2022届高考文科数学第一轮复习专题

2022届高考文科数学第一轮复习专题：极坐标与参数方程一、知识点：极坐标的概念;直线、圆、椭圆的参数方程。二、复习目标1、理解和掌握参数方程和极坐标是高考中的一个重点。2、极坐标和参数方程是研究圆锥曲线一种非常有价值的方法，我们熟练这种方法，把这种方法应用到圆锥曲线中，并通过这个方法来培养学生分析、解决实际问题的能力。3、培养学生学习的积极性和主动性，发现问题，善于解决问题，探究知识，合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质。三、复习重点：极坐标的相关知识;直线、圆、椭圆的参数方程。四、复习难点：用极坐标和参数方程解决曲线方程的综合性问题。一、自我诊断知己知彼1．点的直角坐标为，那么它的极坐标可表示为________．【答案】【解析】直接利用极坐标与直角坐标的互化公式，。2．在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于两点，则________.【答案】【解析】注意到在极坐标系中，过点且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是，曲线的直角坐标方程是，即，圆心到直线的距离等于1，因此。3．若直线(为实数)与直线垂直，则常数________.【答案】【解析】参数方程，所表示的直线方程为，由此直线与直线垂直可得，解得。4．在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为(3，eq\f(π,3))、(4，eq\f(π,6))，求△AOB(其中O为极点)的面积．【答案】3【解析】由题意知A、B的极坐标分别为(3，eq\f(π,3))、(4，eq\f(π,6))，则△AOB的面积S△AOB＝eq\f(1,2)OA·OB·sin∠AOB＝eq\f(1,2)×3×4×sineq\f(π,6)＝3.5.曲线，(是参数)的左焦点的坐标是________．【答案】【解析】题中曲线的直角坐标系的方程为，其中，及左焦点为。二、温故知新夯实基础1．平面直角坐标系设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·x(λ>0)，,y′＝μ·y(μ>0)))的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：或.这就是极坐标与直角坐标的互化公式．3．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ<2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcos_θ(－eq\f(π,2)≤θ<eq\f(π,2))圆心为(r，eq\f(π,2))，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a(－eq\f(π,2)<θ<eq\f(π,2))过点(a，eq\f(π,2))，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a(0<θ<π)4．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．5．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数)圆x2＋y2＝r2，(θ为参数)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，(φ为参数)抛物线y2＝2px(p>0)，(t为参数)三、典例剖析思维拓展考点一极坐标与直角坐标的互化例1(1)以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段的极坐标方程．(2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为和.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标．【答案】(1).(2)(1,1)【解析】(1)化成极坐标方程为即.∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴(2)因为，由，得，所以曲线C1的直角坐标方程为y2＝x.由，得曲线C2的直角坐标方程为y＝1.由得，故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1)．【易错点】容易忽略参数范围【方法点拨】(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如，，的形式，进行整体代换．考点二伸缩变换及求曲线的极坐标方程例1将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出曲线C的方程；(2)设直线：与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与垂直的直线的极坐标方程．【答案】(1)曲线C的方程为.(2).【解析】(1)设为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点，依题意，得，由得，即曲线C的方程为.(2)由解得或不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为，于是所求直线方程为，化为极坐标方程，并整理得，即.【易错点】伸缩变换易变错【方法点拨】求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．考点三参数方程与普通方程的互化例1已知直线的参数方程为(参数)，圆的参数方程为(参数)，求直线被圆所截得的弦长．【答案】【解析】由，消参数后得普通方程为，由，消参数后得普通方程为，显然圆心坐标为，半径为2.由于圆心到直线的距离为，根据勾股定理，所求弦长为。【易错点】参数方程化普通方程【方法点拨】本题考查直线和圆的联立问题，就是把参数方程转化为直角坐标系下的普通方程。例2（2022年沈阳市三模）在直角坐标系xOy中，已知椭圆的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(参数)，直线垂直于直线且过椭圆的右焦点.(1)求椭圆的普通方程和直线的参数方程；(2)直线交椭圆于A、B两点，求．【答案】(1)椭圆的方程为，直线的参数方程为(为参数)（2）【解析】(1)椭圆中的，椭圆的方程为，直线的斜率为2，直线的斜率为，直线的参数方程为(为参数)将直线的参数方程(为参数)代入椭圆的方程中得到关于的一元二次方程，设是所对应的参数，则根据参数的几何意义可知:【易错点】直线参数方程的表示要用标准形式，参数几何意义及参数的符号【方法点拨】线段长度与参数几何意义之间的联系考点四极坐标方程与参数方程的综合应用例1(2022·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：，圆C2：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【答案】(1)C1的极坐标方程为，C2的极坐标方程为.（2）【解析】(1)因为，所以C1的极坐标方程为，C2的极坐标方程为.(2)将代入，得，解得.故，即.由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，所以△C2MN的面积为.【易错点】第二问求三角形面积易化为直角坐标求点，求距离求面积，计算量大易错【方法点拨】(1)已知直角坐标方程化极坐标系方程直接运用公式带入化简即可；(2)注意运用极坐标求解．例2(2022·全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标系方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【答案】（1）C1的普通方程为.C2的直角坐标方程为；（2）|PQ|的最小值为，此时P的直角坐标为.【解析】(1)C1的普通方程为.C2的直角坐标方程为.(2)由题意，可设点P的直角坐标为．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2距离的最小值，.当且仅当时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.【易错点】解题方法选择不当导致计算量太大而出错.【方法点拨】与圆锥曲线有关的最值问题转化为参数形式比较容易求解.四、举一反三成果巩固考点一极坐标与直角坐标的互化1．在以O为极点的极坐标系中，圆和直线相交于A，B两点．当△AOB是等边三角形时，求的值．【答案】3【解析】由可得，即由可得.设圆的圆心为O′，与的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示．由对称性知，OD＝.在Rt△DOB中，易求DB＝eq\f(\r(3),3)，∴B点的坐标为．又∵B在上，即，解得(舍去)或.2、（2022江苏21（C））已知圆的极坐标方程为，求圆的半径．【答案】【解析】由题意得，所以，即，从而，即，故圆的半径为．3、（2022全国Ⅱ文23）在直线坐标系中，曲线：（为参数，）其中.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，：.(1)求与交点的直角坐标；(2)若与相交于点，与相交于点，求的最大值.【答案】(1)与交点的直角坐标为和．(2)当时，最大值为．【解析】（1）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．联立，解得或．所以与交点的直角坐标为和．（2）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．所以，当时，取得最大值，最大值为．考点二伸缩变换及求曲线的极坐标方程1、在极坐标系中，求曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝eq\f(π,4)对称的曲线的极坐标方程．【答案】见解析【解析】以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cosθ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，且圆心为(1,0)．直线θ＝eq\f(π,4)的直角坐标方程为y＝x，因为圆心(1,0)关于y＝x的对称点为(0,1)，所以圆(x－1)2＋y2＝1关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1.所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝eq\f(π,4)对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ.考点三参数方程与普通方程的互化1、(1)求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数．(2)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．【答案】(1)直线与曲线有2个交点(2)【解析】(1)将消去参数t得直线；将消去参数α得圆.又圆心到直线的距离.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．(2)直线l的普通方程为，椭圆C的普通方程为∴椭圆C的右顶点坐标为，若直线l过，则，.2、（2022全国甲文23）在直角坐标系中，圆的方程为.（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；（2）直线的参数方程是（为参数），与交于两点，，求的斜率.【答案】(1)圆的极坐标方程为.（2）的斜率.【解析】（1）整理圆的方程得，由可知圆的极坐标方程为.（2）解法一：将直线的参数方程代入圆:化简得，，设两点处的参数分别为，则，所以，解得，的斜率.解法二：设，其中，如图所示，圆心到到的距离，故.考点四极坐标方程与参数方程的综合应用1、在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．(1)求圆心的极坐标；(2)求△PAB面积的最大值．【答案】(1).（2）eq\f(10\r(5),9).【解析】(1)由圆C的极坐标方程为得把代入可得圆C的直角坐标方程为，即∴圆心坐标为，∴圆心的极坐标为.(2)由题意，得直线l的直角坐标方程为2eq\r(2)x－y－1＝0.∴圆心(1，－1)到直线l的距离d＝eq\f(|2\r(2)＋1－1|,\r((2\r(2))2＋(－1)2))＝eq\f(2\r(2),3)，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2－\f(8,9))＝eq\f(2\r(10),3).点P到直线l的距离的最大值为r＋d＝eq\r(2)＋eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(5\r(2),3)，∴Smax＝eq\f(1,2)×eq\f(2\r(10),3)×eq\f(5\r(2),3)＝eq\f(10\r(5),9).2、（2022全国乙文23）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线（1）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；（2）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求.【答案】(1)极坐标方程.（2）.【解析】（1）将化为直角坐标方程为，从而可知其表示圆.令，，代入得极坐标方程.（2）将化为直角坐标方程为，.两式相减可得它们的公共弦所在直线为.又公共点都在上，故的方程即为公共弦.又为，，即为，从而可知.五、分层训练能力进阶【基础达标】1、已知直线的参数方程为(参数)，圆的参数方程为(参数)，求直线被圆所截得的弦长．【答案】【解析】由，消参数后得普通方程为，由，消参数后得普通方程为，显然圆心坐标为，半径为2.由于圆心到直线的距离为，根据勾股定理，所求弦长为。2、直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切，求切线的倾斜角．【答案】或【解析】直线的普通方程为，圆的普通方程为，直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，从而有，即，∴b＝±eq\r(3)a，而直线的倾斜角的正切值为tanα＝eq\f(b,a)，∴tanα＝±eq\r(3)，因此切线的倾斜角为或3、在直角坐标系中，已知曲线：(为参数)与曲线：(为参数，)有一个公共点在轴上，则.【答案】【解析】曲线：直角坐标方程为，与轴交点为；曲线：直角坐标方程为，其与轴交点为，由，曲线与曲线有一个公共点在轴上，知。【能力提升】1、（2022全国2卷文22）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴