2022年新高考地区名校高三数学一模好题分类汇编 14 数列选择填空（解析版）

专题14数列选择填空

一、单选题

1.(2022•江苏扬州•高三期末)在正项等比数列｛《,｝中，q=g,%%=9,记数列｛4｝的

前〃项积为7“，Tn>9,则〃的最小值为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】

根据给定条件求出数列｛%｝的通项，再计算(，列式解不等式作答.

【详解】

设正项等比数列｛4｝公比为4，由得的=3,于是得屋=2=9,而4>0,

4

解得4=3,

-1+0+,+4(/,-2)(，，

因此，=；X3"T=3"",4=%02a3・・・a〃=3",=3)，由北>9得：^2>9,

从而得：〃“丁)>2,而〃>0,解得“>4，又"eN*,则”而„=5,

所以”的最小值为5.

故选：C

2.(2022•江苏通州•高三期末)函数y=[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，

其中国为不超过实数x的最大整数,例如:[―2.1]=-3,[3.1]=3.已知函数式x)=[log2x],

则犬1)+犬3)+负5)+…十X2i°+1)=()

A.4097B.4107C.5119D.5129

【答案】B

【分析】

根据新函数的定义，确定，⑺的值，然后用分组求和法、错位相减法求和.

【详解】

由题意2'+14*42川_1时，fW=i,zeN*,在⑵+1,2*-1]上奇数共有2：个，

/⑴=0,〃3)=1,

/(1)+/(3)+/(5)+---+/(2I0<)+1)=0+1+2X2+3X22+---+9X28+10,

设7=1+2x2+3x22+…+9x2',则27'=2+2*22+3、23+―+8、28+9、29,

相减得：-T=1+2+22+---+28-9X29=2<>-1-9X29=-1-8X29,

所以T=l+8x2"=4097,

所以/⑴+/（3）+/⑸+…+/（2">+l）=4097+10=4107.

故选:B.

3.（2022•江苏宿迁•高三期末）记国表示不超过实数x的最大整数，记%=［嗝〃］，则

2022

工生的值为（）

/=1

A.5479B.5485C.5475D.5482

【答案】B

【分析】

分别使0Vlog/<l、lWlog/<2等，然后求和即可.

【详解】

由题意可知，当14〃<8时，曰=°；

当8M/<64时，<?„=!；

当64Mw<512时，q=2；

当512M“<4096时，4=3,

2022

所以Z4=7x0+56x1+448x2+1511x3=5485.

1=1

故选：B

4.(2022.江苏海安•高三期末)设数列｛%｝为等比数列，若。2+4+%=2,4+%+为=4,

则数列｛4｝的前6项和为（）

A.18B.16C.9D.7

【答案】C

【分析】

山已知条件求出等比数列｛4｝的首项和公比，再利用等比数列的求和公式可求得结果.

【详解】

“，+%+%=44(1+4+42)=22

设等比数列｛%｝的公比为q,则,…+…/■+力4'解得'7,

q=2

因此，数列｛4｝的前6项和为70-2，）_

-y

1-2

故选：C.

5.（2022•江苏如皋•高三期末）已知数列｛〃〃｝中，。1=1,。2=2,>+小+］+斯+2=1，〃

£N*,则。2022=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【分析】

根据递推式可求出生，%，%，即可归纳出数列｛4,｝是一个周期为3的周期数列，再根据周

期性即可求出的022的值.

【详解】

v«|=1,42=2,〃〃+〃“+1+m+2=I，

%=1—q—见=1—1—2=-2,

%=1一/一%=1-(-2)-2=1,

a5=1—a4—a3=1-1—(—2)=2,.......

由此推理可得数列｛4｝是一个周期为3的周期数列，所以%)22=。3=-2.

故选：A

6.(2022•江苏常州•高三期末)小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一

台价值。元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还

款一次，一年内还清全部贷款(2022年12月1日最后一次还款)，月利率为/■.按复利

计算，则小李每个月应还()

«r(l+r)"_ar(l+r)'2_

A."TTj兀B・"Tjo兀

(l+r)-1(1+r)-1

„tz(l+r)"_c6z(l+r)1"-

C._S------兀D.-------L兀

1111

【答案】A

【分析】

小李的还款x元每月要产生复利，小李的贷款。元每月也要产生复利.这是本题的关键所

在.

【详解】

设每月还x元，按复利计算，则有

xl+(l+r)+(l+r)24------1-(1+r)'0=a(l+r)"

11

ixFi-o-Fr)!xlI

即—L----------x=Q(1+r)

tzr(l+r)H

解之得X=

(1+r)“-1

故选：A

_,）S31

7.（2022•江苏苏州•图三期末）记s“为等差数列｛4｝的前〃项和，若W3=三,则

33+〉

——--=（）

A.—B.-C.—D.-

154163

【答案】C

【分析】

s,1

利用等差数列的前〃项和公式，将3=£进行化简，可得d=2q,然后利用通项公

式将』一展开，并将"=2q代入，化简可得答案.

生+仆

【详解】

S3_3q+3d_a｝+d_1

S34-S63。］+3d+6q+15d3%+6d5

d-2al

a_4+2d_q+2d_4+4tz,_5

贝ij:3====-~,

a3+a6q+2d+q+5d2a1+7d2q+14q16

故选：C

8.（2022•广东潮州•高三期末）等差数列｛6｝的前〃项和S“，若几=19，则为+的的值

为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

根据S、9=19（。；匍）=19（%；的）,即可得出答案.

【详解】

解：因为几=.（a；/）=I%”;。”）=]9,

所以心+的=2.

故选：B.

9.（2022•广东清远•高三期末）“中国剩余定理''又称"孙子定理”，最早可见于中国南北

朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：今有

物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有一个相关

的问题：将1到2021这2021个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的

顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为（）

A.58B.59C.60D.61

【答案】A

【分析】

根据题意先得到数列的首项及公差，再建立不等式即可求解.

【详解】

因为山1到2021这2021个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序

所构成的数列是一个首项为23,公差为35的等差数列，所以该数列的通项公式为

«„=23+35（n-l）=35n-12.因为/=35"-12=2021,所以“458.即该数列的项数

为58.

故选：A

10.（2022・广东•铁一中学高三期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来

华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数''问题的解法传至欧洲.1874年英国数学

家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方

称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题，现将1到1009这1009个数中，

能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{4},则该数列

共有（）

A.100项B.101项C.102项D.103项

【答案】B

【分析】

先求出数列的通项公式，然后根据通项公式进行求解项数.

【详解】

因为能被2除余1且被5除余1的数就能被10整除余1,

所以按从小到大的顺序排成一列可得q=10"-9,

由q=10〃-9W1009,得〃4101.8,故此数列的项数为101.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式，熟记公式是求解的关键，属于容易题，侧重考查数

学运算的核心素养.

11.（2022•湖南常德.高三期末）在流行病学中，基本传染数R。是指在没有外力介入，

同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.R。一般由疾病的感

染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.对于

而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径.假设某

种传染病的基本传染数R。=3,平均感染周期为7天（初始感染者传染R。个人为第一

轮传染，经过一个周期后这R.个人每人再传染R。个人为第二轮传染……）那么感染人

数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：3，=729,45=1024）

（）

A.35B.42C.49D.56

【答案】B

【分析】

根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算〃轮传染后感染的总人数，得到指数

方程，求得近似解，然后可得需要的天数.

【详解】

感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染，

则每轮新增感染人数为凡"，

1-R”+1

经过〃轮传染，总共感染人数为：1+飞+&2+~+氏）〃==晨

1一勺）

1_3/,+1

vRo=3,・•・当感染人数增加到1000人时,------1000,化简得3"=667,

山3$=243,3$=729,故得〃。6,又二•平均感染周期为7天,

所以感染人数山1个初始感染者增加到1000人大约需要6x7=42天,

故选：B

【点睛】

等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌

握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前〃项和

公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

12.（2022・湖南郴州•高三期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有

“数学王子”的称号.设xeR,用旧表示不超过x的最大整数，则〃x）=[x]称为高斯函

数.已知数列｛%｝满足%=2,且+一叫=2〃+1,若勿=[lg%]数列也｝的前n

项和为。，则4）21=（）

A.4950B.4953C.4956D.4959

【答案】C

【分析】

由题利用累加法可得见=〃，进而可得2=[lg〃],分类讨论2的取值，即求.

【详解】

由（〃+1）4+1=2〃+1,%=2可得q=1,

2

根据累加法可得na„=na„-（nT）%+-（n-2）*+---+2a2-«,+a,=n

所以q=〃，

故〃=[怆〃],当1・〃忘9时，”=0；当104〃499时，"=1；当1004〃4999时，氏=2；

当10004〃42021时，4=3,

因止匕"mi=90+900x2+1022x3=4956.

故选：C.

13.（2022•湖北武昌•高三期末）已知等差数列｛4｝,S“是数列｛4｝的前〃项和，对任意

的“eN*,均有S64s“成立，则詈不可能的值为（）

%

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】

由已知分析可得q<0,公差”>（）,讨论当4=0时,当4<°，%>0，时,q与d的关

系，计算即求得乎的取值范围，得出结果.

%

【详解】

等差数列｛q｝,对任意的〃eN*,均有S6«S,,成立，即&是等差数列｛q｝的前〃项和中

的最小值，必有q<o,公差4>o,

当％=o,此时醺=品，a、4是等差数列卜力的前〃项和中的最小值，此时

4=4+54=0,即q=_5&,则孤=，+：/二?=4,

a7q+6da

当4<。,%>。，此时臬是等差数列｛〃〃｝的前〃项和中的最小值，此时。6=4+5d<0,

〃7=4+6d>0,B|J-6<—<-5,则％•-%+94=a——=1+—--，则有孤>4,

d%%+6d幺+6色+6%

dd

综合可得：孤W4分析选项可得：BCD符合题意;

%

故选：A

14.（2022.湖北.黄石市有色第一中学高三期末）已知复数数列｛q｝满足q=2i,

4+1=i4+i+l，〃eN*,（i为虚数单位），则4。=（）

A.2iB.—2iC.1+iD.—1+i

【答案】D

【分析】

推导出数列｛q-i｝是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得”的值.

【详解】

由已知可得a,,M-i=i&-i）,因此，数列｛2-i｝是以4-i=i为首项，以i为公比的等

比数列，

9

所以，a10-i=i-i=i'°=-l,故即,=-l+i.

故选：D.

15.（2022・湖北•高三期末）已知数列｛%｝满足：LT=（q+1）则下列

。向««

说法正确的是（）

A.若4>1,则数列｛4｝是单调递减数列B.若0<q<1,则数列｛%｝是单调递增

数列

C.%=2时,a“+i+--->2+4〃D.q=工时,”“+i+---<2+4n

«„+i2a„+l

【答案】C

【分析】

将式子进行变形，构造等差数列，之后构造新函数，进而得到结果.

【详解】

由（乙+「1）-=（%+1）[〃eN，）得=*+2%+1,

4+14,'%+ian

即（为X+—）-（^+―）=4,

%a〃

所以数列口+^｝是以4为公差的等差数列，

函数/（X）=X+L

X

A项，an>\,an+l>1,f（x）在（1,E）上是单调递增函数，即数列｛%｝是单调递增数列,

B项，0<勺<1,Ax）在（0,1）上是单调递减函数，即数列｛4｝是单调递减数歹力

15

C项,“产2时，可知4+[=2,ClH---=—F4(〃—1)=4〃---，

n4,22

a+-----=4(〃+1)——=4〃+—>2+4〃，

tl+i”,向22

D项，4=2时，«|+—=-,由C知，«„+)+——>2+4n,

2424+1

故选：C.

16.（2022•湖北•恩施土家族苗族高中高三期末）已知数列｛如｝的前几项和为S“且2圆

一&=2,记数列〈7一娟——的前”项和为4,若对于任意〃WN*,不等式

恒成立，则实数k的取值范围为（）

A.4,+<»）B.（：,+8）

33

C.[p+<»）D.（^,+co）

【答案】A

【分析】

先求得知,然后利用裂项求和法求得r,,进而求得々的取值范围.

【详解】

依题意2%一5“=2,

当〃=1时，q=2,

2a-S=2

。两式相减并化简得4=2%_,

20%—S,I=2,〃N2

所以数列｛%｝是首项为2,公比为2的等比数列，«„=2".

(q+1)(4川+1)-(2(,+l)(2,,tl+l)-F+T-2向+1'

11,111।

''n-21+1-22+1+22+1-23+1+,"+2n+1-2"+|+1

---1-------1--------1-

-32n+l+13'

所以发的取值范围是g,+8).

故选：A

17.(2022•山东淄博•高三期末)已知等差数列包｝中，％=子，设函数

8

/(x)=(4cos2、-2)sinx+cos2x+2,记％=/(%),则数歹(!｛为｝的前9项不

A.0B.10C.16D.18

【答案】D

【分析】

分析可知函数“X)的图象关于点(家,2j对称，利用等差中项的性质结合正弦型函数的

对称性质可求得结果.

【详解】

1.•/(x)=4cos2--2sinx+cos2x+2=2cosxsinx+cos2x+2=sin2x+cos2x+2

[2

=V2sin|2x+—|4-2,

由2x+?=)U(%wZ),可得x=g—处eZ),当无=1时，x=F，

故函数〃x)的图象关于点(弓,2)对称，

由等差中项的性质可得4+“9=4+”8=a3+%=4+%=2%,

所以，数列｛为｝的前9项和为〃4)+/(%)+…+/(%)=4*4+/(%)=18.

故选：D.

18.(2022•山东青岛•高三期末)已知S,是等差数列｛4｝的前"项和,｛4｝的公差

31

d>0,生=5，%是为与&的等比中项，设4=②7荷，则也｝的前2022项和为()

20222021_40444042

A.-------B.------C.-------D.-------

4045404340454043

【答案】C

【分析】

由等差数列性质得§5=5%,进而根据题意得d=2q,再结合%=；3得4=114=1,故

%=",〃,=丁二-不二，再根据裂项求和得也｝的前〃项和［广兴，最后求

解低｝的前2022项和即可得答案.

【详解】

解：由等差数列的前〃项和公式得&=5（囚广）=5%,

因为《是4与$5的等比中项,所以痴=4$5，即4；=5al4,

3

因为4>0,外=不，所以%>0,

所以%=54=q+2d,即d=2q,

31

因为%=J="i+d=3q,川T以q=31d=1

所「匚以卜।〃“=51+5/_1）="51=（2H—一1

__i211

所以“二伽+1）%=伽-1）伽+）=不T—五TT，

所以低｝的前〃项和

=b.+4~1---\-b=1---1------1---1------------=1-------=-----

'2"n3352〃-12”+12/7+12/1+1

所以也｝的前2022项和为友2=27（V2（7X07174044

4045

故选：C

19.（2022•山东淄博♦高三期末）己知等比数列｛4｝的前〃项和为S“，若S3=-7,$6=-63,

则公比g=（）

A.-2B.2C.--D.g

22

【答案】B

【分析】

利用等比数列｛q｝的前〃项和公式列出方程组，能求出首项.

【详解】

由题得q工1,

••1等比数列｛七｝的前〃项和为S“，S3=-7,S6=-63,

S?=^^=-7

1—（7

•.一,,解得4=一1,9=2.

56=^^=-63

I1-4

故选：B

4

20.（2022•河北深州市中学高三期末）已知正项等比数列｛4｝的前“项和为S"，包=々,

。”+1

且数列他J的前八项和为。，若对于一切正整数〃都有S“<7；,则数列｛q｝的公比4的

取值范围为（）

A.（1,田）B.（0,1）C.（2,+»）D.（0,4）

【答案】B

【分析】

本题首先可设q=l,通过S“=7,排除这种情况，再然后设qwl,通过等比数列的求和

公式即可得出S,,=）、T„=a'^~q）,最后根据4>0、4>0、7；>S“即可得

1-4/（1-4）

出结果.

【详解】

因为等比数列｛%｝是正项等比数列，所以夕>0,«,>0,

4

若q=l,则q=%,儿=巴七=%,Sn=Ttl,不满足题意；

%

若3,则一°一力，“久=4,7_扣一力，（1-0，

T

"q%q"~\-q

丁_i［）_%（1-夕"）（1-/）_4（iW）（i+q+/）

『尸q"q）=?

因为q>0,q>0,所以若>>S,,则j">0,q"<1,0<"l,

故数列｛%｝的公比9的取值范围为（0,1），

故选:B.

二、多选题

,、1+1

21.（2022・江苏常州•高三期末）己知数列也｝中，q=2,“向=匚上，使勺=的〃

］一〃"2

可以是（）

A.2019B.2021C.2022D.2023

【答案】AD

【分析】

求出数列的前几项，从而可判断出数列｛《,｝为周期数列，进而可求出答案.

【详解】

1+凡

因为4=2,an+\=*----,

所以“2=-3,4=—；，%=；，%=2,%=_3，%=一；，...

所以数列｛q｝为周期数列，且T=4，

所以出。19=%=，«2021=«|=2,%022=a2=-3,4023=%=_；-

故选：AD.

9X2-\2X+4,X<\

22.(2022•广东东莞♦高三期末)已知函数/(x)=41,、，则下列结论正确

-7(x-l),x>l

的是()

A.=B.Bxe(0,+<»),/(%)>—

C.关于x的方程〃x)=4i(〃eN")的所有根之和为〃?+；D.关于x的方程

/(x)=4~(〃eN*)的所有根之积小于(〃!)2

【答案】ACD

【分析】

利用函数的表达式依次判断.

【详解】

"1)=1,==《/("—2)=L=击/(1)=击，A正确；

当xe(O,l]时，仆)_9(1产不叫W0,关于f(x)<j

当同时,〃x)=；“x-l)=L=*f(

(〃=[x],[x]表示不超过X的整数)

所以B错，

21

/(6=4"的根为为"2，%1+x2=2x.1,dt=XjX,=-

/（元）=4।的根为七，%4，玉+%4=2x1|+l）,4=435=（玉+1）（工2+1）=4+g

LLLLLLLL

〃x）=4j的根为，3+a=2x]|+〃-1}4,=%+2〃-

所有根的和为：2与+；〃（〃-1）=n2+1n,C正确；

5「713（5Al2

由4=d“T+2〃-不，累加可得4=4+—+—+L+12n--i=n~--n<n~

所以所有根之积小于「x2?x32xLxn2=（n!）2,D正确.

故选:ACD.

23.（2022・广东罗湖•高三期末）己知d为等差数列｛。“｝的公差，5.为其前n项和，若｛%｝

为递减数列，则下列结论正确的为（）

B.数列｛1｝是等差数列

A.数列⑸｝为递减数列

C.邑，$6，$9依次成等差数列D.若15>0,岳6<。，则$8>$9

【答案】BD

【分析】

根据题意可知等差数列公差d<0,因此可例说明A,C的正误，利用等差数列前n和公

式写出'的表达式，判断B正确，再根据等差数列的性质，由&>0,&<0可推出

n

%>0,%<0,从而说明D正确.

【详解】

山题意可知数列｛4｝是等差数列，且递减,

则“<0,

不妨举例如:4,3,2,1,0,—1,-2,—3,…

则百=4,£=7,S3=9,这三项不构成递减数列，故A错;

而$3=9,S„=9,怎=0，这三项不构成等差数列，说明C错;

,n（n-l）

na---dd,d、

对于B,&}+是关于n的一次函数,

-n—=5〃+（《一5）

n

因此｛9｝是等差数列，故B正确;

对于D,九=15”如）=]5「>0,则小>。，

九=呸产1=8(%+%)<(),则为<_/<o,

故S9=S8+a9<Ss,故D正确，

故选：BD.

a

24.(2022•广东佛山,高三期末)数列｛斯｝中，ar=0,a2=l,an+2-1(n+i+

斯)5€可*).则下列结论中正确的是()

A.0<an<lB.｛|an+i-an|｝是等比数列

C(Qg<。10VQgD.Q9V

【答案】ABD

【分析】

由2(。+2-«n+1)=-(an+1-an),得到｛a^+i-an｝是等比数列，进而得到%J+I-=

(-i)71-1.再利用累加法得到%=|[1-(一3”一1,然后逐项判断.

【详解】

因为数列中，的=0,。2=l,an+2=|(an+1+an)(n6N*),

所以2(即+2—Gn+l)=—(an+l-an)>

则｛即+1—即｝是以1为首项，以一:为公比的等比数列，

所以*1一an=(一3,

/-jxn-1

由累加法得%―aI=(-i)°+(-i)1+,,,+(一丁2=r~~li=I[1_(_l)n7

2L

所以斯=|[1-(-3],

当〃为奇数时，。"=|[1一0"7]是递增数列，所以即2由=0,

当n为偶数时，an='是递减数列，所以anWa2=1,

所以0Sa.S1,｛|an+i-即|｝是以1为首项，以*为公比的等比数列，

又。8=|1+(3，。10=|1+，。9=|1—g)，所以。9<^10<a8>

故选：ABD

25.(2022・湖南娄底•高三期末)已知数列｛4,｝满足34+32%+1+3"4,=〃(〃€叶)，

5=1。。"。。〃，S,,为数列包｝的前〃项和，则(),

1U&3Un1U&3""+2

1,A?=1

B.S“是关于〃的单调递增数列

C.S,可以取到找j的任意一个值

D.若S,,<2对一切正整数〃都成立，则22金

4

【答案】BD

【分析】

令〃=1时，可得利用S”与a”的关系，可求为=",根据裂项求和可得S“，从

而可判断选项BCD.

【详解】

当〃=1时，3q=1,即4=g，

当”22时，3,,a„=M-(/7-l)=l,所以q=J,

当〃=1时，a,=1.也满足，所以。“="，所以A不正确：

.1111nl

+

log3a„.log3a„+2logflJ.log^ir«(«+2)〃+2

故S“=；

I」+_L」+_L」+_L/+L+J___L+1__L

3243546n-1n+1nn+2

q,

212H+ln+2)

因为S“=：h+4二—一二］关于〃为单调递增，所以B正确；

2V2〃+1n+2J

所以g4S“<；,但〃只能取正整数，所以S.不可以取到的任意一个值，所以C

不正确；

3

若s…对一切正整数〃都成立，则人“所以D正确.

故选：BD

26.(2022•山东青岛•高三期末)在数列｛q｝中，若a；-“3=P，("*2,〃eN*,p为常

数)，则称｛《,｝为“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对”等方差数列”的判断正确的是

()

A.｛(一)"｝是等方差数列

B.若数列｛q｝既是等方差数列，又是等差数列，该数列必为常数列

C.正项等方差数列｛4｝的首项4=1,且4，1，出是等比数列，则a“=2〃7

D.若等方差数列｛《,｝的首项为2,公方差为2,若将知出，％，…4。这种顺序排列的

10个数作为某种密码，则可以表示512种不同密码

【答案】ABD

【分析】

选项A.由题意,2=1可判断；选项B.山题意有d(%+4i)=〃，分"=0和dwO两利।

情况可判断;选项C.当P=0时可判断;选项D.由题意4=2,a“=±j2〃+2(〃22),

从而可判断.

【详解】

选项人.若4=(-1)",则见2=1,则。；-吮=0,所以｛(-1)”｝是等方差数列，故正确.

选项B.由数列｛%｝是等差数列，则

由数列应｝既是等方差数列厕=P，则(%—%)(%+%)=0

即“a,,+a,i)=p

当d=O时，数列｛叫为常数列

当dwO时，a“+a：,结合4-a,i=d,可得。“=：+若，所以数列｛%｝为常数

列

故数列｛%｝为常数列，所以选项B正确.

选项C.由题意a：+，则%=j+p,%=Jl+4p

由4,七,％等比数列，则,2=4%，即l+p=J1+4/?,解得。=2,或。=0

当p=0时，«„=1,满足题意，故选项C不正确.

选项D.数列｛凡｝是首项为2,公方差为2的等方差数列，则。：=4+2(〃-1)=2〃+2

由题意4=2,an=土j2〃+2(〃>2)

所以七9,L%中的每一项,可能取正或负,有2种取法.

所以…%有29=512种不同的排法结果；所以选项D正确

故选：ABD

3

数

=函y

27.(2022・山东日照•高三期末)数列｛《,｝的各项均是正数，2-

在点,，$；）处的切线过点[%+2-2。用+。；），则下列正确的是（）

A.。3+〃4=18

B.数列｛。“+。向｝是等比数列

C.数列｛。,用一3可｝是等比数列

D.%=；・3"T

【答案】ABD

【分析】

求出函数y=gX3在点（%,$：）处的切线方程，可得出%+2=2”向+3%,利用等比数列

的定义可判断AB选项；计算得出生-3q=0,可判断c选项；推导出数列也,｝为等比

数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的通项公式可判断D选项.

【详解】

对函数y=求导得V=/,故函数y在点（4处的切线方程为

I2

=屋（工一。〃），即

72

由已知可得§a；=（4+2-2%）—§,

对任意的kwN*,〃“＞。，则/+2-24川=3%,即-=21+3%,

所以，4乩+4，』=3（犯+%）=3,

%+1+%%”+%

所以，数歹叫。/,+“的｝是等比数列，且首项为4+4=2,公比为3,B对；

生+%=（4+%），32=2x9=18,A对；

.・4+2-34向=一（。山一34）且%-3q=0,故数列｛。向-3叫不是等比数列，C错；

由上可知，因为%-34=0,且a,.-3a“+|=-（a,+|-3a“），Ijji]a„+l-3tz„=0,

即％=3a.，所以，誓=3且詈=3,故数列｛。“｝是等比数列，且首项为T，公比为3,

因此，%=（3"T,D对.

故选：ABD.

28.（2022•山东德州•高三期末）定义在区间（-8,0）U（0,y）上的函数“X）,如果对于

任意给定的等比数列｛《,｝,｛7（q,）｝仍是等比数列，则称“X）为“保等比数列函数”.下列

函数是“保等比数列函数''的为（）

A./（x）=x3B.f（x）=2xC./（x）=|x|D./（x）=ln|x|

【答案】AC

【分析】

直接利用题目中“保等比数列函数''的性质，代入四个选项一一验证即可.

【详解】

设等比数列｛%｝的公比为q.

对于A,则当应=驾==",故A是“保等比数列函数”；

/（«„）片I乳）

对于B,则今f（a兴）=工2""二"=2『「"工常数，故B不是“保等比数列函数”;

/（«„）2'"

对于c,则除L卧图第

故C是“保等比数列函数”;

什干nmuf（―）__-1%V_ln%|+ln@=1+需=常数，故D不是“保等

对于D，M兀厂而「MTFT

比数列函数

故选：AC.

29.（2022•河北保定•高三期末）对于正整数〃,/（〃）是小于或等于”的正整数中与〃互质

的数的数目.函数0（〃）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如/（9）=6，贝晨）

7

A.log7«9（7）=6+log76

B.数列加（3"）｝为等比数列

C.数列例2〃）｝单调递增

D.数列［京的前〃项和恒小于4

【答案】ABD

【分析】

根据欧拉函数的定义结合对数的运算判断A,由欧拉函数定义结合等比数的通项公式判

断B,根据欧拉函数求出以2〃）判断C,由欧拉函数求出夕（2"）=2"1再由数列的错位

相减法求和可判断D.

【详解】

77

因为7为质数，所以与7,不互质的数为7,14,21,77,共有人=7,个,

7

所以log7*（77）=log7（77-76）=6+log76,故A正确;

因为与3"互质的数为1,2,4,5,7,8,10,11,3"-2,3"-1,共有（3-1）3-=23一

个，所以Q（3"）=2-3"T,则数列加（3"）｝为等比数列，故B正确：

因为必2）=1,奴4）=2,06）=2,所以数列加（2"）｝不是单调递增数列，故C错误:

〃i〃2/〃/

因为夕（叫=2f所以M两？父2身.

设、人工c=S\父i51+2合+…+升n则/1=呼1+»2+…+n三-\+西n，

!__1

1c1121n7?n+,拉，〃+2

所以5邑=5+齐+不+…+^一尸=-^1-一尹=1一尸

~2

77+2〃+2

所以S〃=2-f从而数列的前〃项和为2s“=4-<4,故D」E确.

故选：ABD

三、双空题

30.（2022.广东东莞.高三期末）龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图

形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直

角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角形在前一代曲线

的左右两边交替出现）.例如第一代龙曲线（图3）是以A4为斜边画出等腰直角三角形

的直角边AA，4人所得的折线图，图4、图5依次为第二代、第三代龙曲线（虚线即

为前一代龙曲线）.A，4,4为第一代龙曲线的顶点，设第"代龙曲线的顶点数为4，

由图可知=3,』=5,仆=9,则4=:数列If--2--"卜'的前〃项和Sn=.

【分析】

根据题意并观察图形即可得到知的值；对已知的数据进行分析，可得见=2"+1,进而

2"1