素养拓展33曲线的轨迹方程问题2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）原卷版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展33曲线的轨迹方程问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、曲线方程的定义一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：①曲线上的点的坐标都是方程的解；②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．二、求曲线方程的一般步骤（直接法）（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为；（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；（4）用坐标表示这个等式，并化简；（5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．三、求轨迹方程的方法1.定义法如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。2.代入法（相关点法）如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。3.交轨法在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．4.参数法动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.5.点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】已知点P是椭圆上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点的轨迹方程为______．【答案】【解析】因为轴，垂足为M，且PM的中点为，所以，又因为P是椭圆上任意一点，所以，即.故答案为：.【典例2】已知圆：，动圆与圆外切，且与定直线相切，设动点的轨迹为．求的方程；【解析】设，圆的半径为，由题可知，点在直线右侧，因为圆与定直线相切，所以．又圆与圆外切，所以，所以，化简得，即的方程为．【典例3】（单选题）设分别是直线和上的动点，且满足，则的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，，，因为为的中点，则，故，，又因为，所以，即，所以点M的轨迹方程为．故选:A.【典例4】已知、为椭圆C：的左右顶点，直线与C交于两点，直线和直线交于点.求点的轨迹方程.【解析】由题意得，，设，，，则，，即，，得，又∵点在C上，即，得，∴；【典例5】已知椭圆的弦所在直线过点，求弦中点的轨迹方程.【解析】设，弦的中点，则，将代入椭圆方程得，两式相减得，所以，当时，，因为，所以，则，整理得；当时，则直线方程为，代入椭圆方程解得所以满足上述方程，故点的轨迹方程.【题型训练刷模拟】一、单选题1．平面直角坐标系中点满足，则点的轨迹为（

）A．线段 B．圆 C．椭圆 D．不存在2．一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（

）A． B．C． D．3．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=2，则点C的轨迹为（

）A．椭圆 B．射线 C．圆 D．直线4．已知面积为16的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，，则动点P的轨迹方程是（

）A． B． C． D．5．已知圆，直线l过点.线段的端点B在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程为（

）A． B．C． D．6．已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（

）A． B．C． D．7．将上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到曲线，若直线与曲线交于两点，且中点坐标为，那么直线的方程为（

）A． B． C． D．8．已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．9．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若，则动点M的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线10．已知是椭圆的长轴上的两个顶点，点是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点与点关于轴对称，则直线与直线的交点所形成的轨迹为（

）A．双曲线 B．抛物线C．椭圆 D．两条互相垂直的直线11．已知点P是圆上的动点，作轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．12．已知双曲线的两个焦点分别为，离心率等于，设双曲线的两条渐近线分别为直线；若点分别在上，且满足，则线段的中点的轨迹的方程为A． B．C． D．13．已知，，，以C为焦点的椭圆过A、B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为（

）A． B．C． D．二、填空题14．如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式，那么点M的轨迹是．15．平面上一动点C的坐标为，则点C的轨迹E的方程为．16．曲线C上任意一点P到点F（2，0）的距离与它到直线x＝4的距离之比等于，则C的方程为．17．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别相交于两个动点，则点的轨迹方程为.18．已知点分别在轴、轴上运动，，点在线段上，且.则点的轨迹方程是；19．已知点A，B，P是平面内的一个动点，直线PA与PB的斜率之积是，则动点P的轨迹C的方程为.20．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数中，，点满足，则点的轨迹方程为.21．已知圆M与圆C1：和圆C2：一个内切一个外切，则点M的轨迹方程为.22．已知点是曲线上任意一点，，连接并延长至，使得，求动点Q的轨迹方程．23．在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，点在的延长线上，满足，当点在椭圆上运动时，点的轨迹方程为.24．已知点P为椭圆上的任意一点，O为原点，M满足，则点M的轨迹方程为．25．设平面直角坐标系中，O为原点，N为动点，，，过点M作轴于点，过点N作轴于点，M与不重合，N与不重合，设，则点T的轨迹方程是.26．自引圆的割线ABC，则弦中点P的轨迹方程.27．已知，，当时，线段的中点轨迹方程为．28．已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为．29．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，若交于点，则点的轨迹方程为.30．直线在轴上的截距为且交抛物线于、两点，点为抛物线的顶点，过点、分别作抛物线对称轴的平行线与直线交于、两点．分别过点、作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为．三、解答题31．已知直线l平行于y轴，且l与x轴的交点为，点A在直线l上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同，且，求P点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状．32．在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，点为坐标系内一点，若直线与直线的斜率的乘积为．(1)求点的轨迹方程；(2)说明点的轨迹是何种几何图形．33．已知椭圆，点A，B分别是它的左､右顶点，一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P，Q两点，当直线l与椭圆相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，求直线与直线的交点M的轨迹方程.34．已知的斜边为AB，且.求:(1)外接圆的一般方程;(2)直角边的中点的轨迹方程．35．已知直线，圆.(1)证明:直线与圆相交；(2)设与的两个交点分别为A、，弦的中点为，求点的轨迹方程.36．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上且．(1)求椭圆的方程；(2)点分别在椭圆和直线上，，为的中点，若为直线与直线的交点．是否存在一个确定的曲线，使得始终在该曲线上？若存在，求出该曲线的轨迹方程；若不存在，请说明理由．37．已知过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点．(1)证明：；(2)设为抛物线的焦点，直线与直线交于点，直线交抛物线与两点（在轴的同侧），求直线与直线交点的轨迹方程．38．已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上除右顶点之外的一点．若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆圆心的轨迹方程．39．已知点是圆上的定点，点是圆内一点，、为圆上的动点．(1)求线段AP的中点的轨迹方程．(2)若，求线段中点的轨迹方程．40．已知椭圆的上､下顶点分别为，点是椭圆上异于的动点，记分别为直线满足.(1)证明：是定值，并求出该定值；(2)求动点的轨迹方程.41．已知抛物线的焦点为F，点E在C上，以点E为圆心，为半径的圆的最小面积为．(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点F的直线与C交于M，N两点，过点M，N分别作C的切线，，两切线交于点P，求点P的轨迹方程．42．已知椭圆C：的离心率为，且经过，经过定点斜率不为0的直线l交C于E，F两点，A，B分别为椭圆C的左，右两顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.43．已知椭圆C：的长轴长为，离心率为.