河南师大附中九年级下册数学月考1：巩固提高

第=page11页，共=sectionpages11页第=page22页，共=sectionpages22页九年级下册数学月考1：巩固提高一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）下列四个数中，绝对值最大的数是(    )A.5 B.0 C.−2 D.−7下列等式中，计算正确的是(    )A.a10÷a9=a B.x3若分式x2−9x−3的值为零，则x的取值为A.x≠3 B.x≠−3 C.x=3 D.x=−3北京气象部门测得冬季某周内七天的气温如下：3，5，5，4，6，5，7(单位：℃)，则这组数据的平均数和众数分别是(    )A.6，5 B.5.5，5 C.5，5 D.5，4不透明的袋中装有只有颜色不同的10个小球，其中6个红色，4个白色．从袋中任意摸出一个球是红球的概率是(    )A.25 B.35 C.23如果x−12−x=x−12−x，则x的取值范围是A.1≤x<2 B.1≤x≤2 C.x≥2 D.x>2如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是(

)A.BA=BC

B.AC、BD互相平分

C.AC⊥BD

D.AB//CD如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，点B的坐标是(−23,2)，将△OAB绕点O顺时针旋转60°，得到△OA1B1

，则点A的对应点A.(23,2) B.(−3,3) C.(如图，函数y1=mx和y2=x+3的图象相交于点A−1,2，则关于x的不等式mx>x+3的解集是(A.x<−1

B.x>−1

C.x<−2

D.x>−2如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC，点M从点D出发，沿D→C→A以1cm/s的速度匀速运动到点A，图2是点M运动时，△MAB的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象，则边AB的长为A.136 B.13 C.52 D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）不等式组−x+4<2,3x−4≤8的解集是

．已知P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点都在反比例函数如图，在△ABC中，sinB=13，，AB=3，则AC的长为______．如图，△ABC是等边三角形，BD为AC边上的中线，点E在BC的延长线上，连接DE，若CE=2，∠E=30°，则线段BC的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共58.0分）先化简，再求值：1−x2−1x2+2x+1÷x−1x，其中x=5已知关于x的方程x2−2(k−1)x+k2=0有两个实数根x1，x2．

(1)求k的取值范围；

(2)若x1+x2=1−在慈善一日捐活动中，学校团总支为了了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数进行了统计，并绘制成下面的统计图

(1)这50名同学捐款的众数为________

元，中位数为________

元；

(2)求这50名同学捐款的平均数；

(3)该校共有800名学生参与捐款，请估计该校学生的捐款总数．

如图，MN是一条东西走向的海岸线，上午9：00点一艘船从海岸线上港口A处沿北偏东30°方向航行，上午11：00点抵达B点，然后向南偏东75°方向航行，一段时间后，抵达位于港口A的北偏东60°方向上的C处，船在航行中的速度均为30海里/时，求此时船距海岸线的距离．

如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DF．

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)若DB平分∠ADC，AB=52，AD：DE=4：1，求DE的长．

泸溪县白沙中学生“3月5日学雷锋日”这一天组织初一、初二的学生到株洲南路和临江路打扫卫生，为此学校准备购置扫帚、铁撮子的两种工具若干．已知扫帚的单价比铁撮子单价的1.5倍少2元，且购买3把扫帚与购买4把铁撮子的费用相同

(1)扫帚、铁撮子两种工具的单价各是多少元？

(2)若学校准备用不超过1440元的现金购买扫帚、铁撮子两种工具总数一共是100把，且扫帚的数量不低于50把，但数量不多于铁撮子数量的3倍，问学校有几种购买方案可供选择？请说明哪种购买方案最省钱？

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高．

(1)求证：△ABC∽△CBD；

(2)如果AC=4，BC=3，求BD的长．

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c

(a≠0)的对称轴为直线x=−1，且经过A(1,0)、C(0,3)两点，与x轴的另一个交点为B．

(1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x=−1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；

(3)设点P为抛物线的对称轴x=−1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：∵0=0，−2=2，5=5，−7=7，

且0<2<5<7，

∴数5、0、−2、−7中绝对值最大的是−7，

故选D．

先求出每个数的绝对值，再比较即可．

本题考查了绝对值和有理数的大小，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键．【解析】【分析】

本题主要考查了同底数幂的乘除法，负整数指数幂，及合并同类项，在解题时掌握整式的运算法则是本题的关键．

根据同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法、负整数指数幂的运算法则分别对各选项进行计算，即可得出正确答案．

【解答】

解：A.∵a10÷a9=a，

故本选项正确；

B.∵x3−x2无法计算，

故本选项错误；

C.(−4a)−2=116a2【解析】【分析】

此题主要考查了分式值为零的条件：是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．

根据分式值为零的条件可得x2−9=0，x−3≠0，解可得答案．

【解答】

解：由题意得：x2−9=0，x−3≠0，

解得：x=−3，

故选：D．

【解析】解：这组数据的平均数是(3+5+5+4+6+5+7)÷7=5(℃)；

∵5出现了3次，出现的次数最多，

∴这组数据的众数是5；

故选：C．

根据众数定义确定众数；应用算术平均数计算这组数据的平均数．

此题考查了算术平均数和众数的定义，熟练掌握定义和公式是解题的关键．

5.【答案】B

【解析】【分析】

此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．

根据概率公式用红球的个数除以球的总个数即可．

【解答】

解：∵不透明的袋中装有只有颜色不同的10个小球，其中6个红色，4个白色，

∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率=610=35．

故选【解析】【分析】

本题考查的是分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，利用分式的分母不等于0和二次根式的被开方数大于等于0解答此题，

【解答】

解：根据题意得，x−12−x≥02−x≠0且x−1≥02−x>0

综合解得，1≤x<2，

所以x的取值范围是：1⩽x<2，

故选A．

【解析】【分析】

根据矩形的判定方法解答．

本题主要考查了矩形的判定方法，理解平行四边形与矩形的联系与区别，并熟练掌握矩形的判定是解题的关键．

【解答】

解：能判定四边形ABCD是矩形的条件为AC、BD互相平分．

理由如下：∵AC、BD互相平分，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AC=BD，

∴▱ABCD是矩形．

其他三个条件再加上AC=BD均不能判定四边形ABCD是矩形．

故选B．

8.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查的是旋转变换，根据题意画出图形，过点A1作A1M⊥OA于点M，求出OM，A1M即可．

【解答】

解：如图：

过点A1作A1M⊥OA于点M，

∵点B的坐标是(−23,2)，将△OAB绕点O顺时针旋转60°，

∴∠A1OA=60°，OA=OA1=23,

【解析】【分析】

本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是熟练运用数形结合思想．以交点为分界，结合图象写出不等式mx>x+3的解集即可．【解答】解：∵函数y1=mx和y2∴不等式mx>x+3的解集为x<−1．故选A．

10.【答案】A

【解析】解：由图象可知，当M从点D运动到C时，△MAB的面积不变为a，

∴CD=a，AB=BC=a，S△MAB=a，

当M从点C运动到A时，△MAB的面积逐渐减小，一直到0，

∴AC=a+13−a=13，

连接BD，与AC交于点O，

∵AB=BC，

∴平行四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，

AO=CO=12AC=132，

BO=BC2−CO2=a2−134，

∵S△MAB=a，

∴12AC⋅BO=a，

即1213⋅a2−134=a，

化简，得134(a2−134)=a2，

解得a=136或−136(舍去)．

∴AB的长为136．

故选：A．

由图象可知，当M从点D运动到C时，【解析】【分析】

本题考查的是解不等式组的解集，先分别求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．

【解答】

解：−x+4<2①3x−4≤8②,

解不等式①得，x>2，

解不等式②得，x≤4，

所以不等式组的解集是：2<x≤4，

故答案为2<x≤4.

12.【答案】【解析】【分析】

本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是得出反比例函数当x<0时单调递减．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据系数k的取值范围确定函数的单调性是关键．

根据反比例函数的系数k的值可知，该函数当x<0时单调递减，再结合x1<x2<0，即可得出结论．

【解答】

解：在反比例函数y=2x中k=2>0，

∴该函数当x<0时单调递减，

∵x1<x2<0【解析】【分析】

此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可．

【解答】

解：过A作AD⊥BC，垂足为D，

在Rt△ABD中，sinB=13，AB=3，

∴AD=AB⋅sinB=1，

在Rt△ACD中，tanC=1，

∴ADCD=1，即CD=1，

根据勾股定理得：AC=AD2+C【解析】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，

∵BD为AC边上的中线，

∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，

∴∠BDC=90°，

∴BC=2DC，

∵∠ACB=∠E+∠CDE，

∴∠CDE=∠E=30°，

∴CD=CE=2，

∴BC=2CD=4，

故答案为：4．

先利用等边三角形的性质证明BC=2CD，再证明△CDE是等腰三角形，即可解决问题．

本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．

15.【答案】解：1−x2−1x2+2x+1÷x−1x

=1−(x+1)(x−1)(x+1)2⋅【解析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

16.【答案】解：(1)∵方程x2−2(k−1)x+k2=0有两个实数根x1，x2，

∴Δ≥0，即4(k−1)2−4×1×k2≥0，解得k≤12，

∴k的取值范围为k≤12；

(2)∵方程x2−2(k−1)x+k2=0有两个实数根x1，x【解析】(1)根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac的意义得到Δ≥0，即4(k−1)2−4×1×k2≥0，解不等式即可得到k的范围；

(2)根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系得到x1+x2=2(k−1)，x1x2=k2，则2(k−1)+k2=1，即k2+2k−3=0，利用因式分解法解得k1=−3，k2=1，然后由(1)中的k的取值范围即可得到k的值．

本题考查了一元二次方程【解析】【分析】

此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．除此之外，本题也考查了加权平均数、中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想．

(1)根据众数的定义即出现次数最多的数据进而得出即可，再利用中位数的定义得出即可；

(2)利用条形统计图得出各组频数，再根据加权平均数的公式计算即可；

(3)利用样本估计总体的思想，用总数乘以捐款平均数即可得到捐款总数．

【解答】

解：(1)数据15元出现了20次，出现次数最多，所以众数是15元；

数据总数为50，所以中位数是第25、26位数的平均数，即(15+15)÷2=15(元)．

故答案为15，15；

(2)见答案；

(3)见答案．

18.【答案】解：如图，过B作BE⊥AC于E，

∵∠GAB=30°，∠GAC=60°，

∴∠BAE=30°．

在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，AB=30×2=60(海里)，∠BAE=30°，

∴BE=12AB=30海里，AE=3BE=303海里．

在Rt△CBE中，∵∠CEB=90°，∠EBC=75°−(60°−30°)=45°，

∴CE=BE=30海里，

∴AC=AE+CE=(303+30)海里．

过C作CF⊥MN于F，

∵∠CAF=90°−∠GAC=30°，

【解析】本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

过B作BE⊥AC于E，解直角△ABE，求出BE=12AB=30海里，AE=3BE=303海里．再解Rt△CBE，由∠EBC=45°，得出CE=BE=30海里，那么AC=AE+CE=(303+30)海里．过C作CF⊥MN于F，得出CF=12AC，即可得解．

19.【答案】(1)证明：连接OD．

∵OD=CD，

∴∠ODC=∠OCD．

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=∠EDC=90°．

∵点F为CE的中点，

∴DF=CF=EF．

∴∠FDC=∠FCD．

∴∠FDO=∠FCO．

又∵AC⊥CE，

∴∠FDO=∠FCO=90°．

∴DF是⊙O的切线．

(2)解：∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=∠ABC=90°，

∵DB平分∠ADC，

∴∠ADB=∠CDB，

∴AB=BC，

∴BC=AB=52，

在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100，

又∵AC⊥CE，

∴∠ACE=90°．

∴△ADC～△ACE，

∴ACAD=AEAC，【解析】此题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=AD⋅AE是解题关键．

(1)直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出∠FDO=∠FCO=90°，得出答案即可；

(2)首先得出AB=BC，即可得出它们的长，再利用△ADC～△ACE，得出AC2=AD⋅AE，进而得出答案．

20.【答案】解：(1)设铁撮子的单价为x元，

3(1.5x−2)=4x，

解得，x=12，

1.5x−2=16

即扫帚、铁撮子两种工具的单价各是16元，12元；

(2)设购买铁撮子a把，

12a+16(100−a)≤1440100−a≥50100−a≤3a，

解得，40≤a≤50，

∴有11种购买方案，

花费为：12a+16(100−a)=−4a+1600，

∴【解析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题条件，利用方程和不等式的思想解答问题．

(1)根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题；

(2)根据题意可以列出相应的不等式，从而可以得到有多少种购买方案和哪种方案，最省钱．

21.【答案】解：(1)证明：∵∠ACB=90°，CD

是AB

边上的高，

∴∠ACB=∠CDB=90°

又∵∠B=∠B，

∴△ABC∽△CBD

(2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3．

∴由勾股定理得

AB=5

∵△ABC∽△CBD，

∴ABCB=【解析】本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．

(1)由于∠ACB=∠CDB=90°，∠B=∠B，从而可证明△ABC∽△CBD；

(2)由勾股定理