专题04 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质（知识串讲+9大考点）原卷版

专题04二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质考点类型知识串讲（一）一般式化为顶点式（配方法）利用配方法可以将y=ax2+bx+c转化为顶点式,即y=ax2+bx+c=a=a顶点是（二）二次函数y=ax²+bx+c的图像与性质a的符号a>0a<0图象  开口方向向上向下对称轴 顶点坐标 增减性当x<- 时,y随x的增大而减小;当x>- 时,y随x的增大而增大当x<- 时,y随x的增大而增大;当x>- 时,y随x的增大而减小最值当时y最小值=当时y最大值=（三）待定系数法求解解析式形式内容适用条件一般式y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)当已知抛物线上任意三点坐标时,通常设函数的关系式为一般式,然后列出关于a、b、c的三元一次方程组求解顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数,a≠0),抛物线的顶点坐标为(h,k)当已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值时,通常设函数的关系式为顶点式,然后代入已知点的坐标,解方程交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a、x1、x2为常数,a≠0),其中x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标当已知抛物线与x轴的两交点坐标时,通常设函数的关系式为交点式,然后代入另一点的坐标,解关于a的一元一次方程（四）函数图像与各系数的关系a决定抛物线的开口方向及开口大小当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下.某些特殊形式代数式的符号：a±b+c即为x=±1时，y的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.2a+b的符号，需判对称轴-eq\f(b,2a)与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-eq\f(b,2a)＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.a、b决定对称轴（x=-eq\f(b,2a)）的位置当a，b同号，-eq\f(b,2a)＜0，对称轴在y轴左边；当b＝0时，-eq\f(b,2a)=0，对称轴为y轴；当a，b异号，-eq\f(b,2a)＞0，对称轴在y轴右边．c决定抛物线与y轴的交点的位置当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.b2－4ac决定抛物线与x轴的交点个数b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点考点训练考点1：一般式化为顶点式典例1：（2023·辽宁鞍山·统考一模）将抛物线y=x2+4x-4向下平移2个单位长度，再向左平移3【变式1】（2022春·全国·九年级专题练习）将y=x2-2x+3化成y=ax-h【变式2】（2023春·广东河源·九年级校考阶段练习）抛物线y=-x2-2x+2的开口方向___________，对称轴是___________【变式3】（2023·四川成都·统考一模）将二次函数y=2x2-8x+13化成y=a考点2：求二次函数的顶点与对称轴（配方法、公式法）典例2：（2023·湖南永州·校考一模）二次函数y=x2-4x+3，当-1≤x<4时，y【变式1】（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）二次函数y=2x2+4x+3【变式2】（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）当x=___________时，二次函数y=2x【变式3】（2023春·江苏苏州·九年级专题练习）二次函数y=2x2-8x+10≤x≤3的最小值是考点3：二次函数y=ax²+bx+c的图像与性质典例3：（2023·山东德州·统考一模）下表中列出的是二次函数y=ax2+bx+c的自变量xx…-2013…y…12-8-12-8…下列各选项中，正确的是（

）A．abc<0B．这个函数的最小值是-12C．一元二次方程ax2D．当x>1时，y的值随x值的增大而增大【变式1】（2023·河南省直辖县级单位·校联考一模）已知点A-4,y1，B-3,y2，C0,y3，D2,y4在二次函数y=ax2+4ax-6A．a>12 B．a<-2 C．a>12或【变式2】（2023秋·九年级单元测试）二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，与x轴的交点坐标为1,0和-5,0A．b2-4ac<0 B．x>0时，y的值随C．对称轴是直线x=-3 D．9a-3b+c<0【变式3】（2023·广东广州·统考一模）如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与A．当x>0时，y随x的增大而减小 B．当x>-1时，y随x的增大面增大C．图像在第三象限内，y随x的增大而增大 D．图像在第四象限内，y随x的增大而增大考点4：二次函数对称性的应用典例4：（2023·浙江宁波·统考一模）如图，二次函数y=ax2+bx+ca≠0图象经过点A-1,-2，对称轴为直线x=1，则9a+3b【变式1】（2023春·江苏常州·九年级常州实验初中校考阶段练习）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上部分点的横坐标xx……-1234……y……52510……当x=-2时，y=__________．【变式2】（2023春·江苏常州·九年级校考期末）二次函数y=ax-12+h的图象经过点A0,4【变式3】（2023春·吉林长春·九年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）已知点Px1,y1，Qx2,y2在抛物线y=x2-6x+3上，且t<考点5：二次函数y=ax²+bx+c的图像与各系数的关系典例5：（2022春·九年级课时练习）二次函数y=ax-m2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n【变式1】（2022秋·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有以下结论:①abc>0；②a+b+c<0；③4a+b=0；④若点1,y1和3,【变式2】（2023·上海·一模）如图所示的抛物线y=x2-bx+b2【变式3】（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0，其中自变量x……-1237……y……-1.54.8-1.5-12……下列判断中，正确的是________（填序号）．①顶点是2,4.8；②a<0；③b2-4ac<0；④当x=-5时，y=-12；⑤当x>1.5时，y考点6：根据二次函数的图像判断式子的符号典例6：（2023·山东菏泽·统考二模）已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图像如图所示，有5个结论：①abc>0；②b<a+c；③9a+3b+c<0；④c<-3a；⑤【变式1】（2023秋·陕西西安·九年级西安市曲江第一中学校考期末）二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于0,-1，对称轴为直线x=1．下列结论：①abc>0；②a>13；③对于任意实数m，都有mam+b>a+b成立；④若-2,y1【变式2】（2023·山东枣庄·统考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0交x轴于A-1,0，B3,0，交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①bc<0；②2a+b=0；③2a+c>0；④当m≠1时，a+b<am2+bm【变式3】（2023·安徽滁州·校考二模）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图像的一部分图像过点A(-3,0)，对称轴为x=-1①b2>4a；②2a-b=1；③a-b+c=0；考点7：求二次函数的最值典例7：（2022秋·九年级单元测试）若实数x、y满足方程：x2+y+3x-3=0，则x+y的最大值=【变式1】（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）若x+y=2，则xy+1的最大值为______．【变式2】（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知二次函数y=x2-4x+1，当-1<x<4时，y【变式3】（2023·安徽合肥·校考一模）已知二次函数y=-x（1）当m=2时，二次函数y=-x2+mx+2-m（2）当-1≤x≤2时，二次函数y=-x2+mx+2-m的最大值为6，则m考点8：待定系数法求解析式——一般式典例8：（2022秋·九年级单元测试）已知二次函数y=ax2+bx-1的图像过A2，【变式1】（2022秋·九年级单元测试）如果抛物线y=x2-k经过点1,-4，那么k【变式2】（2023·湖南永州·校考一模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的yx-113y3-33当x=2时，函数值为______．【变式3】（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）已知二次函数y=x2+x+m的图像过点1,4，则m考点9：待定系数法求解析式——顶点式典例9：（2022秋·九年级单元测试）已知二次函数图象的对称轴是直线x=2，函数的最小值为3，且图象经过点-1,5，则此二次函数的解析式是_____．【变式1】（2022秋·广东汕头·九年级统考期末）已知抛物线的顶点坐标是2，-3，且与y轴的交点坐标为0，【变式2】（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）已知抛物线y=ax2+bx+c【变式3】（2023秋·九年级单元测试）抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于A，B两点，与y轴交于C0,3同步过关一、单选题1．（2023春·江苏·九年级专题练习）抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0)，对称轴是直线x=-1，则a+b+c=A．6 B．8 C．9 D．02．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）已知二次函数y=-x2+2x-3，用配方法化为y=aA．y=-x-12-2C．y=-x-12+43．（2022秋·北京西城·九年级北京四中校考阶段练习）已知二次函数y=-x2+2x+m，分别取x1=-1，x2=A．y3 B．y2 C．y4．（2023秋·浙江杭州·九年级期末）已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴有两个交点，其中一个交点为-1,0A．-1,0 B．2,0 C．3,0 D．4,05．（2023秋·广西防城港·九年级统考期中）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OC＝2OB则下列结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③ac﹣2b+4＝0；④OA•OB＝caA．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2023秋·河北邢台·九年级邢台市第七中学校考期末）将抛物线y=x2-2x+2所在的平面直角坐标系进行平移，得到y=A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位C．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位7．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点（1，0），对称轴是直线x＝－1，下列结论错误的是（

）A．abc＞0 B．b2－4ac＞0C．2a－b＝0 D．3a＋2c＜08．（2023春·八年级课时练习）已知抛物线y=(m+1)x2+5有最高点，则mA．m<-1 B．m>-1 C．m≤-1 D．m≥-19．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）若抛物线y＝ax2+2ax+4a(a＞0)上有A(-32，y1)、B(2，y2)、C(32，y3)三点，则y1、y2、y3的大小关系为A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y110．（2022春·全国·九年级专题练习）已知k是不为0的常数，则函数y=kx与y=kx2+A．B．C．D．11．（2023·四川成都·统考一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是A．a<0 B．b<0 C．c>0 D．b12．（2022·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考期中）设点(-2，y1)，A．y1>y2>y3 B．13．（2022秋·广西南宁·九年级统考期中）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③2a-b=0；A．2个 B．3个 C．4个 D．5个14．（2023秋·河北廊坊·九年级廊坊市第四中学校考期中）关于二次函数y=2x2+x-1，下列说法正确的是（

）A．图像与y轴的交点坐标为(0，1) B．图像的对称轴在y轴的右侧C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小 D．y的最小值为-915．（2022·四川广安·统考中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②2c﹣3b<0；③5a+b+2c=0；④若B（43，y1）、C（13，y2）、D（-13，y3）是抛物线上的三点，则y1<y2A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题16．（2022春·江苏·九年级专题练习）已知点（3，a）在抛物线y=-2x2+2x上，则a=______．17．（2023秋·安徽淮北·九年级统考阶段练习）请写一个二次函数，满足以下两个条件：（1）函数图象的开口向下：（2）函数图象经过点-2,1，该二次函数的表达式是________．18．（2023·江苏连云港·统考二模）抛物线y=-3x2+6x+219．（2023秋·四川南充·九年级南部县第二中学校考阶段练习）当x=m或者x=n(m≠n)时，代数式x2+3x-1的值相等，则x=m+n时，代数式x220．（2022·全国·九年级专题练习）若点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（4，y3）为二次函数y＝﹣x2＋4x＋5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是____（用“＞”号连接）．21．（2023秋·全国·九年级阶段练习）已知抛物线经过（0，﹣3），（﹣2，﹣5），（2，﹣7）三点，则其开口方向是____．（填“向上”或“向下”）22．（2023秋·天津·九年级天津市第四十二中学校考阶段练习）若二次函数y=-2x2+4x-n的最大值为-1，则n23．（2023·山东·九年级专题练习）二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象的一部分如图所示．已知图象经过点-1，0，其对称轴为直线x=1．下列结论：①abc>0；②4a+2b+c<0；③若抛物线经过点-3，n，则关于x的一元二次方程ax224．（2022·全国·九年级专题练习）若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则下列结论中：①b2-4ac≥0；②方程cx2+bx+a=0，一定有两个不相等的实数根；③设t＝-b2a，当a＜0时，一定有at2+bt＞ax2+bx；④若m、n（m＜25．（2023·江苏南通·统考二模）已知抛物线y=ax2+bx-3过点m-b,m2-mb-3m≠b，与y轴和直线x=4分别相交于点A、B，点Mm,n为抛物线上A，B两点之间（包含A，三、解答题26．（2023·江西南昌·九年级南昌市第三中学校考阶段练习）（1）解方程：(x+3)2=2x+6．

（2）将二次函数y=-2x2+8x-327．（2023秋·山东烟台·九年级统考期中）已知抛物线y=2x2+bx+c经过点(1，0)，(0（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y=2x28．（2022春·九年级课时练习）已知抛物线y=14x2+bx+c的对称轴为直线x=229．（2022秋·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）（1）将函数y=12（2）画出其图象并回答问题：当-3<x≤3时，y的范围是30．