高中数学基本不等式教案设计

高中数学基本不等式教案设计高中数学基本不等式教案设计一教材分析本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观的好素材，所以基本不等式应重点研究。教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。课程目标分析依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。2、过程与目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。启动观察、分析、归纳、、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。教学重、难点分析重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。教法分析本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究;启发诱导、讲练结合的，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。教学准备多媒体课件、板书教学过程教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。具体过程安排如下：创设情景，提出问题;设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.基于此，设置如下情境：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式。在此基础上，引导学生认识基本不等式。二、抽象归纳：一般地，对于任意实数a，b，有，当且仅当a=b时，等号成立。[问]你能给出它的证明吗?学生在黑板上板书。特别地，当a>0，b>0时，在不等式中，以、分别代替a、b，得到什么?设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.答案：。【归纳总结】如果a，b都是正数，那么，当且仅当a=b时，等号成立。我们称此不等式为基本不等式。其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数。三、理解升华：1、文字语言叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。2、联想数列的知识理解基本不等式已知a，b是正数，A是a，b的等差中项，G是a，b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系?两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。3、符号语言叙述：若，则有，当且仅当a=b时，。[问]怎样理解“当且仅当”?(学生小组讨论，交流看法，师生总结)“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：高中数学基本不等式教案设计二一、教材分析1、本节教材的地位和作用“基本不等式”是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了(展示课本和参考书封面)。它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究.在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。2、教学目标(1)知识目标：探索基本不等式的证明过程;会用基本不等式解决最值问题。(2)能力目标：培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。?(3)情感目标：培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。3、教学重点、难点根据课程标准制定如下的教学重点、难点重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式。难点：基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值。二、教法说明本节课借助几何画板，使用多媒体辅助进行直观演示.采用启发式教学法创设问题情景，激发学生开始尝试活动.运用生活中的实际例子，让学生享受解决实际问题的乐趣.课堂上主要采取对比分析;让学生边议、边评;组织学生学、思、练。通过师生和谐对话，使情感共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发挥，使认知效益最大。让学生爱学、乐学、会学、学会。三、学法指导为更好的贯彻课改精神，合理的对学生进行素质教育，在教学中，始终以学生主体，教师为主导.因此我在教学中让学生从不同角度去观察、分析，指导学生解决问题，感受知识的形成过程，培养学生数形结合的意识和能力，让学生学会学习。四、教学设计◆运用2002年国际数学家大会会标引入◆运用分析法证明基本不等式◆不等式的几何解释◆基本不等式的应用1、运用2002年国际数学家大会会标引入如图，这是在北京召开的第24届国际数学家大会会标.会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。(展示风车)正方形ABCD中，AE⊥BE，BF⊥CF，CG⊥DG，DH⊥AH，设AE=a，BE=b，则正方形的面积为S=，Rt△ABE，Rt△BCF，Rt△CDG，Rt△ADH是全等三角形，它们的面积之和是S’=_从图形中易得，s≥s’，即问题1：它们有相等的情况吗?何时相等?问题2：当a，b为任意实数时，上式还成立吗?(学生积极思考，通过几何画板帮助学生理一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当(重点强调)a=b时，等号成立(合情推理)问题3：你能给出它的证明吗?(让学生独立证明)设计意图(1)运用2002年国际数学家大会会标引入，能让学生进一步体会中国数学的历史悠久，感受数学与生活的联系。(2)运用此图标能较容易的观察出面积之间的关系，引入基本不等式很直观。(3)三个思考题为学生创造情景，逐层深入，强化理解.2、运用分析法证明基本不等式如果a>0，b>0，用和分别代替a，b。可以得到也可写成(强调基本不等式成立的前提条件“正”)(演绎推理)问题4：你能用不等式的性质直接推导吗?要证=1GB3①只要证=2GB3②要证②，只要证=3GB3③要证=3GB3③，只要证=4GB3④显然，④是成立的.当且仅当a=b时，不等式中的等号成立.(强调基本不等式取等的条件“等”)设计意图(1)证明过程课本上是以填空形式出现的，学生能够独立完成，这也能进一步培养学生的自学能力，符合课改精神;(2)证明过程印证了不等式的正确性，并能加深学生对基本不等式的理解;(3)此种证明方法是“分析法”，在选修教材的《推理与证明》一章中会重点讲解，此处有必要让学生初步了解。3、不等式的几何解释如图，AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a，CB=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连AD，BD，则CD=，半径为问题5：你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?(学生积极思考，通过几何画板帮助学生理解)设计意图几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。4、基本不等式的应用例1.证明(学生自己证明)设计意图这道例题很简单，多数学生都会仿照课本上的分析思路重新证明，能够练习“分析法”证明不等式的过程;学生能够加深对基本不等式的理解，a和b不仅仅是一个字母，而是一个符号，它们可以是a、b，也可以是x、y，也可以是一个多项式;此例不是课本例题，比课本例题简单，这样，循序渐进，有利于学生理解不等式的内例2：(1)把36写成两个正数的积，当两个正数取什么值时，它们的和最小?(2)把18写成两个正数的和，当两个正数取什么值时，它们的积最大?(让学生分组合作、探究完成)高中数学基本不等式教案设计三课标要求知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等;过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式;情感目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣;识记理解应用综合知识点一：基本不等式及其推导过程∨知识点二：基本不等式的应用∨目标设计1.通过从不同角度探索不等式的证明过程，使学生理解基本不等式及其等号成立的条件;2.掌握基本不等式解决最值问题，并理解运用基本不等式的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值中的作用。教学情境一：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。问题1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?分析：将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为。教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。我们考虑4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为。由图可知，即.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。新知：若，