2022年湖南省湘潭市中考数学试卷与试题解析

2022年湖南省湘潭市中考数学试卷&试题解析

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在

每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求，请将

正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）

1.（3分）如图，点A、3表示的实数互为相反数，则点3表

示的实数是（）

._______B

-20

A.2B.-2C.1D.,1

22

2.（3分）卜列整式与加为同类项的是（）

A.a2bB.-lab2C.ahD.ab2c

3.（3分）“冰墩墩”是北京2022年冬季奥运会的吉祥物.该

吉祥物以熊猫为原型进行设计创作，将熊猫形象与富有超能

量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技特点,

冰墩墩玩具也很受欢迎.某玩具店一个星期销售冰墩墩玩具

数量如下：

星期星期星期星期星期星期星期

四五六日

玩具数量35475048426068

（件）

则这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数和中位数分

别是（）

A.48,47B.50,47C.50,48D.48,50

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4.（3分）下列几何体中，主视图是三角形的是（）

5.（3分）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场

应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人

竞赛.组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿

的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每

个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有x张桌子，有）'条凳

子，根据题意所列方程组正确的是（）

x+y=40x+y=12

4x+3y=124x+3y=40

x+y=40x+y=12

3x+4y=123x+4y=40

6.（3分）在aABCD中（如图），连接AC,已知ABAC=40°,ZACB=80°,

贝Ij/8C£>=（）

7.（3分）在AABC中（如图），点0、£分别为他、4c的中点,

第2页共41页

A

8.（3分）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，

用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明

了勾股定理，这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方

形面积与每个直角三角形面积均为1，a为直角三角形中的一

个锐角，则tana=（）

A.2B.3C.1D.好

225

二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每

小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的

得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答

案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）

9.（3分）若则下列四个选项中一定成立的是（）

A.a+2>b+2B.-3a>-3bC.—>—D.a-1<b-\

44

10.（3分）依据“双减”政策要求，初中学生书面作业每天

完成时间不超过90分钟.某中学为了解学生作业管理情况，

抽查了七年级（一）班全体同学某天完成作业时长情况，绘制

第3页共41页

出如图所示的频数分布直方图：（数据分成3组：03,30,

30<々,60,60<%,90）.则下列说法正确的是（)

A.该班有40名学生

B.该班学生当天完成作业时长在3O<X,60分钟的人数最多

C.该班学生当天完成作业时长在o<%,30分钟的频数是5

D.该班学生当天完成作业时长在0号,60分钟的人数占全班

人数的80%

11.（3分）下列计算正确的是（）

A•4a_2a=2B•a3-a2=a5C•（3a2）2=6a4D•ci-^cr—a4

12.（3分）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形,

其作图步骤是：①作线段他=2,分别以点A、3为圆心，以他

长为半径画弧，两弧相交于点C、D；②连接AC、BC,作直

线CD,且CD与相相交于点H.则下列说法正确的是（）

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A.AABC是等边三角形B.ABLCD

C.AH=BHD.ZACD=45°

三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分.请

将答案写在答题卡相应的位置上）

13.（3分）四个数t,0,1,石中，为无理数的是.

2------

14.（3分）请写出一个y随x增大而增大的一次函数表达

式.

15.（3分）2022年6月5日，神舟十四号载人飞船在酒泉

卫星发射中心发射成功，飞船入轨后将按照预定程序与离地

面约400000米的天宫空间站进行对接.请将400000米用科

学记数法表示为一米.

16.（3分）如图，一束光沿CO方向，先后经过平面镜08、OA

反射后，沿EF方向射出，已知ZAO8=120。，NCDB=2伊,则

ZAEF=

第5页共41页

一

O\pB

四、解答题(本大题共10个小题，共72分.解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相

应位置上)

17.(6分)如图，在平面直角坐标系中，已知AABC的三个顶

点的坐标分别为A(-1,1),8(T,O),C(-2,2).将AA3C绕原点O顺时

针旋转90°后得到△A8G.

(1)请写出A、G三点的坐标：

4,B}，G；

(2)求点8旋转到点用的弧长.

18.(6分)先化简,再求值：力为焉甘,其中心

19.(6分)如图，在0O中，直径加与弦8相交于点E,连

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接AC、BD.

(1)求证：/^AEC^ADEB；

(2)连接4),若A£>=3,NC=30。，求oo的半径.

20.（6分）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办

“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动.八年级

（一）班由A、仆&三名同学在班上进行初赛，推荐排名前

两位的同学参加学校决赛.

（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有

可能结果；

（2）若小为两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A、

8、。的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），

放在一个不透明的盒子里.先由A随机摸取1张卡片记下编

号，然后放回，再由&随机摸取1张卡片记下编号，根据模

取的卡片内容讲述相关英雄的故事.求小儿两人恰好讲述

同一名科技英雄故事的概率（请用“画树状图”或“列表”

等方法写出分析过程）.

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A,,杂交水稻之父”B“天眼之父”C“航天之父”

袁隆平南仁东钱学森

21.（6分）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成

为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片.某中学八年级数学兴趣小

组参观后，进行了设计伞的实践活动.小文依据黄金分割的

美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中

也=0.618）：伞柄A//始终平分NBAC,AB=AC=20cm,当ZBAC=120。时，

AH

伞完全打开，此时皿'=90。.请问最少需要准备多长的伞柄？

（结果保留整数，参考数据：1.732）

22.（6分）百年青春百年梦，初心献党向未来.为热烈庆祝

中国共产主义青年团成立10周年，继承先烈遗志，传承“五

四”精神.某中学在“做新时代好少年，强国有我”的系列

活动中，开展了“好书伴我成长”的读书活动.为了解5月

份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级20名学生读

书数量（单位：本），并进行了以下数据的整理与分析：

数据收集

2535461534

3675834734

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数据整理

本数0<工,22<x,,44<x,,66<A;,8

组别ABCD

频数2m63

数据分析绘制成不完整的扇形统计图:

依据统计信息回答问题：

（1）在统计表中，吁;

（2）在扇形统计图中，c部分对应的圆心角的度数为；

（3）若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结

果，估计该校八年级学生读书在4本以上的人数.

23.（8分）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动

教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12㈤和2加长

的篱笆墙，围成I、II两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣

小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不

浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：

（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在I区

中留一个宽度他=加的水池，且需保证总种植面积为32加，试

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分别确定CG、£>G的长；

（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大,

请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？

24.（8分）已知43,0）、8（0,4）是平面直角坐标系中两点，连接

AB.

（1）如图①，点P在线段他上，以点P为圆心的圆与两条坐

标轴都相切，求过点P的反比例函数表达式；

（2）如图②，点N是线段OB上一点，连接.，将AAON沿加翻

折，使得点。与线段加上的点M重合，求经过A、N两点的一

次函数表达式.

25.（10分）在AABC中，ABAC=90°,AB=AC,直线/经过点A,

过点B、C分别作/的垂线，垂足分别为点。、E.

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（1）特例体验：如图①，若直线〃ABC,AB=AC=6,分别求

出线段应）、CE和比的长；

（2）规律探究：

（I）如图②，若直线/从图①状态开始绕点A旋转a（0va<45。），

请探究线段如、CE和小的数量关系并说明理由；

（II）如图③，若直线/从图①状态开始绕点A顺时针旋转

a（45°<a<90°）,与线段3c相交于点H,请再探线段如、CE和DE

的数量关系并说明理由；

（3）尝试应用：在图③中，延长线段血交线段AC于点尸，

若CE=3，DE=1，求S-

（1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点43,0）,与y轴交点

5（0,-3）,连接A8.

（I）求该抛物线所表示的二次函数表达式；

（II）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作

叨口-轴于点”，与线段他交于点M,是否存在点P使得点〃是

线段P”的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在,

请说明理由.

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(2)如图②，直线尸3+〃与)•轴交于点c,同时与抛物线

产/+法+0交于点0(-3,0),以线段CD为边作菱形CDFE,使点下落

在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求〃的取

值范围.

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2022年湖南省湘潭市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在

每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求，请将

正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）

1.（3分）如图，点A、3表示的实数互为相反数，则点3表

示的实数是（）

B__

-2（）

A.2B.-2C.1D.-1

22

【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相

反数即可得出答案.

【解答】解：一2的相反数是2,

故选：A.

2.（3分）下列整式与加为同类项的是（）

A・cfbB•—lab1C.ahD.ab2c3

【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指

数也相同，即可判断.

【解答】解：在通，-2/，时，/c四个整式中，与小为同类

项的是：-lab2,

故选：B.

3.（3分）“冰墩墩”是北京2022年冬季奥运会的吉祥物.该

吉祥物以熊猫为原型进行设计创作，将熊猫形象与富有超能

第13页共41页

量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技特点,

冰墩墩玩具也很受欢迎.某玩具店一个星期销售冰墩墩玩具

数量如下：

星期星期星期星期星期星期星期

四五六日

玩具数量35475048426068

（件）

则这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数和中位数分

别是（）

A.48,47B.50,47C.50,48D.48,50

【分析】根据中位数、平均数的意义分别求出中位数、平均

数即可.

【解答】解：这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数

x=-x（35+47+50+48+42+60+68）=50（件）；

7

将这7天销售冰墩墩玩具数量从小到大排列，处在中间位置

的一个数，即第4个数是48,因此中位数是48,

故选：c.

4.（3分）下列几何体中，主视图是三角形的是（）

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c.D.

【分析】根据主视图的特点解答即可.

【解答】解：小圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题

思；

5、圆柱的主视图是长方形，故此选项不符合题意；

C、球的主视图是圆，故此选项不符合题意；

°、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条实线，故此选

项不符合题意；

故选：A.

5.（3分）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场

应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人

竞赛.组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿

的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每

个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有x张桌子，有y条凳

子，根据题意所列方程组正确的是（）

A.口=40B.广=12

CJx+y=40Db+y=12

*（3x+4>?=12*（3x+4y=40

【分析】根据“组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子

和三条腿的凳子共12个，且桌子腿数与凳子腿数的和为40

条”，即可得出关于X,y的二元一次方程组，此题得解.

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【解答】解：••・组委会为每个比赛场地准备了桌子和凳子共

12个，

:.x+y=\2；

又•••桌子腿数与凳子腿数的和为40条,且每张桌子有4条腿,

每条凳子有3条腿，

.,.4x+3y=40・

.•・列出的方程组为

[4x+3y=40

故选：B.

6.（3分）在aABCD中（如图），连接AC,已知NS4c=40。，ZACB=80°,

则ZBCZ）=（）

D

A.80°B.100°C.120°D.140°

【分析】根据平行线的性质可求得ZA8,即可求出4CD.

【解答】解：••・四边形•8是平行四边形，44c=40。，

:.ABHCD,

:.ZACD=ABAC=40°，

vZACB=80°，

:.ZBCD=ZACB+ZACD=\2QP,

故选：C.

7.（3分）在AABC中（如图），点。、E分别为他、AC的中点,

第16页共41页

则s.IBC)

A

【分析】根据相似三角形的判定和性质定理解答即可.

【解答】解：在中，点D、E分别为他、AC的中点,

.•.■DE为AABC的中位线，

:.DE//BC,DE=-BC,

2

•t-^HADE：S<W8C=（5了=—,

故选：D.

8.（3分）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，

用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明

了勾股定理，这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方

形面积与每个直角三角形面积均为1，a为直角三角形中的一

个锐角，则tana=（）

A.2B.|C.1D,

【分析】根据题意和题目中的数据，可以先求出大正方形的

第17页共41页

面积，然后设出小直角三角形的两条直角边，再根据勾股定

理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长，

然后即可求得tana的值.

【解答】解：由已知可得，

大正方形的面积为lx4+l=5,

设直角三角形的长直角边为a,短直角边为人

贝|〃2+/=5,a—b=\9

解得a=2,6=1或a=l,h=-2（不合题意，舍去），

.•.tana=-=-=2，

b1

故选：A.

二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每

小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的

得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答

案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）

9.（3分）若则下列四个选项中一定成立的是（）

A.a+2>b+2B.—3a>-3bC.—>—D.a—\<b—\

44

【分析】根据不等式的性质分别判断各个选项即可.

【解答】解：A.a+2>b+2,

•：a>b9

:.a+2>h-^-2，

故A选项符合题意；

B・-3a>—3b，

第18页共41页

*:a>bj

—3av~3b，

故5选项不符合题意;

C.小，

44

*:a>b9

—a>一b，

44

故c选项符合题意;

D・a-\<b-\，

*:a>bj

故D选项不符合题意;

故选:AC.

10.（3分）依据“双减”政策要求，初中学生书面作业每天

完成时间不超过90分钟.某中学为了解学生作业管理情况,

抽查了七年级（一）班全体同学某天完成作业时长情况，绘制

出如图所示的频数分布直方图：（数据分成3组：0<&30,

30<匕60,60<%,90）.则下列说法正确的是（）

第19页共41页

A.该班有40名学生

B.该班学生当天完成作业时长在30＜x,60分钟的人数最多

C.该班学生当天完成作业时长在。＜%,30分钟的频数是5

D.该班学生当天完成作业时长在0＜%,60分钟的人数占全班

人数的80%

【分析】把三个组的频数加起来判断A选项；根据该班学生

当天完成作业时长在30＜々,60分钟的人数为25人判断5选项;

根据该班学生当天完成作业时长在03,30分钟的频数是10判

断C选项；根据该班学生当天完成作业时长在。＜*,60分钟的人

数占全班人数生至xlOO%=87.5%判断C选项.

40

【解答】解：A选项，10+25+5=40（名），故该选项符合题意;

B选项，该班学生当天完成作业时长在30",60分钟的人数最

多，故该选项符合题意；

C选项，该班学生当天完成作业时长在0＜匕30分钟的频数是

10,故该选项不符合题意；

。选项，该班学生当天完成作业时长在0＜匕60分钟的人数占全

班人数也受x100%=87.5%,故该选项不符合题意；

40

故选：AB.

11.（3分）下列计算正确的是（）

A.4a-2a=2B.a3-a2—a5C.（3a2）、6a4D.a6-i-a2—a4

第20页共41页

【分析】根据实数指数累的运算方法分别判断各个选项即可.

【解答】解：A.4a-2a=2,

,.•4a—2a=2a，

故A选项不符合题意；

B.a3a2=a5,计算正确，

故5选项符合题意；

C.©a*6a4,

（3a2）2=9a4,

故C选项不符合题意；

D.2力,计算正确,

故。选项符合题意；

故选：BD.

12.（3分）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形,

其作图步骤是：①作线段舫=2,分别以点A、3为圆心，以他

长为半径画弧，两弧相交于点C、D；②连接AC、BC,作直

线CD,且CO与他相交于点H.则下列说法正确的是（）

A.AABC是等边三角形B.ABLCD

第21页共41页

C.AH=BHD.ZACD=45°

【分析】利用基本作图得到8垂直平分抽，AC=BC=AB,则

可对A选项、5选项和C选项进行判断；然后根据等边三角形

的性质可对。选项进行判断.

【解答】解：由作法得8垂直平分抽，AC=BC=AB,

.•.AABC为等边三角形，ABYCD,AH=BH,所以A、B、C选项符

合题意；

:.ZACD=-ZACB=30°.所以£＞选项不符合题意；

2

故选：ABC.

三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分.请

将答案写在答题卡相应的位置上）

13.（3分）四个数—1,0,1,6中，为无理数的是G.

2——

【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，

一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统

称.即有限小数和无限循环小数是分数，属于有理数，而无

限不循环小数是无理数.由此即可解答.

【解答】解：四个数T,0,1,6中，为无理数的是

2

故答案为：6.

14.（3分）请写出一个y随x增大而增大的一次函数表达式

）,=x-2（答案不唯一）.

【分析】根据y随着x的增大而增大时，比例系数%＞。即可确

定一次函数的表达式.

第22页共41页

【解答】解：在""+6中，若%>0,贝卜随X增大而增大，

，只需写出一个Q0的一次函数表达式即可，比如：y=x-2,

故答案为：y=x-2（答案不唯一）.

15.（3分）2022年6月5日，神舟十四号载人飞船在酒泉

卫星发射中心发射成功，飞船入轨后将按照预定程序与离地

面约400000米的天宫空间站进行对接.请将400000米用科

学记数法表示为_4xl（）5—米.

【分析】根据科学记数法的形式改写即可.

【解答】解：400000米用科学记数法表示为4x1（/米，

故答案为：4xl05.

16.（3分）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜03、OA

反射后，沿防方向射出，已知ZAO3=120。，ZCE>B=20°,则Z4£F=

【分析】根据平面镜反射的规律得到ZEDO=NCDB=20。,

ZAEF=ZOED,在中，根据三角形内角和定理求出NOED的

度数，即可得到川=/。田的度数.

【解答】解：••・一束光沿8方向，先后经过平面镜08、OA反

射后，沿4方向射出，

第23页共41页

.\ZEDO=ZCDB=20°，ZAEF=NOED,

在AODE中，ZO£D=180O-ZAOB-ZEr>6>=180°-120°-20°=40°,

:.ZAEF=ZOED=40°.

故答案为：40。.

四、解答题(本大题共10个小题，共72分.解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相

应位置上)

17.(6分)如图，在平面直角坐标系中，已知AABC的三个顶

点的坐标分别为A(-1,1),8(T,0),C(-2,2).将AA3C绕原点O顺时

针旋转90°后得到△A8G.

(1)请写出A、G三点的坐标：

【分析】(1)根据图直接得出各点的坐标即可;

(2)根据弧长公式直接求值即可.

第24页共41页

【解答】解：(1)由图知,4(1,1),耳(0,4),0(2,2),

故答案为：(1,1)>(0,4)，(2,2)；

(2)由题意知，点5旋转到点乌的弧所在的圆的半径为4,

弧所对的圆心角为90。，

，弧长为：*=2万.

180

18.(6分)先化简，再求值：—――-J.与，其中x=2.

x-3X2-9x+lx2

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,

再将X的值代入计算即可.

【解答】解：原式=人曰+3)(>3)-上.巫»

x-3x+\广

=x+3-l

=x+2，

当x=2时,

工C=2+2=4.

19.(6分)如图，在OO中，直径M与弦CD相交于点E,连

接AC、BD.

(1)求证：^AECS^DEB；

(2)连接AD,若攵>=3,ZC=30°,求OO的半径.

【分析】(1)根据圆周角定理和相似三角形的判定可以证明

第25页共41页

结论成立；

(2)根据直角三角形的性质和圆周角定理，可以得到他的

长，从而可以得到。。的半径.

【解答】(1)证明：••・NC=N3,ZAEC=ADEB,

/^AEC^ADEB；

(2)解：-.-ZC=ZB,NC=30。，

.'.ZB=30°，

•.•AB是OO的直径，AD=3,

:.ZADB=90°，

:.AB=6，

.•・G)O的半径为3.

20.(6分)5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办

“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动.八年级

(一)班由仆仆人三名同学在班上进行初赛，推荐排名前

两位的同学参加学校决赛.

(1)请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有

可能结果；

(2)若小儿两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A、

B、C的3张卡片(如图，除编号和内容外，其余完全相同)，

放在一个不透明的盒子里.先由A随机摸取1张卡片记下编

号，然后放回，再由&随机摸取1张卡片记下编号，根据模

取的卡片内容讲述相关英雄的故事.求心4两人恰好讲述

第26页共41页

同一名科技英雄故事的概率（请用“画树状图”或“列表”

等方法写出分析过程）.

A“杂交水稻之父”B“天眼之父”C“航天之父”

袁隆平南仁东钱学森

【分析】（1）根据题意列出所有等可能的情况数即可；

（2）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出小为两

人恰好讲述同一名科技英雄故事的情况数，然后根据概率公

式即可得出答案.

【解答】解：（1）这三名同学讲故事的顺序是：小A。、仆

A、A、54、4、A3;A,、4、A;4、A、4;4、4、A;

共6种等可能的情况数；

（2）根据题意画图如下：

开始

ABC

dZN

ABCABCABC

共有9种等可能的情况数，其中小人两人恰好讲述同一名

科技英雄故事的有3种，

则A、4两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率是3」.

-93

21.（6分）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成

为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片.某中学八年级数学兴趣小

第27页共41页

组参观后，进行了设计伞的实践活动.小文依据黄金分割的

美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中

—«0.618）：伞柄AH始终平分ZBAC，AB=AC=20cm，当=120。时，

AH

伞完全打开，此时ZBDC=90。.请问最少需要准备多长的伞柄？

（结果保留整数，参考数据：1.732）

A

【分析】作于点E,根据三角函数求出AE和EB,再利

用等腰直角三角形的性质得出小，再根据比例关系求出极的

长度即可.

【解答】解：作/于点E,

:.ZBAE=60°，

/.AE=>4/?•cos60°=20x-=10(c/n),

BE=AB-sin60°=20x三=1()石ad7.32(c/n),

BD=CD,ZBDC=90°,

第28页共41页

,\ZBDE=45°9

DE=BE=17.32cm,

AD=AE+DE=\Q+\7.32=27.32（c/n），

•.•生=0.618,

AH

日nAH-2732八…

即------=0.618,

AH

解得AHa72,

..最少需要准备72cm长的伞柄.

22.（6分）百年青春百年梦，初心献党向未来.为热烈庆祝

中国共产主义青年团成立10周年，继承先烈遗志，传承“五

四”精神.某中学在“做新时代好少年，强国有我”的系列

活动中，开展了“好书伴我成长”的读书活动.为了解5月

份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级20名学生读

书数量（单位：本），并进行了以下数据的整理与分析：

数据收集

2535461534

3675834734

数据整理

本数0＜天,22＜天,44＜%,66c不，8

组别ABCD

频数2m63

数据分析绘制成不完整的扇形统计图:

依据统计信息回答问题：

第29页共41页

(1)在统计表中,m=9

(2)在扇形统计图中，c部分对应的圆心角的度数为；

(3)若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结

果，估计该校八年级学生读书在4本以上的人数.

【分析】(1)根据各组的频数之和等于总人数可得，〃的值；

(2)用360。乘以样本中c组人数所占比例即可；

(3)用总人数乘以样本中c、。组人数和占被调查人数的比

例即可.

【解答】解：(1)由已知数据得5组的频数加=20-(2+6+3)=9,

故答案为：9；

(2)在扇形统计图中，c部分对应的圆心角的度数为

360°X—=108°，

20

故答案为：108。；

(3)200x^2=90(人)，

20

答：估计该校八年级学生读书在4本以上的有90人.

23.(8分)为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动

教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙(墙长⑵,)和2所长

的篱笆墙，围成I、n两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣

第30页共41页

小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不

浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：

（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在I区

中留一个宽度隹=1，”的水池，且需保证总种植面积为32〉，试

分别确定CG、QG的长；

（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，

请问3c应设计为多长？此时最大面积为多少？

///?////////

"////2/////////BA

------

F

I区H区

【分析】（1）设水池的长为根据I、II两块矩形面积减

水池面积等于种植面积列方程求解即可得出结论；

（2）设BC长为X,”，则8长度为2「3x,得出面积关于x的关

系式，利用二次函数的性质求最值即可.

【解答】解：⑴v（21-12）4-3=3（/n）,

..I>H两块矩形的面积为12x3=36（舟，

设水池的长为am,则水池的面积为axl=a（>）,

36—a=329

解得a=4,

/.DG=4m9

第31页共41页

.\CG=CD-DG=\2-4=8(ni),

即CG的长为8,〃、10G的长为4加；

(2)设BC长为—则8长度为21-3x,

..总种植面积为(21-3幻.x=-3,-7x)=-3(x--)2+—,

24

,.--3<0，

，当X=Z时，总种植面积有最大值为也相，

24

即BC应设计为，总种植面积最大，此时最大面积为巴W.

24

24.(8分)已知43,0)、8(0,4)是平面直角坐标系中两点，连接

AB.

(1)如图①，点P在线段他上，以点P为圆心的圆与两条坐

标轴都相切，求过点P的反比例函数表达式；

(2)如图②，点N是线段◎上一点，连接/W,将AAON沿期翻

折，使得点。与线段加上的点〃重合，求经过A、N两点的一

次函数表达式.

【分析】(1)作轴于C,PD1)，轴于O,可知矩形0cPD是

正方形，设PE»=PC=x,利用PD//O4,得APDBSAAOB,从而求出

点P的坐标，利用待定系数法解决问题；

第32页共41页

(2)利用翻折的性质得，ON=NM,MN^AB,由勾股定理得,

AB=5,再根据%8=%加+5由，求出点N的坐标，利用待定系

数法解决问题.

【解答】解：(1)作PCJ_x轴于C,轴于£),

则四边形。是矩形，

・•・以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切,

:.PC=PD,

..矩形OCP£＞是正方形,

设PD=PC=x,

•"(3,0)、3(0,4),

.♦.04=3，08=4，

BD=4—x，

•/PD//OA，

/."DBsMOB,

..PD=BD，

AOBO

x4-x

二.—=----，

34

第33页共41页

解得X="，

7

・••P（争

77

设过点尸的函数表达式为y=3

X

,1212144

：.k=xy=——x—=----，

7749

144

（2）方法一：・•・将AAON沿出翻折，使得点O与线段钻上的点

M重合，

：.ON=NM»MN工AB,

由勾股定理得，^=5,

-S故OB=SMON+S^BN9

,—x3x4=—x3xON+—x5xMN,

222

解得，ON=）,

2

N（O,3，

2

设直线他的函数解析式为广e

-2

则3m+-=0，

2

2

・・・直线他的函数解析式为y=」x+。.

-22

方法二：利用MMNsAfiOA,求出8N的长度，从而得出ON的长

度，

与方法一同理得出答案.

25.（10分）在AABC中，44C=90。，AB=AC,直线/经过点A,

过点3、。分别作/的垂线，垂足分别为点。、E.

第34页共41页

(1)特例体验：如图①，若直线〃ABC,AB=AC=6,分别求

出线段应)、CE和比的长；

(2)规律探究：

(I)如图②，若直线/从图①状态开始绕点A旋转a(0va<45。)，

请探究线段如、CE和小的数量关系并说明理由；

(II)如图③，若直线/从图①状态开始绕点A顺时针旋转

a(45°<a<90°),与线段3c相交于点H,请再探线段如、CE和DE

的数量关系并说明理由；

(3)尝试应用：在图③中，延长线段血交线段AC于点尸,

若CE=3，DE=\,求S-

腰直角三角形的三边关系可得出比和CE的长即可.

(2)(I)易证乙血)=/04£,由A45即可得出AA5Z)三△CAE,进而

解答即可；

(II)易证ZAB£>=NC4E,由A45即可得出AAftD三AC4E,进而解答

即可；

(3)根据题意可证明AABAWBA,由此可得出所的长，根据

Swc=SMBC-SMBF,可得出结论.

第35页共41页

【解答】解：(1)在AABC中，ZBAC=90。，AB=ACy

:.ZABC=ZACB=45°,

\U/BCJ

:.ZDAB=ZABC=90°，ZCAE=ZACB=45°,

:.ZDAB=ZABD=45°，ZEAC=ZACE=45°,

:.AD=BD,AE=CEJ

•/AB=AC=V2,

：.AD=BD=AE=CE=1,

.0.DE=2；

(2)(I)DE=BD+CE.理由如下：

在RtAADB中，ZABD+ZJ^4£>=90°,

・・・NBAC=90。，

:.ZBAD+ZCAE=90°，

:.ZABD=ZCAE，

在AABO和AC4E中，

ZABD=ZCAE

</BDA=ZAEC=90°，

48=AC

.•.AAB£>=△C4E(A4S)；

:.CE=AD,BD=AE,

:.DE=AE+AD=BD+CE・

(II)DE=BD-CE.理由如下：

在RtAADB中，ZABD+ZBAD=90°9

第36页共41页

・・・ZBAC=90。,

:.ZBAD+ZCAE=90°,

:.ZABD=ZCAE，

在AABD和ACAE中，

ZABD=ZCAE

<ABDA=ZAEC=90°，

AB=AC

..^ABD^ACAE(AAS)；

.\CE=AD,BD=AE,

:.DE=AE-AD=BD-CE.

(3)由(2)可矢口，ZABD=ZCAE,DE=AE-AD=BD-CE

•.NBAC=ZADB=90。，

^ABD^/SFBA，

:.AB:FB=BD:AB，

・.・CE=3,DEW,

.・.AE=BD=4,

:.AB=5・

二.BnF厂=——25.

4

.s_c225_25

26.(10分)已知抛物线ynf+H+c.

(l)如图①，若抛物线图象与X轴交于点