浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题

2023学年第一学期浙南名校联盟期中联考高一数学学科试题考生须知：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出或，再由集合的交、并、补进行运算即可.【详解】由题可知或，所以，因为，所以.故选：A2.下列四个结论，其中正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数的运算法则和运算性质，逐项计算，即可求解.【详解】对于A中，由，所以A不正确；对于B中，由，所以B错误；对于C中，由，所以C正确；对于D中，由，所以D不正确.故选：C.3.已知函数的定义域是，值域为，则下列函数的值域也为的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】结合题意逐个选项验证可得答案.【详解】对于A，由可得，，故A错误；对于B，，的图象可看作由的图象经过平移和横向伸缩变换得到，故值域不变，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：B.4.已知函数是定义在实数集上的偶函数，则下列结论一定成立的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】由偶函数的性质即可对A，B，C，D四个选项逐一判断，即可得到答案．【详解】函数是定义在实数集上的偶函数，，对于A，，都使，故A错误；对于B，若，则不存，，故B错误；对于C，，，正确；对于D，若，则不存在，，故D错误；故选：C．5.下列函数中，满足“”的单调递增函数是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】根据题意结合指数幂运算以及指数函数、幂函数单调性逐项分析判断【详解】对于选项A：因为，，，不满足，故A错误；对于选项B：因为在R上是单调递减函数，不合题意，故B错误；对于选项C：因为，，，不满足，故C错误；对于选项D：因为，，，满足，且在R上是单调递增函数，故D正确．故选：D.6.已知，，且，则的最小值为（）A.4 B.6 C.9 D.12【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式求得正确答案.【详解】因为，，且，所以，当且仅当，即，时取等号，此时的最小值为故选：D7.已知函数的定义域为R，函数为奇函数，且，则的值为（）A. B. C.0 D.36【答案】B【解析】【分析】由条件求得，从而求得的值.【详解】因为函数为奇函数，所以有，又，所以，得，则即，所以故选：B8.设，，则下列说法中正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，分离常数法判断函数单调性，根据单调性即可判断选项A、B；由，，即可判断选项C；结合基本不等式即可判断选项D.详解】构造函数，则，因函数在R上为单调递增函数，所以在R上为单调递减函数，所以，所以，，故选项A正确，选项B错误；因为，，所以，故选项C错误；因为，当且仅当时取等号，由题意可知，故，故选项D错误.故选：A二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各结论中正确的是（）A.与表示同一函数B.函数的定义域是，则函数的定义域为C.设，则“”是“”的必要不充分条件D.“函数的图象过点”是“”的充要条件【答案】AD【解析】【分析】选项A，根据函数的定义域和解析式相同可判断；选项B，由抽象函数的定义域可得；选项C：由得或，进而可判断；选项D：分别从充分性和必要性两方面判断即可.【详解】选项A：，，因为与定义域，解析式一致，故A正确；选项B：分母不能为0，所以，又，得，所以的定义域为，故B不正确；选项C：若，则或，所以“”是“”的充分不必要条件，故C错误；选项D：若函数的图象过点，则，若，则当时，，即函数的图象过点，“函数的图象过点”是“”的充要条件，故D正确.故选：AD10.已知函数，则以下结论正确的是（）A.的图象关于原点对称 B.的图象关于y轴对称C.在上单调递增 D.的值域为【答案】BD【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，然后判断函数的单调性并求得值域.【详解】因为，定义域为，，所以为偶函数，所以的图象关于y轴对称，故A错误，B正确；令，当时，单调递增，当时，单调递减，而，在单调递增，所以由复合函数单调性可知在单调递增，又为偶函数，所以在单调递减，故C错误；因为，由，有，所以，故，即，故D正确.故选：BD11.如图，某池塘里的浮萍面积（单位：）与时间（单位：月）的关系式为且，．则下列说法正确的是（）A.浮萍每月增加的面积都相等B.第6个月时，浮萍的面积会超过C.浮萍面积从蔓延到只需经过5个月D.若浮萍面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则【答案】BCD【解析】【分析】由题意结合函数图象可得，进而可得；由函数图象的类型可判断A；代入可判断B；代入、可判断C；代入、、，结合对数的运算法则即可得判断D；即可得解.【详解】由题意可知，函数过点和点，则，解得（负值舍去），函数关系式为，对于A，由函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项A错误；对于B，当时，，故选项B正确；对于C，令得；令得，所以浮萍面积从增加到需要5个月，故选项C正确；对于D，令得；令得；令得；所以，故选项D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了函数解析式的确定及函数模型的应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于基础题.12.已知函数与满足：对任意，都有则下列命题正确的是（）A.若是偶函数，则函数也是偶函数B.若有最大值和最小值，则也有最大值和最小值C.若是增函数，则不是减函数D.若是减函数，则不是增函数【答案】ACD【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A，举反例排除B，利用函数单调性的定义可判断CD，从而得解.【详解】对于A，若是偶函数，则，若对任意恒成立，令，，则，因为，所以，所以，所以函数也是偶函数，故A正确；对于B，若有最大值和最小值，不妨令，，则函数的最大值为，最小值为，，对任意的、，恒成立，但函数既无最大值，也无最小值，故B错误；对于C，设，因为是上的增函数，所以，所以，因为，所以，所以，故函数不是减函数，故C正确；对于D，设，因为是上的减函数，所以，所以，因为，所以，所以，故函数不是增函数，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是如何去绝对值，一种是利用得，一种是利用单调性去绝对值.非选择题部分三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则的值为__________.【答案】##【解析】【分析】根据对数运算求得正确答案.【详解】，.故答案为：14.已知幂函数的图象过点，则的值为__________.【答案】##【解析】【分析】根据幂函数的定义及函数所过的点求出函数解析式，即可得解.【详解】由幂函数的定义得，再将点代入得，从而，则幂函数，.故答案为：.15.设函数，存在最大值，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】对进行分类讨论，根据函数的单调性以及最大值求得的取值范围.【详解】①当时，函数在上单调递减，因此不存在最大值；②当时，，当时，，故函数存在最大值；③当时，故函数在上单调递增，在上单调递减，故时，，当时，函数在上单调递增，此时，于是时函数存在最大值.又，解得；④当时，函数在上单调递减，，在上单调递增，此时故当，解得，又，故；综上，的取值范围是时函数存在最大值.故答案为：【点睛】含参数的函数的最值问题，往往需要结合函数的单调性以及对参数进行分类讨论来进行求解，分类标准的制定，可以根据函数解析式的结构来进行制定，分类标准要做到不重不漏.16.设函数，若关于x的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数a的值为__________.【答案】或或【解析】【分析】由，得到，令，，根据与的交点坐标为，联立方程组，根据，求得，作出函数的图象，结合图象，即可求解.【详解】由方程，可得，即，令，，可得的顶点为在上，又由与的交点坐标为，，联立方程组，整理得，由，解得.作出函数的图象，如图所示，要使得有两个不同的解，则函数过时，显然符合，此时，由此实数的取值范围是或或.故答案为：或或.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数m的取值集合.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据分式不等式，解得集合的元素，根据题意，明确集合的元素，结合并集运算，可得答案；（2）利用分类讨论思想，结合题意，分情况建立不等式组，可得答案.【小问1详解】根据题意，集合.当时，，则；【小问2详解】，则，若，则，此时；若，则有，此时m无解.综合知实数m的取值集合为.18.函数为定义在上的奇函数，已知当时，.（1）当时，求的解析式；（2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明；（3）若，求a的取值范围.【答案】（1）（2）单调递增，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）当时，，代入函数解析式根据奇函数性质得到答案.（2）确定在上的单调递增，任取，，且，计算得到证明.（3）确定为上的增函数，变换得到，根据函数的单调性解不等式得到答案.【小问1详解】当时，，则，因为函数为奇函数，所以，即时，的解析式为；【小问2详解】在上的单调递增，证明如下：任取，，且，则，因为，，且，所以，，，则，即，所以在上的单调递增；【小问3详解】在上的单调递增，且函数为上的奇函数，故为上的增函数.由，，于是，所以，解得，即.19.某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）万件与年促销费用万元满足关系式（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件．已知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）求的值，并将该产品的年利润（万元）表示为年促销费用（万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？【答案】（1）2；；（2）厂家的年利润最大值为万元，为此需要投入万元的促销费用.【解析】【分析】（1）由时，，可求得的值，得到，而每件产品的销售价格为，代入利润关于的函数中，化简可得结果；（2）利用基本不等式可求得，当且仅当，即时取等号，从而可求出年利润的最大值.【小问1详解】解：由题意可知：当时，（万件），，解得：，，又每件产品的销售价格为，年利润，即.【小问2详解】解：，，则，（当且仅当，即时取等号），此时年利润（万元），该厂家的年促销费用投入万元时，厂家的年利润最大，最大为万元.20.设函数为实数.（1）当时，求方程的根；（2）当时，设函数，若对任意的，总存在着，使得成立，求实数b的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）当时，，根据题意得到，即可求解；（2）当时，可得，利用换元法求得，再由一次函数的性质，求得，结合题意，得到，列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：当时，，由，可得，所以或，解得或.【小问2详解】解：当时，可得，设，，所以，则，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，又由，所以，即又由，可得，因为对于任意，总存在，使得成立，可得，即，解得，所以实数的取值范围为21.如果函数的定义域为R，且存在实常数a，使得对定义域内的任意x，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”.（1）已知具有“性质”，且当时，，求在的最大值；（2）已知定义在R上函数具有“性质”，当时，若有8个不同的实数解，求实数t的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，明确函数的奇偶性，结合其性质，可得答案；（2）根据题意，写出函数的解析式，画出函数图象，利用二次函数的性质，可得答案.【小问1详解】具有“性质”，对恒成立，是偶函数，当时，，当时，；当时，；【小问2详解】函数具有“性质”，则，当时，，所以当时，，于是，如下图所示：若有8个不同的实数解，令，则有两个不等的实数根，，且，，所以，所以所以t的取值范围为.22.已知定义在上的函数.（1）当时，求的单调区间；（2）设，若对任意，恒成立，求的最小值.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增（2）【解析】【分析】（1）当时，将，根据二次函数的性质可得单调区间；（2）根据结合的对称轴对进行分类讨论，根据对任意，恒成立，得到与的关系式，进而可得的最小值.