专题18数列求和（知识梳理专题过关）（解析版）

专题18数列求和【知识梳理】一．公式法（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．（3）一些常见的数列的前n项和：①；②；③；=4\*GB3④二．几种数列求和的常用方法（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．（4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．三．常见的裂项技巧积累裂项模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）积累裂项模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）积累裂项模型3：指数型（1）（2）（3）（4）（5）（6），设，易得，于是（7）积累裂项模型4：对数型积累裂项模型5：三角型（1）（2）（3）（4），则【专题过关】【考点目录】考点1：公式法考点2：错位相减法考点3：分组求和法考点4：裂项相消法考点5：倒序相加法考点6：并项求和考点7：数列奇偶项求和【典型例题】考点1：公式法1．已知等差数列中，，．（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【解析】解：（1）设数列的公差为，由题意得解得，，的通项公式为．（2）由得，是首项为，公比的等比数列．．2．（2022·陕西·石泉县江南高级高二期中（文））在数列中，a1＝1，an＝2an﹣1+n﹣2（n≥2）．(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn．【解析】（1）明：因为＝，数列{an+n}是首项为a1+1＝2，公比为2的等比数列，那么，即．（2）由（1）知，＝＝3．（2022·西藏·林芝市第二高级高二期中）在等比数列中，，．(1)求；(2)设，求数列的前项和．【解析】（1）设的公比为，依题意得，解得，因此．（2）∵，∴数列是首项为0，公差为1的等差数列，故其前项和．4．（2022·上海·高二专题练习）已知等差数列的前项和为，公差，且，成等比数列.(1)求公差的值；(2)求.【解析】（1）成等比数列，，由得：，解得：，公差.（2）由（1）得：.考点2：错位相减法5．（2022·上海市大同高二期末）已知数列的递推公式为.(1)求证：为等比数列；(2)令，求数列的前项和.【解析】（1）因为当时，，所以，又，所以所以数列是一个首项为2公比为2的等比数列，（2）由（1）得，故，所以，先求的前，，，所以，所以，又的前项和，所以数列的前项和为：.6．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知等差数列中，，，在各项均为正数的等比数列中，，．(1)求数列与的通项公式(2)求数列的前n项和．【解析】（1）设的公差为，则，所以解得，所以；由题设等比数列的公比为，由题得，，∴，∴．所以．所以．（2）由题得．所以则两式相减得所以．7．（2022·江苏南通·高二期中）已知数列满足且，．(1)求通项；(2)求数列的前项之和．【解析】（1）当为奇数时，由知数列是公差为2的等差数列，，∴，为奇数；当为偶数时，由知数列是公比为2的等比数列，，∴，为偶数∴；（2）记，相减得：∴8．（2022·江苏扬州·高二期中）已知正项数列前项和为，且满足.(1)求；(2)令，记数列前项和为，若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）因为，当时，有，两式相减得，移项合并同类项因式分解得，因为，所以有，在中，当得，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，故有（2）由（1）知，，，，由题意，对任意的，均有恒成立，，即恒成立，设，所以，当时，，即；当时，，即，所以的最大值为，所以.故的取值范围是.9．（2022·上海师大附中高二期中）已知数列中，，(1)判断数列是否为等差数列？并求数列的通项公式；(2)设数列满足：，求的前n项和.【解析】（1）∵，，∴，∴，又，∴数列是首项为1，公差为3的等差数列.∴，∴；（2）∵，∴，，∴，∴.10．（2022·陕西·虢镇高二期中）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答所给问题.已知数列的前n项和为Sn，且满足.(1)求与；(2)记，求数列的前n项和Tn.【解析】（1）选①，由①得，，时，，得；时，，得，故为首项是，公比是的等比数列，；.选②，由②得，，得，时，；时，，整理得，，故为等比数列，首项为，公比，故，.选③，，则，，则，得，故为等比数列，首项为，公比，故，.（2）根据题意，，得，，两式相减，得，，11．（2022·宁夏·银川高二期中（理））已知数列的前项和为，，当时，.(1)求；(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.【解析】（1）当时，由，得.所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.所以，即.（2）由（1）知，，所以，①所以，②①-②得，，所以，，所以，，所以，即，即，因为，当且仅当时，等号成立，所以的取值范围是考点3：分组求和法12．（2022·河南省杞县高中高三开学考试（文））已知数列满足，设.(1)证明：是等比数列；(2)求.【解析】（1）证明：当时，，则从而由，得，又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）得，所以13．（2022·广东·高三开学考试）已知数列满足，，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项的和.【解析】（1）当为奇数时，，所以所有奇数项构成以为首项，公差为－1的等差数列，所以，当为偶数时，，所以所有偶数项构成以为首项，公比为3的等比数列，所以，所以；（2）.14．（2022·甘肃·高台县第一高三开学考试（文））已知公差不为0的等差数列满足．若，，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和【解析】（1）假设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，所以，即，因为，所以，所以的通项公式为；（2）因为，所以考点4：裂项相消法15．（2022·江苏省横林高级高二阶段练习）已知数列满足.(1)计算，并求出数列的通项公式；(2)设，为数列的前项和，求证：.【解析】（1）将代入,得同理，将代入,得即.由题意得而，则，所以所以，数列的通项公式为（2）由（1）知，，故，而，所以，即.16．（2022·江苏·宿迁高二期中）已知数列中，，，.设.(1)证明：数列是等比数列；(2)设数列的前项的和为，求.(3)设，设数列的前项和，求证：.【解析】（1），，，，数列是等比数列，首项为1，公比为2.（2）由（1）可得，时，，时也成立.，，数列是等比数列，首项为1，公比为2.数列的前项的和为.（3），数列的前项和，.17．（2022·福建省华安县第一高二阶段练习）已知正项数列的前n项和为，且和满足：（，2，3，…）．(1)求的通项公式；(2)设，的前n项和，求证：【解析】（1）∵，∴，①∴，②①－②得，∴，化简．∵，∴，∴是以1为首项，2为公差的等差数列，∴；（2）证明：由（1）可得，∴∵，∴，∴，即.18．（2022·福建·莆田高二期中）已知等差数列的前n项和为，其中r为常数．(1)求r的值；(2)设，求数列的前n项和．【解析】（1）先求前三项，，，，由为等差数列，所以，所以，即；（2）由（1）知，，也满足，所以，所以，故所以故19．（2022·江苏·星海实验高二阶段练习）已知数列的前项和为，___________，.在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.①；②；③注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)求数列的通项公式；(2)记，是数列的前项和，若对任意的，，求实数的取值范围.【解析】（1）选择①，由知，当时，，由，得，即，当时，，解得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故.选择②，由知，当时，由，得，在中，令，则，满足上式，所以，即.选择③，由知，当时，由，得，在中，令，则，满足上式，所以.（2）由（1）知，，所以，所以数列的前项和为，对于任意的，，所以，即.设所以恒成立，即，所以单调递减，所以，于是有，故实数的取值范围为.20．（2022·海南华侨高二期中）设等比数列满足，．(1)求的通项公式；(2)若，记数列的前n项和为，求的取值范围．【解析】(1)设公比为，由，，所以，解得，，所以．(2)由（1）及，所以，所以因为，即单调递增，所以，又，所以，即；考点5：倒序相加法21．（2022·宁夏·吴忠高二期中（理））已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项的和为（

）A．230 B．115 C．110 D．100【答案】B【解析】，①，②两式相加，又因为故，所以所以的前20项的和为故选：B22．（2022·全国·高二课时练习）已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【答案】B【解析】由于函数为奇函数，则，即，所以，所以，所以因此数列的前2022项和为．故选：B.23．（2022·北京市第十二高二阶段练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前𝑛项和的方法探求：若，则（

）A．2018 B．4036 C．2019 D．4038【答案】D【解析】，∵函数∴，令，则，∴，∴.故选：D.24．（2022·江西·南城县第二高二阶段练习（文））德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，且，令,又，两式相加得：，解得，故选：B25．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，数列满足，则（

）A．2022 B．2023 C．4044 D．4046【答案】A【解析】∵，∴．∵，∴．令，则，两式相加得，∴．故选:A26．（2022·全国·高二课时练习）在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列满足，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依题意，记，则，又，两式相加可得，则.故选：B．27．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，数列满足，则（

）A．2018 B．2019 C．4036 D．4038【答案】A【解析】∵，∴．又∵，∴．令，则，两式相加得，∴．故选：A考点6：并项求和28．（2022·全国·高三专题练习）数列满足，前16项和为540，则__．【答案】-2【解析】因为数列满足，当为奇数时，，所以，，，，则，当为偶数时，，所以，，，，，，，故，，，，，，，因为前16项和为540，所以，所以，解得．故答案为：．29．（2022·全国·高三专题练习（文））在等差数列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，则数列{ancosnπ}的前2020项的和为（

）A．1009 B．1010 C．2019 D．2020【答案】D【解析】设的公差为d，则有，解得，∴，设，则，，…，∴数列的前2020项的和．故选：D30．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为()，其前项和为，则_______.【答案】【解析】，∴.故答案为：31．（2022·江苏·高邮市第一高三阶段练习）已知数列满足，，则数列的前2020项的和为（

）A．0 B．1010 C．2020 D．2024【答案】C【解析】由，，令，可得，，两式相加可得，，，两式相加，进行推论归纳可得，，所以数列的前2020项的和为．故选：C.32．（2022·河北唐山·一模）已知数列满足，，记数列的前n项和为.（1）求的值；（2）求的最大值.【解析】（1）由可得当时，

（ⅰ）所以，，…，，因此.（2）当时，

（ⅱ），（ⅰ）式减去（ⅱ）式得，又，于是，可得；当时，；又，则时，；又，时，；因此时，取得最大值，且.考点7：数列奇偶项求和33．（2022·福建·莆田高二期中）已知数列满足(1)记，写出，并求数列的通项公式；(2)求的前20项和．【解析】（1）因为，所以，，，，，又，所以，，当，时，；当，时，，当时，，即，则，，数列是以为首项，为公差的等差数列，故；（2）由（1）可得，，则，所以，记的前项和为，则34．（2022·陕西·西安高二期中）设数列的前项和为，且满足，是公差不为的等差数列，，是与的等比中项．(1)求数列和的通项公式；(2)对任意的正整数，设，求数列的前项和．【解析】（1）在中，令得，，当时，，，即，，数列是首项为，公比为的等比数列，，设的公差为，由题意可得，即，整理得，解得或舍去，．（2）由题意可得，．35．（2022·湖北·武汉市第一高二阶段练习）已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，.(1)求数列和的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，求.【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），∵，，，，∴，∴，，∴，；（2）由（1）知，，∴，∴.36．（2022·辽宁营口·高二期末）设数列的前n项和为，且满足．(1)求数列的通项公式：(2)若，求数列和的前10项的和．【解析】（1）由得:当时，，故，即，当时，，故是以公比为3，首项为3的等比数列，因此.（2）当为偶数时，当为奇数时，，所以数列和的前10项的和：37．（2022·天津市西青区杨柳青第一高二期末）已知为等差数列，为公比大于0的等比数列，且，，，.(1)求和的通项公式；(2)设求数列的前项和.【解析】(1)设公差为，公比为，由可得，即，因为解得.又，故，解得.故(2)因为，故，设中奇数项和为，偶数项和为，则.，则，则，则，即，解得，故38．（2022·广东广州·高二期末