3.3.2抛物线的简单几何性质（原卷版）

3.：抛物线的几何性质【考点梳理】考点一：抛物线的简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点坐标Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)顶点坐标O(0,0)离心率e＝1通径长2p考点二：直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．考点三：直线和抛物线1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.2．抛物线的焦点弦过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝x1＋x2＋p；③eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF)))＋eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)))＝eq\f(2,p).重难点技巧：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.【题型归纳】题型一：抛物线的简单性质（顶点、焦点、范围）1．（2021·江苏·高二专题）下列关于抛物线的图象描述正确的是（

）A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为2．（2022·江苏·高二专题练习）已知为抛物线的焦点，为上任意一点，且点到点距离的最小值为．若直线过交于，两点，且，则线段中点的横坐标为（

）A．2 B．3 C．4 D．63．（2021·江苏·高二专题练习）抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是A． B． C． D．题型二：抛物线的对称性4．（2023·高二课时练习）已知圆与抛物线相交于M，N，且，则（

）A． B．2 C． D．45．（2023秋·高二课时练习）是抛物线上的两点，，且的面积为，则（

）A． B． C． D．6．（2020秋·江苏南通·高二如皋市第一中学校考阶段练习）已知为抛物线的焦点，过作垂直轴的直线交抛物线于、两点，以为直径的圆交轴于、两点，且，则抛物线方程为（

）A． B． C． D．题型三：抛物线的弦长问题7．（2022·江苏·高二专题练习）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（）A．2 B． C． D．48．（2023·高二课时练习）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若点是线段AB的中点，则直线的斜率为（

）A．4 B．2 C．1 D．9．（2022·江苏·高二专题练习）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为（

）A．32 B．16 C．24 D．8题型四：抛物线的焦点弦性质问题10．（2023·高二课时练习）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（

）A． B．4 C． D．211．（2022·江苏·高二专题练习）已知点为拋物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（

）A．32 B．48 C．64 D．7212．（2023春·江苏南京·高二南京市秦淮中学校考阶段练习）过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，若，则（

）A．或 B．或 C． D．题型五：抛物线中的参数范围13．（2023·高二课时练习）已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，若在轴负半轴上存在一点，使得为锐角，则的取值范围为（

）A． B． C． D．14．（2022·江苏·高二假期作业）已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（

）A．2 B．3 C． D．15．（2021·江苏·高二专题练习）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线，动点M在C上运动，记点M到直线l与l′的距离分别为d1，d2，O为坐标原点，则当d1+d2最小时，cos∠MFO＝（）A． B． C． D．题型六：抛物线的定值、定点问题16．（2023春·江苏泰州·高二靖江高级中学校）已知抛物线C：的焦点为F，斜率为1的直线l经过F，且与抛物线C交于A，B两点，．(1)求抛物线C的方程；(2)过抛物线C上一点作两条互相垂直的直线与抛物线C相交于两点（异于点P），证明：直线恒过定点，并求出该定点坐标．17．（2023·江苏·高二专题练习）设抛物线的准线为l，A、B为抛物线上两动点，于，定点使有最小值．(1)求抛物线的方程；(2)当（且）时，是否存在一定点T满足为定值？若存在，求出T的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．18．（2022秋·江苏徐州·高二统考期中）已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切．(1)求动圆的圆心所在轨迹的方程；(2)已知点是轨迹上一点，点是轨迹上不同的两点（点均不与点重合），设直线的斜率分别为，且满足，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．【双基达标】单选题19．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于，两点，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．420．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线，P为C上一点，，，当最小时，点P到坐标原点的距离为（

）A． B． C． D．821．（2022·江苏·高二期末）已知抛物线：的焦点为，过点作y轴的垂线交抛物线C于点A，且满足，则的值为（

）A．4 B．1 C．2 D．822．（2022·江苏·高二专题练习）已知抛物线：的焦点为F，Q为上一点，M为的准线上一点且为坐标原点，P在x轴上，且在点F的右侧，，，，则准线的方程为（

）A． B． C． D．23．（2022·江苏·高二假期作业）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则（

）A． B．2 C． D．24．（2022·江苏·高二专题练习）过点的直线与抛物线：交于，两点，且与E的准线交于点C，点F是E的焦点，若的面积是的面积的2倍，则（

）A． B． C．10 D．1725．（2022·江苏·高二专题练习）抛物线C：的焦点为F，准线l交x轴于点，过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（

）A．B．C．直线AQ与BQ的斜率之和为0D．准线l上存在点M，若为等边三角形，可得直线AB的斜率为26．（2023秋·高二课时练习）已知直线与抛物线交于两点，.(1)求；(2)设抛物线的焦点为，过点且与垂直的直线与抛物线交于，求四边形的面积.27．（2023春·江苏盐城·高二校考期中）已知点在抛物线：上.(1)求抛物线C的准线方程；(2)设直线与C交于A，B两点，O为坐标原点，且，求面积的最小值.【高分突破】一、单选题28．（2023·高二课时练习）已知曲线C：y2＝2px（p＞0），过它的焦点F作直线交曲线C于M、N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P，可证明是一个定值m，则m＝（）A． B．1 C．2 D．29．（2021·高二单元测试）设抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线交抛物线C于A，B两点，若、分别垂直准线于、，四边形的周长为40，则（

）A． B．或 C． D．30．（2022·江苏·高二专题练习）是抛物线C：上一定点，A，B是C上异于P的两点，直线PA，PB的斜率，满足为常数，，且直线AB的斜率存在，则直线AB过定点（）A． B．C． D．31．（2022·江苏·高二专题练习）已知点是抛物线：（）上的动点，若的最小值为1，则抛物线的准线方程为（

）A． B． C． D．二、多选题32．（2023春·江苏南京·高二统考期末）已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（

）A．抛物线的准线方程为B．若，则的面积为C．若直线过焦点，且，则到直线的距离为D．若，则33．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，点，下列结论正确的是（

）A．的最小值为2 B．抛物线关于轴对称C．的最小值为4 D．过点且与抛物线有一个公共点的直线有且只有一条34．（2022秋·高二单元测试）设点为抛物线：的焦点，过点斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），直线交抛物线的准线于点，若，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．的面积为（为坐标原点）35．（2022秋·江苏泰州·高二泰州中学校考期末）已知抛物线的焦点为，为上一动点，点，则（

）A．当时，B．当时，在点处的切线方程为C．的最小值为D．的最大值为36．（2022·江苏·高二专题练习）已知抛物线的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于，两点，点P在l上的射影为，则（

）A．若，则B．以为直径的圆与准线l相切C．设，则D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条37．（2023秋·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）已知为坐标原点，抛物线的方程为的焦点为，直线与交于两点，且的中点到轴的距离为2，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为6B．的焦点坐标为C．若，则直线的方程为D．若,则面积的最小值为三、填空题38．（2023春·江苏扬州·高二江苏省江都中学校考开学考试）已知点F为抛物线的焦点，，点P为抛物线上一动点，则的最小值为．39．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线上．若，则当取得最大值时，．40．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）已知抛物线的焦点F与双曲线的右焦点重合，与的公共点为M，N，且，则的离心率是．41．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是．四、解答题42．（2023春·江苏南通·高二期末）抛物线的焦点，过C的焦点F斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，的面积为(1)求抛物线C的方程；(2)若P为C上位于第一象限的任一点，直线l与C相切于点P，连接PF并延长交C于点M，过P点作l的垂线交C于另一点N，求面积S的最小值．43．（2023秋·江苏南京·高二南京市大厂高级中学校考期末）已知抛物线的焦点为，点．(1)设是抛物线上的动点，求的最小值；(2)过点的直线与抛物线交于、两点，若的面积为，求直线的方程．44．（2023秋·江苏南京·高二南京市第九中学校考期末）已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于不同的两点，，抛