材料力学：能量法

材料力学：能量法概述应变能

余能卡氏定理用能量法解超静定问题2023最新整理收集do

something能量方法：利用功能原理Ve=W来求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。

§3-1概述可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作功。对于弹性体，外力在相应位移上作的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能。

Ve=W1.线弹性条件下，通过外力功求应变能§3-2应变能•余能常力作功：常力P沿其方向线位移

上所作的功

一、应变能变力作功：在线弹性范围内，外力P与位移

间呈线性关系。(静荷载为变力）轴向拉（压）杆外力作功P

oP

P基本变形在弹性范围内变形量与外力(内力)均呈线性关系弯曲

扭转

轴向拉，压（FN为轴力）（

为相对扭转角，T

为扭矩）（

为转角，M

为弯矩）由Ve=W,可得以下变形能表达式（2）扭转杆内的变形能（1）轴向拉压杆内的变形能（3）弯曲梁内的变形能（略去剪力的影响）

（3）组合变形的变形能P2、非线性弹性体，通过比能求应变能

Po

1P1拉杆的材料是非线性弹性体，当外力由0逐渐增大到P1时，杆端位移就由0逐渐增到

1。dP外力作功为P

Po

1P1从拉杆中取出一个各边为单位长的单元体，

l=

1=

作用在单元体上，下两表面的力为P=

1

1=

其伸长量ppP

1

1

该单元体上外力作功为

l=

P=

pp单位体积的应变能即比能为

1

1

pp若取单元体的边长为dx、dy、dz，则该单元体的应变能为dVe=vedxdydz令dxdydz=dV则整个拉杆内的应变能为拉杆整个体积内各点的ve为常量，故有扭转杆

拉压杆

在线弹性范围内d解：[法1]运用扭转变形能公式例题：

在线弹性范围内工作的杆，

已知：m、G、l、d

。

求：在加载过程中所积蓄的应变能Ve。[法2]由比能求应变能

dd例题：已知：图示抗弯刚度为EI的简支梁，受均布荷载q作用。求：应变能qABly解：[法1]运用功能原理求应变能挠曲线方程xdxqABlywxdxqABlyw[法2]运用弯曲变形能公式qABlyx例题：水平杆系如图所示，两杆的长度均为l,横截面面积

为A，弹性模量为E，且均为线弹性。试计算在P1作用下的应变能。lla1Ada1P1解：外力作用下，两杆件伸长，沿P1方向下移δ，则lla1Ada1P1？由A点平衡得

lla1Ada1P1FNFNPlla1Ada1P1FNFNP略去高阶微量dlla1Ada1P1FNFNPdP与成非线性关系该问题属于几何非线性弹性问题由于P与δ的非线性关系,求能量需用积分。二.余能1、非线性弹性材料（拉杆）P

余功公式=矩形面积+P

dPP

dP余能公式单位体积的余能2、线弹性材料的几何线性问题

dPP

ααBDεσ1P例题：已知两杆的长度均为l、横截面面积均为A、材料单轴拉伸时的

σ~ε曲线如图所示。求：荷载P1作用下的余能Vc

ααBDεσ1P解：本题已知材料应力应变间的关系，故先求单位体积的余能。由于轴向拉伸杆内各点的应力状态相同，因此εααBD1P例题：拉杆在线弹性范围内工作。抗拉刚度EI，受到

P1，P2两个力作用。(1)若先在B截面加P1

，然后在C截面加P2；(2)若先在C截面加P2

，然后B截面加P1。分别计算两种加力方法拉杆的应变能。ABCabP1P2(1)先在B截面加P1，然后在C截面加P2ABCabP1

在B

截面加P1，B截面的位移为外力作功为

再在C上加

P2P2C截面的位移为P2

作功为

在加P2

后，B截面又有位移在加P2过程中P1作功（常力作功）所以应变能为ABCabP1P2ABCabP1P2(2)若先在C截面加P2

，然后B截面加P1。

在C截面加P2

后，P2

作功

在B截面加P1后，P1作功ABCabP1P2

加

P1引起C截面的位移在加P1

过程中P2作功（常力作功）注意：(1)计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的区别。(2)应变能Ve

只与外力的最终值有关，而与加载过程和加载次序无关。§14-3卡式定理设梁上有n个荷载P1，P2，，Pn（简单加载）与之相应的位移为

1，2，，

n一、卡式第一定理

梁内应变能在数值上就等于外力功外力作总功等于每个集中力在加载过程中所作功的总和上式表示梁内应变能Ve

是其上所有荷载相应的最后位移

i

的函数假设与第i个荷载相应的位移有一微小的增量d

i梁内应变能的变化为为应变能对于位移

i

的变化率只有与Pi

相应的位移有一微小增量，而与其余各荷载相应的位移保持不变。只有Pi在微小位移d

i

上作了外力功梁外力功的变化为外力功在数值上等于应变能得到即卡氏第一定理一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移

i

为Pi的作用点相应于Pi

的位移。Pi为广义力，

i为与Pi相应的广义位移。例题：已知图示悬臂梁，抗弯刚度EI，自由端转角θ

求：自由端力偶m。

解：梁内任一点的线应变为由图可得m梁内任一点的比能为梁的应变能为mm梁的应变能为例题：已知平面桁架受力如图。两杆的横截面面积均为A，两杆的E相同，且均处于线弹性范围内。求：B点水平位移与铅垂位移。若B只发生水平位移

1解：若B只发生铅垂位移

2桁架的应变能当水平位移与铅垂位移同时发生时由卡式第一定理设梁上有n个荷载P1，P2，，Pn（简单加载）与之相应的位移为

1，2，，

n二、卡氏第二定理梁内余能为外力的总余功等与每个集中荷载余功之和每个集中荷载余能假设第i

个荷载有一微小增量dPi，其余荷载及所有荷载的位移均维持常量不变，外力总余功的相应改变量为由于Pi改变了dPi，梁内余能的改变量为外力余功在数值上等于弹性杆的余能则有上式为余能定理线弹性杆件或杆系中，应变能与余能在数值上相等则有上式为卡氏第二定理(1)卡氏第一定理与余能定理两定理均适用于线性或非线性弹性杆件及杆系。说明(2)卡氏第二定理与余能定理

卡氏第二定理只适用于线性弹性体。

(3)Pi为广义力，

i为相应的位移。一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移(4)卡氏第二定理的应用

轴向拉、压

扭转

弯曲

平面桁架

组合变形

例题：

已知：如图所示悬臂梁受力情况，抗弯刚度EI

求：自由端的挠度（用卡氏第二定理）解：因自由端没有与所求位移对应的集中力，需加一虚设外力P

由卡氏第二定理

例题：外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI。梁材料为线弹性体。求梁C截面的挠度和A截面的转角。ABCPmla解：x1x2ABCPmlaAB：BC：x1x2ABCPmlaAB：BC：x1x2ABCPmlaAB：()BC：

例题：外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI。梁材料为线弹性体。求梁C截面和D截面的挠度。解：ABCPaPDaa法一:AC：CB：BD：ABCPaPDaaAC：CB：BD：ABCPaPDaa法二:AC：ABCPaPDaaCB：ABCPaPDaaBD：ABCPaPDaaABCPaPDaaABCPaPDaa第二种方法是正确的ABCPaPDaa例题：已知开口圆环受力如图，材料为线弹性，抗弯刚度EI

求：圆环的张开位移△（不计剪力及轴力的影响）。例14-12

使曲率减小为正解：由卡氏第二定理qABCll例题：抗弯刚度均为EI的静定组合梁ABC，受力如图所示。梁材料为线弹性体，不计剪应变对梁变形的影响。用卡氏第二定理求梁中间铰B两侧截面的相对转角。qABCllqABCll解：在B

两侧虚设一对外力偶。约束反力如图所示qABCllxxAB：BC:AB:BC:()例题：刚架结构如图所示。弹性模量EI已知。材料为线弹性。不考虑轴力和剪力的影响，计算C截面的转角和D截面的水平位移。ABCDaa2am解在C截面虚设一力偶mc,

在D截面虚设一水平力P。mcPRHVABCDaa2ammcPRHVxCD:ABCDaa2ammcPRHVxCB:ABCDaa2ammcPRHVxAB:M(x)=PxCD:CB:AB:M(x)=PxABCDaa2ammcPRHVCD:CB:AB:M(x)=Px()ABCDaa2ammcP例题：各杆抗弯刚度均为EI的Z字形平面刚架受集中力P作用。杆的材料是线弹性的，不计剪力和轴力对变形的影响。求端面A的线位移和转角。ABCDP3a4a

ABCDP3a4a

CABDP

解：在A端虚设水平力Px

和外力偶mA

。ABCDP

xAB：ABCDP

BC：3a4axABCDP

xCD：4aABCDP

AB：BC：CD：AB：BC：CD：ABCDP

AB：BC：CD：（）ABCDP

例题：各杆的抗拉（压）刚度均为EA的正方形平面桁架受水平力P作用。杆的材料为线弹性。求结点C的水平和铅垂位移。llABcDPQllABcDPQ杆件Q=0ABBCCDDAAC0000-（P+Q）-1-1-P000000000Q=0Q=0llABcDPQ例题：求A截面的铅垂位移。略去剪力影响ABCDPll/22l/3EAEIABCDPll/22l/3EAEI解：AB为弯曲变形CD为轴向拉伸取AB为研究对象ACBFNABCDPll/22l/3EAEICD杆ACBFNABCDPll/22l/3EAEIAB梁AC：xCB:xPACBFNABCDPll/22l/3EAEIAB梁CD杆例题：圆截面杆ABC，（

ABC=900）位于水平平面内，已知杆截面直径d及材料的弹性常数E,G。求C截面处的铅垂位移。不计剪力的影响。ABCllqABCllqBC：弯曲变形xPABlClqAB为弯曲与扭转的组合变形xPABlQm（扭转变形）（弯曲变形）ABlClqxPABlQmxABlClqxPxBC：弯曲变形AB：弯扭组合变形P=0ABlClqxPxP=0例题：图示刚架各段的抗弯刚度均为EI。不计轴力和剪力的影响。用卡氏第二定理求截面D的水平位移

D和转角

D。ABCDPPll2l解：在点虚设一力偶矩mmCD：弯曲变形P1ABCDPPll2lxABCPP1ABCP将力P向C简化得：力P（产生拉伸变形）将m向C简化得：m（产生弯曲变形）2Plm力偶矩2Pl（产生弯曲变形）DPll2lmABCPP1ABCABCPP1ABCP2PlmDPll2lmABCPP1ABCAC

产生拉伸与弯曲的组合变形。横截面上的内力有轴力和弯矩。但是轴力不计，因此横截面上的内力只计弯矩。ABCDPPll2lmxP1P2PlmxBC段：BA段：xABCDPPll2lmxP1P2Plmxxm=0P1=PABCDPPll2lmxP1P2Plmxxm=0P1=P§3-4用能量法解超静定问题例题：已知两杆抗弯刚度均为EI。不计剪力和轴力对刚架变形的影响。求支座反力。q=10KN/m，m=50KN.m。ABCDa=50mmqmXABCDa=50mmqmABCDa=50mmqmXABCDa=50mmqm解：变形相容条件是在B

点处的挠度为零。XABCDa=50mmqmM(x)=Xxxx