空间向量知识点归纳(期末深刻复习)

_空间向量期末复习知识要点:空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。感谢阅读注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。感谢阅读空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。感谢阅读OBOAABab;BAOAOBab;OPa(R)运算律：⑴加法交换律：abba⑵加法结合律：(ab)ca(bc)⑶数乘分配律：(ab)ab3.共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作a//b。当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数λ，使a＝λ。共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。精品文档放心下载说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数x,y使pxayb。谢谢阅读5.空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使pxaybzc。感谢阅读若三向量a,b,c不共面，我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空感谢阅读间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数精品文档放心下载x,y,z，使OPxOAyOBzOC。精品文档放心下载6.空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量 a,b，在空间任取一点O，作谢谢阅读_OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；且规定0a,b，显然有a,bb,a；若a,b2，则称a与b互相垂直，记作：ab。感谢阅读（2）向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|。（3）向量的数量积：已知向量a,b，则|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积，记感谢阅读作ab，即ab|a||b|cosa,b。谢谢阅读（4）空间向量数量积的性质：①ae|a|cosa,e。②abab0。③|a|2aa。感谢阅读（5）空间向量数量积运算律：(a)b(ab)a(b)。②abba（交换律）。感谢阅读③a(bc)abac（分配律）。谢谢阅读7.空间向量的坐标运算：(1).向量的直角坐标运算a＝(a,a,a)，b＝(b,b,b)则谢谢阅读123123(1)a＋b＝(ab,ab,ab)；(2)a－b＝(ab,ab,ab)；112233112233(3)λa＝(a,a,a)(λ∈R)；(4)a·b＝ababab；123112233(2).设A(x,y,z)，B(x,y,z)，则ABOBOA=(xx,yy,zz).111222212121(3).设a(x,y,z)，b(x,y,z)，则111222|a|2aa=x2y2z2111abab(b0)；abab0xxyyzz0.(4).夹角公式设a＝(a,a,a)，b＝(b,b,b)，121212123123则cosa,bababab.112233a2a2a2b2b2b2123123(5)．异面直线所成角cos|cosa,b|ab||xxyyzz|.|=121212|a||b|x2y2z2x2y2z2111222(6).直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为精品文档放心下载|ne|φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝|n||e|.谢谢阅读(7). 二面角的求法_(1)如图①，AB，CD是二面角α l β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小谢谢阅读θ＝〈AB，CD〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．感谢阅读coscosn,nnn1212nn12练习题：1．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)且a·b＝2，则x的值是()A．3B．4C．5D．62．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则()15A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝215C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝23．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝→→3，且a分别与AB，AC垂直，则向量a为()A．(1,1,1)B．(－1，－1，－1)C．(1,1,1)或(－1，－1，－1)D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)4．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则|a－2b|＝________.感谢阅读5．如图所示，1 1已知正四面体ABCD中，AE＝4AB，CF＝4CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为精品文档放心下载________．258解析 ∵a－2b＝(8，－5,13)，∴|a－2b|＝ 82＋ －5 2＋132＝ 258.精品文档放心下载45.13_解析因四面体ABCD是正四面体，顶点A在底面BCD内的射影为△BCD的垂心，所以有BC⊥DA，AB⊥CD.设正四面体的棱长为4，精品文档放心下载→→→→→→则BF·DE＝(BC＋CF)·(DA＋AE)→→→→＝0＋BC·AE＋CF·DA＋0＝4×1×cos120°＋1×4×cos120°＝－4，BF＝DE＝42＋12－2×4×1×cos60°＝13，所以异面直线DE与BF的夹角θ的余弦值为：cosθ＝4＝13.6.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设AA＝a，AB＝b，AD＝c，M，感谢阅读1N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：感谢阅读AP；AN；1MP＋NC.1解：(1)∵P是C1D1的中点，AP＝AA＋AD＋DP1 1 1 11＝a＋AD＋2D1C11＝a＋c＋2AB1＝a＋c＋2b.(2)∵N是BC的中点，1A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋2BC精品文档放心下载1 1＝－a＋b＋2AD＝－a＋b＋2c._(3)∵M是AA1的中点，1MP＝MA＋AP＝2A1A＋AP1111＝－a＋a＋c＋b＝a＋b＋c，2222又NC＝NC＋CC1＝BC＋AA11211 1＝2AD＋AA1＝2c＋a，111∴MP＋NCa＋b＋c＋a＋c22123 1 3＝2a＋2b＋2c.7.已知直三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．精品文档放心下载(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求证：B1F⊥平面AEF.证明：以A为原点，AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空谢谢阅读间直角坐标系Axyz，令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B1(4,0,4)，D(2,0,2)，谢谢阅读A1(0,0,4)，(1)DE＝(－2,4,0)，平面ABC的法向量为AA＝(0,0,4)，谢谢阅读1_DE·AA＝0，DE平面ABC，1∴DE∥平面ABC.BF＝(－2,2，－4)，EF＝(2，－2，－2)，谢谢阅读1F·EF＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，谢谢阅读1∴BF⊥EF，B1F⊥EF，1F·AF＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0，感谢阅读1∴BF⊥AF，∴B1F⊥AF.1∵AF∩EF＝F，∴B1F⊥平面AEF.8.如图所示，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在精品文档放心下载四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，精品文档放心下载PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：谢谢阅读(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.证明：以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角谢谢阅读坐标系Cxyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°，∵PC＝2，∴BC＝2 3，PB＝4，3∴D(0,1,0)，B(23，0,0)，A(2322∴DP＝(0，－1,2)，DA＝(23，3,0)，_33CM＝2，0，.2(1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，谢谢阅读－y＋2z＝0，由即DA·n＝0，23x＋3y＝0，令y＝2，得n＝(－3，2,1)．∵n·CM＝－333×2＋2×0＋1×2＝0，∴n⊥CM.又CM平面PAD，∴CM∥平面PAD.(2)如图，取AP的中点E，连接BE，则E(3，2,1)，BE＝(－3，2,1)．∵PB＝AB，∴BE⊥PA.又∵BE·DA＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，∴BE⊥DA.∴BE⊥DA.又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD.又∵BE平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点．感谢阅读(1)求直线AD和直线B1C所成角的大小；(2)求证：平面EB1D⊥平面B1CD._解：不妨设正方体的棱长为2个单位长度，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.精品文档放心下载根据已知得：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)．精品文档放心下载(1)∵DA＝(2,0,0)，CB＝(2,0,2)，∴cos〈DA，CBDA·CB2〉＝1＝.11|DA||CB|21π∴直线AD和直线B1C所成角为4.(2)证明：取B1D的中点F，得F(1,1,1)，连接EF.谢谢阅读∵E为AB的中点，∴E(2,1,0)，EF＝(－1,0,1)，DC＝(0,2,0)，感谢阅读EF·DC＝0，EF·CB＝0，1∴EF⊥DC，EF⊥CB1.∵DC∩CB1＝C，∴EF⊥平面B1CD.又∵EF平面EB1D，∴平面EB1D⊥平面B1CD.谢谢阅读10．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平谢谢阅读面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB.精品文档放心下载(1)求证：AB⊥DE；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；感谢阅读_EF(3)线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出EA；若不存在，请说明感谢阅读理由．解：(1)证明：取AB的中点O，连接EO，DO.感谢阅读因为EB＝EA，所以EO⊥AB.因为四边形ABCD为直角梯形．AB＝2CD＝2BC，AB⊥BC，所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD.因为EO∩DO＝O，所以AB⊥平面EOD，所以AB⊥ED.(2)因为平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，感谢阅读所以EO⊥平面ABCD，所以EO⊥OD.由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O感谢阅读xyz.因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OA＝OB＝OD＝OE，OB＝1，所以O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，感谢阅读D(0,1,0)，E(0,0,1)．所以EC＝(1,1，－1)，感谢阅读平面ABE的一个法向量为OD＝(0,1,0)．感谢阅读设直线EC与平面ABE所成的角为θ，|EC·OD|3所以sinθ＝|cos〈EC，OD〉|＝|EC||OD|＝3，精品文档放心下载3即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为3.谢谢阅读11._(12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．感谢阅读(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；(2)求点B到平面PCD的距离．21.(1)证明如图，以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则依题意可知A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,2)．感谢阅读→ → →∴PD＝(4,0，－2)，CD＝(0，－2,0)，PA＝(0,0，－2)．感谢阅读设平面PDC的一个法向量为n＝(x，y,1)，感谢阅读y＝0y⇒则14x－2＝0x＝，21所以平面PCD的一个法向量为，0，1.2∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD.精品文档放心下载→∴平面PAD的法向量为AB＝(0,2,0)．→ →∵n·AB＝0，∴n⊥AB.∴平面PDC⊥平面PAD.n52(2)解由(1)知平面PCD的一个单位法向量为5＝，0，.|n|555245∴＝54，0，0·，0，＝，5555∴点B到平面PCD的距离为5._12．如图所示，在多面体ABCDA1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD精品文档放心下载互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a.感谢阅读(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；精品文档放心下载(2)已知F是AD的中点，求证：FB1⊥平面BCC1B1；精品文档放心下载(3)在(2)的条件下，求二面角FCC1B的余弦值．精品文档放心下载解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所精品文档放心下载示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2a，0,0)，B(2a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，F(a,0,0)，精品文档放心下载B1(a，a，a)，C1(0，a，a)．(1)∵AB＝(－a，a，a)，DD＝(0,0，a)，谢谢阅读11∴|cos〈AB·DD3AB11＝，|AB|·|DD|31111∴异面直线AB1与DD1所成角的余弦值为3.3(2)证明：∵BB＝(－a，－a，a)，BC＝(－2a,0,0)，FB＝(0，a，a)，谢谢阅读1 1·BB＝0，∴11FB·BC＝0，1∴FB1⊥BB1，FB1⊥BC.∵BB1∩BC＝B，∴FB1⊥平面BCC1B1.(3)由(2)知，FB为平面BCC1B1的一个法向量．谢谢阅读1_设n＝(x1，y1，z1)为平面FCC1的法向量，精品文档放心下载CC＝(0，－a，a)，FC＝(－a,2a,0)，谢谢阅读1n·CC＝0，－ay＋az＝0，11∴1得n·FC＝0，－ax＋2ay＝0.11令y1＝1，则n＝(2,1,1)，∴cos〈FB，n〉＝FB·n31＝3，1|FB|·|n|1∵二面角FCC1B为锐角，∴二面角FCC1B的余弦值为33.13．如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面谢谢阅读ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为谢谢阅读棱AA1的中点．(1)证明：B1C1⊥CE;(2)求二面角B1CEC1的正弦值．2(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为6，求线谢谢阅读段AM的长．解：法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题精品文档放心下载意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．精品文档放心下载(1)证明：易得BC＝(1,0，－1)，CE＝(－1,1，－1)，于是精品文档放心下载1 1BC·CE＝0，所以B1C1⊥CE.1 1BC＝(1，－2，－1)．1设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，_m·BC＝0，x－2y－z＝0，消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一则11即m·CE＝0，－x＋y－z＝0.个法向量为m＝(－3，－2,1)．由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故BC＝(1,0，－1)为谢谢阅读1 1平面CEC1的一个法向量．m－427于是cos〈m，BC〉＝11＝14×＝－7，11|m|·|BC|211从而sin〈m，BC21〉＝7.11所以二面角B1CEC1的正弦值为217.(3)AE＝(0,1,0)，EC＝(1,1,1)．设EM＝λEC＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM＝AE感谢阅读1 1＋EM＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB＝(0,0,2)为平