与平面PCD所成的角，ZACF=30°,

AC=VAB7+CD?=V22>AF

2

sinZADF=—=cosZADF=V1-sin2ZADF=-

AD66

PA2=AD2+DP2-2AD-DPcosZADP=6，:.PA=^

PA="时，AC与平面PC£＞所成的角为30。.

【点睛】

本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与线面角的计算，属于中档题.

x=V2cosa,Jy

20.(1)<(a为参数)；(2)旺.

y=sina2

【解析】

（1）根据伸缩变换结合曲线G的参数方程可得出曲线G的参数方程;

（2）将曲线G的方程化为普通方程，然后化为极坐标方程，设点P的极坐标为（夕I，。），点。的极坐标为（夕2，。+彳］，

将这两点的极坐标代入椭圆c的极坐标方程，得出区和区关于。的表达式，然后利用三角恒等变换思想即可求出

△P。。面积的最大值.

【详解】

x=cosa

（1）由于曲线G的参数方程为.为参数),

y=sma

将曲线G上每一点的横坐标变为原来的血倍，纵坐标不变，得到曲线。2,

x=y/2cosa,皿，

则曲线的参数方程为(a为t参数);

y=sma

（2）将曲线的参数方程化为普通方程得

22/jQ

化为极坐标方程得T+。—即4m

设点P的极坐标为（月,夕），点。的极坐标为0,9+会＞

222

将这两点的极坐标代入椭圆C的极坐标方程得G

，Pl=2

1+sin2+y1+COS(P,

的面积为

1

C_1_121

=5夕102=/X