江西省南昌市第一中学2023-2024学年高一上学期11月期中考试数学试题

南昌一中20232024学年度上学期高一期中考试数学试卷试卷总分：150分考试时长：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，则集合（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合交集、补集的运算法则进行计算即可.【详解】因为，所以，所以.故选：D.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】直接利用含有一个量词的命题的否定方法进行否定即可．【详解】解：根据含有量词的命题的否定，即先改变量词，然后再否定结论，所以命题“，”的否定是，．故选：．3.设函数为奇函数，当时，，则（）A.1 B.2 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】先计算，再利用奇函数定义计算．【详解】函数为奇函数，，.故选：C．【点睛】本题考查由函数的奇偶性求函数值，属于基础题．4.已知集合，，则（）A. B. C. D.与的关系不确定【答案】B【解析】【分析】整数分为奇数和偶数，由此可得答案．【详解】解：∵，且，k+2是整数，2k+1是奇数∴，故选：B．【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，属于基础题．5.已知点在幂函数的图像上，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的系数为可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，进而可求得的值.【详解】由于函数为幂函数，则，解得，则，由已知条件可得，得，因此，.故选：A.6.若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】【分析】首先将原问题转化为，再利用基本不等式的知识求出的最小值即可.【详解】不等式有解，，，，当且仅当，等号成立，，，，实数的取值范围是．故选：D．7.高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先对二次函数进行配方，结合函数的性质可得的值域，进而得到的值域．【详解】，故所以函数的值域为，故选：B．8.已知，不等式在上恒成立，则实数取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先判定分段函数的单调性，再计算即可.【详解】由二次函数的单调性可知，时，单调递减，时，单调递减，且，故函数在区间上单调递减，因此不等式等价于，即，因此有.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据数集包含的元素逐个判断即可.【详解】解：对于A：是自然数，所以，A错误；对于B：是无理数，所以，B正确；对于C：是有理数，所以，C错误；对于D：是整数，所以，D正确，故选：BD10.已知幂函数的图像如图所示，则a值可能为（）A. B.C. D.3【答案】AC【解析】【分析】根据幂函数的性质即可判断.【详解】由图可知，定义域为R，且为奇函数，故B错误；可知在上凸递增，则，故D错误.故选：AC.11.如图，一高为且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出．如图，在某时刻，水面的高度为，水面对应圆的直径为，则下列说法正确的是（）A.是的函数 B.是的函数C.是的函数 D.是的函数【答案】ABD【解析】【分析】分析、、之间的关系，结合函数的定义判断即可.【详解】对于每个时间，都有唯一的与之对应，所以A，B正确；对于每个，根据对称性，有两个与之对应，所以C错误；对于每个，有唯一的与之对应，所以D正确．故选：ABD12.已知函数，若对于任意，都有，则的取值可能是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据题意，利用换元法分析求出的解析式，把变形分析，可得在区间上为减函数，据此分析可得答案．【详解】根据题意，已知函数，设，则，有，故，又由任意，都有，即，变形可得，设，由，，可知，则在区间上为减函数，因为单调减区间为和，必有或，解可得或，即的取值范围为；所以符合条件的选项只有选项AD.故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．13.若，，且，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由得到集合的范围要比集合的小或者与集合一样，从而得到的取值范围.【详解】因为，，且所以集合的范围要比集合的小或者与集合一样，故的取值范围是【点睛】本题考查由子集关系求参数的范围，属于简单题.14.函数的定义域是________．【答案】【解析】【分析】列出使表达式有意义的的取值范围.【详解】函数的定义域是：，解得：且函数的定义域是且.故答案为且【点睛】本题考查具体函数的定义域，属于简单题型.15.函数的值域是______．【答案】【解析】【分析】设，利用换元法把原函数转化成一元二次函数的问题，利用函数的单调性求解.【详解】设，则，所以，，函数图象的对称轴为，开口向下，在区间上单调递减，，函数值域为．故答案为：．【点睛】本题主要考查函数的值域的求法以及换元法的应用，还考查了转化化归的思想，属于基础题.16.关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】分类讨论的两根大小，结合已知条件，通过求一元二次不等式即可求解.【详解】原不等式可化为，①当时，得，此时解集中的整数为2，3，4，则；②当时，得，此时解集中的整数为，，，则，综上所述，的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）计算：（2）化简：．【答案】（1）6；（2）．【解析】【分析】（1）（2）利用指数的运算规则化简即可.【详解】（1）．（2）．18.已知全集为，集合，．（1）若，求，；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求解集合，依据交集、并集、补集定义逐一计算即可；（2）讨论和两种情况下的范围，取并集得出结果.【小问1详解】集合，当时，．所以，或，．【小问2详解】因为，当时，，成立；当时，，，解得：，综上，，所以实数的取值范围是．19.已知集合，且.（1）若“”是真命题，求实数的取值范围；（2）若“”是真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据即可根据集合的包含关系求解，（2）将问题转化成，进而求解的情况，即可求解不为空集的情况.【小问1详解】由于“”是真命题，所以，而，所以，解得，故的取值范围为.【小问2详解】因为，所以，得.由为真，得，当时，或，得，因为，所以当时，当时，，故的取值范围为.20.已知函数，.（1）用定义法证明函数在区间上单调递增；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先设两个变量并给定大小关系，然后计算，并根据与的大小关系证明出的单调性；（2）根据的解析式，将分为三类情况：，，，分别求解出的取值范围，最后取并集即可得到结果.【详解】（1）证明：任取且，所以，又因为，所以，所以，所以，所以函数区间上单调递增；（2）因为，在上单调递减，在上单调递增：①当时，必有，所以不合题意；②当时，；③当时，恒成立.综上，实数的取值范围为.【点睛】思路点睛：用定义法证明函数单调性的步骤：（1）设：设两个自变量，并给定大小关系；（2）作差：计算；（3）变形：将的结果化简至容易判断出正负；（4）判号：根据的化简结果并结合的大小，判断出的正负；（5）下结论：说明的单调性.21.建筑设计师需要设计如图所示的窗户，现要求满足：①矩形且；②建立如图直角坐标系后，曲线是二次函数图象的一部分．记边的长为，点到边的距离为（单位：）．（1）求函数的解析式，并写出其定义域；（2）为何值时，最小，并求的最小值．【答案】（1），；（2）m时，取最小值，最小值是．【解析】【分析】（1）根据函数过点，得出点的纵坐标，结合的长，即可求解；（2）借助基本不等式即可求解.【小问1详解】因为，所以点的横坐标为，设，将点代入，得，因此点的纵坐标是，又边的长为，所以，由得，，所以定义域为；【小问2详解】，当且仅当即m时，上式取等号，即m时，取最小值，最小值是．22.已知．（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；（2）若，且对任意的，都存在，使得，求实数的值．【答案】（1）或（2）或．【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系得到，解得答案.（2）考虑，，三种