例谈高中数学微课的设计与制作

【摘

要】微课由于短小精悍，教学直观、生动，同时具备进度自定、反复浏览的特点，教学时更能突出学习目标、精练学习内容，能使学生的学习效率得到有效提高。微课使传统的教与学发生改变，为了让学生个性化的学习需求得到满足，意味着中学教师有必要掌握微课的设计与制作。【关键词】数学微课；椭圆教学；光学性质随着移动终端的普及，为应用微课提供了更广泛的空间，尤其在疫情背景下，更是成为优化教学的重要手段。然而，多数一线教师对微课的设计和制作过程却知之甚少。除了畏惧多媒体技术的操作，可供查阅的学科类微课设计案例少，也是多数教师不敢尝试微课制作的主要原因。微课技术方面的问题，市面上的相关书籍较多，不再赘述。本文针对第二个问题，以在全国比赛中获奖的微课“椭圆的光学性质”文本设计为例，从录制工具及方法、教材分析、学情分析、教学设计、创作反思等重要环节逐一呈现，使读者对微课的设计与制作有一个整体直观的认识，进而制作出符合新课程理念的微课，更好地运用于教学中。如果读者想了解更多关于高中数学微课的实例，可以参见笔者的另外一篇拙文《以“指数函数的概念”教学设计为例谈微课的设计与制作》。正如著名教学家陶行知所说：“思想与行为结合而产生的知识是真知识，真知识的根是安在经验里的。从经验里发芽抽条开花结果的是真知灼见，真知灼见是跟着智慧走的。”读者若能在阅读文章过后，结合教学实际亲自制作微课，对教学能力的提升可能更有效。具体内容如下：一、教學分析微课名称及时长：椭圆的光学性质及应用，8分03秒。录制工具及方法：电脑、录音话筒，PowerPoint2003、CamtasiaStudio、爱剪辑等软件；方法是对PPT演示进行屏幕录制，辅以录音和视频剪辑。适用对象：新人教A版选择性必修一及其他版本椭圆知识初学者。教材分析：本微课内容出自2019年新人教A版选择性必修一第三章的阅读与思考。本课内容是椭圆知识的进一步拓展，既是数学与物理知识的综合，也是高考命题的重要题源。学情分析：从知识生成的角度看，经过初中物理的学习，学生已经知道光的反射定律，高中对椭圆的概念和性质进行了学习，对椭圆的光学性质的理解有一定的基础。教学目标：了解椭圆的光学性质，知道椭圆光学性质的解题应用和生活应用。教学重点：了解椭圆的光学性质，知道光学性质在解题和生活中的应用。教学难点：光学性质的数学证明。二、教学过程（一）情境引入你好，本节微课讲解“椭圆的光学性质”。平时看到的台球桌都是矩形的，椭圆形的球桌你见过吗？请观察椭圆形球桌有什么特别之处。（展示视频）【设计意图】数学其实没有想象的难，换个角度看问题就不一样。视频展示一种与众不同的台球玩法，既能激发学生的学习兴趣，又能使其了解光学性质的背景。（二）探究新知如图1所示，椭圆形台球桌，玩的其实是椭圆的光学性质：从焦点发出的光线经椭圆反射后过另一焦点。借助一些小工具，很容易验证这条性质，请看（如图2所示，利用小镜子、激光笔和硬纸片等常见工具进行实验验证）。【设计意图】对椭圆的光学性质进行实验验证，进一步感受光学性质的真实性。说到光学性质，眼前浮现出初中物理课本上的反射定律，还有那些曾经画过的光路图。已知AO是入射光线，请作出法线和反射光线。过入射点O作镜面的垂线得到法线，入射光线AO上任取一点P作镜面的对称点P1，再连接P1O就得到反射光线，光路图就完成了。如果反射镜面是曲面又如何作光路图呢？对，先过入射点作镜面的切线，再过入射点作切线的垂线就是法线，入射光线AO上任取一点A作切线的对称点A，再连接AO就得到反射光线，光路图也完成了（图3）。【设计意图】通过对初中物理复习，回忆光的反射原理，深化对椭圆光学性质的认识以及为探究证明提供依据。（三）拓展提升如图4所示，请思考活动1的光路图怎样完成。（稍作停顿后）来看完成后的光路图，从图4中可看出从焦点发出的光线F1P经椭圆反射后过另一焦点F2。可以看出，光学性质等价于在P处的法线平分P对焦点F1，F2所张的角∠F1PF2。虽然实验和光路图都能直观地验证椭圆的光学性质，然而实际操作时均存在一定误差，缺乏严谨性，那么如何证明椭圆的光学性质呢？仔细观察光路图，能联想到一些熟悉的东西。由椭圆定义可知与之和为定值，而切线是线段的中垂线，与相等，所以与之和为定值，即是在以为圆心的圆上运动，在圆内。问题就转化为一道处理过的习题。一道习题如图5所示，圆O的半径为r，定点A在圆O内，P是圆上的动点，直线l是线段AP的垂直平分线，l与半径OP交于点Q。当P在圆O上运动时，Q点的运动轨迹是什么？请说明理由。解：连接QA，由已知得|QA|=|QP|，所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=r，又因点A在圆内，故|OA|＜|OP|，点Q的轨迹是以OA为焦点的，r为长轴的椭圆。解决这个问题很简单，但如果就这样结束了，会有入宝山而空手回的遗憾，我们用几何画板来探索一下。从动态演示中，我们可以看出中垂线与椭圆相切，怎样证明呢？考虑到点是中垂线与椭圆的公共点，只需证明再无其他公共点就可以了。【设计意图】学生在问题的转化过程中实现了从感性认识到理性思维的飞跃，逻辑推理、数学运算等核心素养也相应得到提升。（本部分讲解时应适当放慢语速。）椭圆的光学性质1——从焦点发出的光线经椭圆反射后过另一焦点。等价于法线平分P对焦点F1，F2所张的角∠F1PF2。建立平面直角坐標系，可以从运动的观点处理切线斜率。当P点在y轴上时，分子为0，切线斜率为0；当P点在y轴上时，分母为0，切线斜率不存在。椭圆焦点在y轴上时，可根据类似方法进行推导，这里就不再赘述。【设计意图】要在解题中使用椭圆的光学性质，确定切线的斜率是很重要的一个步骤。从运动的角度处理斜率，能让学生体会知识之间的联系，也能进一步深化解析几何设而不求的重要思想。（四）应用示例椭圆的光学性质也备受各地高考命题者的青睐，请看这道题。【设计意图】用所学知识解决高考题，既能让学生体会光学性质在解题中的便捷性，又能提高他们学习解析几何的信心，此外解题过程的详细展示也有利于学生形成答题的规范性。椭圆的光学性质在生活中有意想不到的应用，被誉为“二十世纪三大医疗新技术”之一的体外震波碎石术就是例证。医学上对付肾结石的一种方案，就是让人的肾结石位于椭圆的一个焦点的位置，碎石机在另一个焦点处释放的高能冲击波经椭圆面反射后集中于石头上，将其击碎，从而实现碎石的效果。【设计意图】学生感受数学知识与现实生活的紧密联系，进而形成“数学有用，并且能用”的观念。（五）课后巩固最后，对微课“椭圆的光学性质及应用”作一个简短的总结：法线平分焦张角，切线斜率莫要忘，光学性质解题妙，数学好玩学得欢。谢谢你的认真观看，再见！【设计意图】通过口诀形式总结所学知识，不但简洁明了而且学生容易记住。三、创作反思微课正在改变着教师的教学，如何设计、制作和研究微课成为推动教学改革的重要路径。本微课作品共设五个环节：情境引入、探究新知、拓展提升、应用示例、课后巩固。五个学习环节层层递进，尽可能增加学生自我学习、探究的时间和空间，微课以朗朗上口的顺口溜形式对内容加以总结