新高考数学二轮复习讲义第十一讲三角函数概念和诱导公式（含解析）

第十一讲：三角函数概念和诱导公式【考点梳理】1．任意角和弧度制、三角函数的概念(1)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（2）弧长与扇形面积公式扇形的弧长公式：SKIPIF1<0，扇形的面积公式：SKIPIF1<0．（3）任意角的三角函数借助单位圆定义：任意角SKIPIF1<0的终边与单位圆交于点SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．借助终边上点的坐标：，若取点SKIPIF1<0是角SKIPIF1<0终边上异于顶点的任一点，设点SKIPIF1<0到原点SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三角函数在各个象限符号记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．同角三角函数的基本关系及诱导公式(1)平方关系：SKIPIF1<0．(2)商数关系：SKIPIF1<0；（3）三角函数的诱导公式公式一二三四五六角SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0正弦SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0余弦SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0正切SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【方法技巧与总结】1．利用SKIPIF1<0可以实现角SKIPIF1<0的正弦、余弦的互化，利用SKIPIF1<0可以实现角SKIPIF1<0的弦切互化．2．“SKIPIF1<0”方程思想知一求二．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【典型题型讲解】考点一：弧长公式，扇形面积公式【典例例题】例1．（2022·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为SKIPIF1<0，则其面积是______．【详解】由条件可知，弧长SKIPIF1<0，等边三角形的边长SKIPIF1<0，则以点A、B、C为圆心，圆弧SKIPIF1<0所对的扇形面积为SKIPIF1<0，中间等边SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0所以莱洛三角形的面积是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【方法技巧与总结】熟记弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2（弧度制SKIPIF1<0）【变式训练】1.炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC的面积S为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则当该纸叠扇的周长C最小时，BD的长度为___________SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】解：设扇形ABC的半径为rcm，弧长为lcm，则扇形面积SKIPIF1<0.由题意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以纸叠扇的周长SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<02.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为SKIPIF1<0的圆面中剪下扇形SKIPIF1<0，使剪下扇形SKIPIF1<0后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为SKIPIF1<0，再从扇形SKIPIF1<0中剪下扇环形SKIPIF1<0制作扇面，使扇环形SKIPIF1<0的面积与扇形SKIPIF1<0的面积比值为SKIPIF1<0.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】记扇形SKIPIF1<0的圆心角为SKIPIF1<0，扇形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，扇环形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，圆的面积为SKIPIF1<0，由题意可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为剪下扇形SKIPIF1<0后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.考点二：三角函数及相关概念：【典例例题】例1.已知角SKIPIF1<0的终边上有一点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．不确定【答案】B【详解】角SKIPIF1<0的终边上点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B【方法技巧与总结】正弦函数、余弦函数、正切函数的定义【变式训练】1.已知角SKIPIF1<0的始边与SKIPIF1<0轴非负半轴重合，终边过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故选：B2.在平面直角坐标系中，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角SKIPIF1<0以O𝑥为始边，OP为终边，若SKIPIF1<0，则P所在的圆弧是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】本题主要考查三角函数线的知识.由下图可得：有向线段SKIPIF1<0为余弦线，有向线段SKIPIF1<0为正弦线，有向线段SKIPIF1<0为正切线.对于A选项：当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A选项错误；对于B选项：当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B选项错误；对于C选项：当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C选项正确；对于D选项：当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上且SKIPIF1<0在第三象限时，SKIPIF1<0，故D选项错误.综上，故选C.3.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是()A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]【答案】A【解析】∵cosα≤0，sinα>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2>0，))∴－2<a≤3.故选A.考点三：同角三角函数的基本关系：【典例例题】例1.已知SKIPIF1<0是三角形的一个内角，且SKIPIF1<0则这个三角形的形状是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.不等腰的直角三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析】解法1：主要是判断SKIPIF1<0是钝角、锐角还是直角，又可以等价转化为判断SKIPIF1<0的某一三角函数值的符号.由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0两边平方得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0故SKIPIF1<0为钝角.解法2：由SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0从而SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为钝角.例2.（2022·广东惠州·一模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.【方法技巧与总结】熟练掌握商，平方的关系式.熟练掌握正弦、余弦和差与之积的关系式【变式训练】1．（2022·广东茂名·一模）已知角SKIPIF1<0的顶点在原点，始边与SKIPIF1<0轴非负半轴重合，终边与直线SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为角SKIPIF1<0的终边与直线SKIPIF1<0平行，即角SKIPIF1<0的终边在直线SKIPIF1<0上所以SKIPIF1<0；SKIPIF1<0故选：D2.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：C.3.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0同号，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：C．4.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】解：原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C考点四：诱导公式【典例例题】例1．（2022·广东佛山·高三期末）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A例2．（2022·广东深圳·高三期末）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D.【方法技巧与总结】（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与SKIPIF1<0整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．（2）通过SKIPIF1<0等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．（3）SKIPIF1<0等可利用诱导公式把SKIPIF1<0的三角函数化【变式训练】1．（2021·广东佛山·一模）SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：D2.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由题意得：SKIPIF1<0，故选：D．3．若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B.4.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．-3 D．3【答案】C【详解】SKIPIF1<0，分子分母同除以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0故选：C5.已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_____，SKIPIF1<0_____．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0则，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<06.已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：D.【巩固练习】一、单选题1．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，SKIPIF1<0垂直于底面，SKIPIF1<0，底面扇环所对的圆心角为SKIPIF1<0，弧SKIPIF1<0长度是弧SKIPIF1<0长度的3倍，SKIPIF1<0，则该曲池的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】不妨设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，由弧AD长度为弧BC长度的3倍可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故该曲池的体积SKIPIF1<0.故选：D.2．二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示李节变迁的24个特定节令．如图，每个节气对应地球在黄道上运动SKIPIF1<0所到达的一个位置．根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】根据题意，立春是立冬后的第六个节气，故从立冬到立春相应于地球在黄道上逆时针运行了SKIPIF1<0，所以从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为SKIPIF1<0.故选：B3．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于SKIPIF1<0的扇形，则该圆锥的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】设圆锥的底面半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，则由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以圆锥的体积为SKIPIF1<0，故选：C4．已知角SKIPIF1<0的大小如图所示，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由图可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；故选：A.5．SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：C6．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0故选：C7．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．-2 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题意SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（舍去），故选：C8．数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比SKIPIF1<0的近似值，黄金分割比还可以表示成SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）．A．4 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【详解】根据题意，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：A．二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形（如图）的面积为SKIPIF1<0，圆心角为SKIPIF1<0，圆面中剩余部分的面积为SKIPIF1<0，圆心角为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的比值为SKIPIF1<0（黄金分割比）时，折扇看上去较为美观，那么（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【详解】设扇形的半径为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，故D正确；由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故C正确；由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正确.故选：BCD10．（2022·全国·高三专题练习）（多选）给出下列四个结论，其中正确的结论是（

）A．SKIPIF1<0成立的条件是角SKIPIF1<0是锐角B．若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】CD【详解】由诱导公式二，知SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以A错误．当SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，所以B错误．若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0，所以C正确．将等式SKIPIF1<0两边平方，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以D正确．故选CD三、填空题11．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知角θ的终边过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则tanθ=____________．【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0角θ的终边过点SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在第四象限，SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.12．已知SKIPIF1<0为第三象限角，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0为第三象限角，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.四、解答题13．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（