概率论与数理统计：第二章 随机变量及其分布

第二章随机变量及其分布§2.1随机变量与分布函数§2.2离散型随机变量的分布§2.3连续性随机变量的分布§2.4随机变量函数的分布§2.1随机变量与分布函数

在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.掷一颗骰子面上出现的点数七月份福州的最高温度灯泡的使用寿命在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以采用“数量化”的方法，使实验结果与数值相对应。射手射击击中目标.抛硬币实验这种对应关系在数学上表现为一种实值函数.w.X(w)R量随机变对于试验的每一个样本点w,都对应着一个实数X(w),而X(w)是随着实验结果不同而变化的一个变量。

随机变量的定义随机变量离散型随机变量非离散型随机变量有限个或可列个可能值全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.连续型随机变量

随机变量的分类

随机变量的分布函数———|——>x设

X

是一个随机变量，称为X

的分布函数.F(x)也可记为FX(x).如果将X

看作数轴上随机点的坐标，则分布函数F(x)的值就表示X落在区间的概率.

分布函数的性质3.右连续:F(x+0)=F(x)已知X的分布函数为

F(x)，下列各事件的概率用F(x)

如何表示？1-F(x)F(x2)-F(x1)P(X>x)P(x1<X<=x2)P(X<x)P(X=x)P(x1<X<x2)P(x1<=X<=x2)F(x)-F(x-0)F(x-0)F(x2-0)-F(x1)F(x2)-F(x1-0)例1：设随机变量X的分布函数为求常数a,b及概率.§2.2离散型随机变量的分布

定义1：设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，pk是X取值

xk的概率，称

k=1,2,……

为离散型随机变量X的概率函数或分布律，也称概率分布.

离散型随机变量的概率分布分布列Xx1 x2 … xk …Pp1 p2 … pk …其中(k=1,2,…)满足如下性质：

k=1,2,…（1）（2）例1XP(1)求常数a;(2)

离散型随机变量的分布函数

离散型随机变量的分布函数特点1.它的图形是一条右连续的阶梯型曲线2.在随机变量的每一个可能取值点

x=xk(k=1,2,…)处,该图形都有一个跳跃，其跳跃值为pk

几种常见的离散型随机变量的分布两点分布二项分布泊松分布几何分布超几何分布

两点分布例2.一批产品的废品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X描述废品出现的情况(写出X的分布律)。若随机变量X的概率分布为：

P(X=1)=p,0<p<1 P(X=0)=1-p=q则称X服从参数为p的两点(或0-1)分布.例3.设射手每一次击中目标的概率为p，现连续射击n次，求击中次数X

的概率分布.

二项分布其中0<p<1,称X服从参数为n和p的二项分布，记作X~B(n,p)若随机变量X的概率分布为

对于固定的n及p，当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.

泊松分布若随机变量X的概率分布为其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，简记为泊松定理设随机变量Xn(n=1,2,..)服从二项分布Xn~B(n,pn)，又设是一个常数，则有

定理的条件意味着当

n很大时，pn

必定很小.因此，泊松定理表明，当n

很大，p

很小时有以下近似式：其中例1.一批产品的废品率为2%，从中任意抽取100个，求其中恰好有一个废品的概率。例2.若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率为0.002,现有2000个这类人参加人寿保险。参加者交纳24元保险金，而死亡时保险公司付给其家属5000元赔偿费。计算“保险公司亏本”和“保险公司盈利不少于10000元”的概率。某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是0.4，求所需射击发数X

的概率分布.

几何分布

在独立试验序列中,若一次伯努利试验中某事件A发生的概率为p,只要事件A不发生,试验就不断地重复下去，直到事件A发生，试验才停止。设随机变量X为直到事件A发生为止所需的试验次数,则X的概率分布为则称随机变量X服从以p为参数的几何分布，记作 。

超几何分布设N个元素分为两类，有M个属于第一类，N-M个属于第二类。现在从中不重复抽取n个，其中包含的第一类元素的个数X的分布律为

其中l=min{M,n},则称随机变量X服从参数为的超几何分布，记作

§2.3连续性随机变量的分布

对于随机变量X,如果存在非负函数f(x)

,使得对任意的实数x,都有则称X为连续型随机变量,称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度或分布密度。

概率密度

概率密度f(x)的性质

f(x)xoof(x)xab密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xo例1:某型号电子管的寿命X(小时）的概率密度为求系数k及分布函数F(x).2.一电子设备内配有3个这样的电子管，求使用150小时都不需要更换电子管的概率

常见的连续型随机变量的分布

均匀分布指数分布正态分布

均匀分布例3：设随机变量X~U[1,6],求二次方程没有实根的概率。

指数分布指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.若随机变量X具有概率密度则称X服从以为参数的指数分布,简记为X~E().例1：某电子元件的使用寿命X是一个连续型随机变量，其概率密度为(1)确定常数C;(2)寿命超过100小时的概率；

(3)已知该元件已正常使用200小时，求它至少还能正常使用100小时的概率。

指数分布的无记忆特性若随机变量X，对任意的S>0,T>0满足

P(X>S+T|X>S)=P(X>T)则称X的分布具有无记忆性.

“永远年轻”！例：某机场在任何长为t的时间内飞机来到的数目X服从参数为λt的泊松分布，求跑道的“等待时间”即相继两架飞机到来的时间间隔Y的概率分布。

X~P(λt),Y~?重点在于理解：相继两架飞机到来的时间间隔超过y的事件{Y>y}

等价于在y时间间隔内飞机达到的数目为0的事件进而将P(Y>y)转化成P(X=0)若r.vX的概率密度为记作其中和都是常数，任意，>0，则称X服从参数为和的正态分布.

正态分布

正态分布的图形特点

正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线.特点是“两头小，中间大，左右对称”.

决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.关于正态分布的密度函数的相关性质

1.对称性关于X= 2.最大值在X=，max= 3.拐点，在X= 4.渐近线以X轴为渐进线

5.曲线的变化规律

设X~,X的分布函数是

标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用

和

表示：标准正态分布的重要性在于，任何一个正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.

正态分布与标准正态分布的关系

正态分布的概率计算X>0时，查表计算；2.若1.若X～N(0,1)例1例2

例.

公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X～N(170,36),问车门高度应如何确定?

分位点X~N(0,1),X关于α=0.05的上侧分位点是？X~N(0,1),X关于α=0.05的双侧分位点是？X-2

-1

0

1

2 3Pk0.1 0.15 0.3 0.2 0.1 0.15例1已知X的分布列为a.求Y=2X-1的分布列；b.求Z=X2的分布列

离散型随机变量函数的分布§2.4随机变量函数的分布如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.一般，若X是离散型r.v，X的概率函数为则Y=g(X)的分布列为Xg(x1)

g(x2) … g(xn)

Pkp1 p2 … pn Xx1 x2 … xn Pkp1 p2 … pn

连续型随机变量函数的分布例2设X的密度函数为求Y=2X-1的概率密度.

从分布函数定义出发，通过等概率事件的转化，建立随机变量X与它的函数Y的分布函数之间的关