2022年河南省商丘市虞城县中考数学二模试卷-含答案

2022年河南省商丘市虞城县中考数学二模试卷

题号一二三总分

得分

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

评卷人得分

1.下列四个数中，绝对值最大的是（）

A.1B.——C.0D.-2

3

2.据报道，中国2021年国内生产总值（CDP）增长8.1%,经济总量114.4万亿元，按

年平均汇率折算达17.7万亿美元，稳居世界第二，占全球经济比重预计超过18%,其

中数据“114.4万亿”用科学记数法可表示为1.144x10%则原数中“0”的个数是（）

A.IIB.12C.13D.14

3.下列运算正确的是（）

2522

A.X2+x3B.x3-x3=x6C.（2X）'=8XD.（X-1）=X-1

5x-3>2

4.不等式组）.,八的解集在数轴上表示为（）

A.尹

D.

5.下列性质中，平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（）

A.对角线相等B.对角线互相垂直

C.对角线互相平分D.对角线平分内角

6.一个几何体由大小相同的小立方块搭成,它的俯视图如图所示，其中小正方形中的

数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图为（）

7.若方程#-cx+4=0有两个不相等的实数根，则c的值不可能是()

A.10B.6C.3D.-5

8.如图是一次数学活动课上制作的两个转盘，甲转盘被平均分为三部分，上面分别写

着9,8,5三个数字，乙转盘被平均分为四部分，上面分别写着1,6,9,8四个数字，

同时转动两个转盘，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的概率是

9.如图1,R/AABC中，点尸从点C出发，匀速沿CB-BA向点A运动，连接”，设点

户的运动距离为X,AP的长为y,y关于X的函数图象如图2所示，则当点尸为8c中

点时，4P的长为()

A.5B.8C.5^2D.2如

10.如图，平面直角坐标系中，菱形O4BC的顶点40,2@,/0。8=120，将菱形0钻。

以点O为旋转中心顺时针旋转105，得到菱形ODEF,则点A的对应点D的坐标为

评卷人得分

二、填空题

11.从调查方式上看，某地发现新冠疫情后，当地需要作全民核酸检测属于

调查.

12.已知〃>0,若岳是最简二次根式，请写出一个符合条件的"的正整数值

13.如图，ZAOB中，以点。为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点交08于点

N,分别以点M,N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点C,作射线OC,

过点C作8，。4于点DCEUOA交OB于■点E,若NCEB=50,则NOC£>的度数

14.如图1,将半径为2的圆形纸片沿圆的两条互相垂直的直径AC、BD两次折叠后得

到如图2所示的扇形。钻，然后再沿08的中垂线EF将扇形剪成左右两部分，右

边部分经过两次展开并压平后所得的图形的周长为

图1图2

15.如图，矩形ABC。中.AB=石，AD=\,点E为C。中点，点P从点。出发匀速

沿D—A—B运动,连接PE,点。关于PE的对称点为。，连接PQ,EQ,当点。恰好

落在矩形A8CD的对角线上时（不包括对角线端点），点尸走过的路径长为

评卷人得分

三、解答题

16.计算或化简:

-L+-L1

(1)4sin45°-^/8+(>/3-l),,；(2)

x+1X-1

17.为推进“五育并举”，某校八年级开展了一次书法比赛，每班选出25人的作品交校

团委，由校团委组织评委进行评定，成绩分为A,B,C,O四个等级，其中A等级得分

为5分，B等级得分为4分，C等级得分为3分，。等级得分为2分.比赛结束后，小

明将一班和二班的成绩整理并绘制成如下两个尚不完整的统计图.

二班书法成绩扇形统计图

请根据上述信息解答问题:

(1)将条形统计图补充完整:

(2)填表:

平均数/分中位数/分众数/分

一班成绩ah4

二班成绩3.763C

贝!,b=,c=；

(3)请从两个方面对这次比赛成绩的结果进行分析.

18.2022年，中国举办了一个史无前例的冬奥会，民众对冰上运动的热情高涨.某滑

雪场设计了一条滑雪道，该滑雪道由直道和停止区两部分组成.如图所示，AB为平台

部分，AC为该滑道的直道部分，其与水平滑道之间均可视为平滑相连，滑道AC的坡

角NACF=30，AC长为120米，滑雪道的停止区EC长为80米.为增加安全性，滑雪

场修改方案，将滑道坡度减缓，新设计另一滑道A。，其坡角Z4D尸=23。.问：新设

计的滑道停止区”的长度为多少米？(结果精确到0.1米，参考数据：sin23。。0.391,

cos23°70.921,tan23yo,424,6*1.732)

1L

19.如图，一次函数y=-;x+4交反比例函数y=-(x>0)于A,B两点，过点A作AC_Lx

2x

轴于点C,ZVIOC的面积为3.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)。为y轴上一个动点，当ZM+DB有最小值时，求点。的坐标.

20.如图，以A8为直径的。。中，AC为弦，点P为。。上一点，过点4的切线交CP

延长线于点。，PC交43于点Q,连接AP,ZPAB^ZPQA

D

⑴求证：PA=PD；

⑵若/<4=3,AC=5,求0A的长.

21.铁棍山药上有像铁锈一样的痕迹.故得名铁棍山药.某网店购进铁根山药若干箱.物

价部门规定其销售单价不高于80元/箱，经市场调查发现：销件单价定为80元/箱时，

每日销售20箱；如调整价格，每降价1元/箱，每日可多销售2箱.

(1)已知某天售出铁棍山药70箱，则当天的销售单价为元/箱.

(2)该网店现有员工2名.每天支付员工的工资为每人每天100元，每天平均支付运费及

其他费用250元，当某天的销售价为45元/箱时，收支恰好平衡.

①铁棍山药的进价；

②若网店每天的纯利润(收入一支出)全部用来偿还一笔15000元的贷款，则至少需多少

天才能还清贷款？

22.思考题：如图，正方形43CQ中，点P为A8上一个动点，点B关于CP的对称点

为点M,DM的延长线交CP的延长线于点。，点E为的中点，连接CE,过点£>

作CE交PC的延长线于点F,连接AQ,求证：ADAQ丝“DCF.

F

在分析过程中，小明找不到解题思路，便和同学们一起讨论，以下是讨论过程：

小红：可以得出CE,OE；理由：连接CM,点用和点8关于b对称，CM=BC,

又♦.•C£)=8C,CM=C£>,•.•点E为DM的中点，

CE±DE.①

①小亮：是等腰直角三角形；

理由：由小红的结论得CE_LDW,.♦./CEQ=90,NDCE=NMCE,

Z.ECQ=NECM+NPCM=-ZDCB=45。

•••2；

DF//CE，:"QDF=90(

“=45......................................................................................................②

②...SAS是等腰直角三角形；

小明：我好像知道该怎么解决问题了.

请仔细阅读讨论过程，完成下述任务.

任务：

(1)小红的讨论中①的依据是,

小亮的讨论中②的依据是：

(2)请帮小明证明AD4。丝“DCF；

拓展研究：

(3)若AB=2,连接AE,直接写出AE的最小值.

23.如图，抛物线y=V+bx+c交x轴于A3(3,0)两点，交y轴于点C(0,3)

(1)求抛物线解析式及A点坐标；

(2)将抛物线y=V+6x+c向上平移3个单位长度，再向左平移m(加＞0)个单位长度,

若新抛物线的顶点在AABC内，求〃?的取值范围；

(3)点尸为抛物线上一个动点，若ZACB=NBAP,直接写出点尸的坐标.

参考答案：

1.D

【解析】

【分析】

先比较每个数的绝对值，即可得出选项.

【详解】

因为川=1，|-1l=p|0|=0,|-2|=2,

所以卜

故选：D.

【点睛】

考查了绝对值和有理数的大小比较，能正确求出绝对值是解此题的关键.

2.A

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为axlO〃的形式，其中10al<10,〃为整数.确定〃的值时，要看把

原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】

解：•••这个数用科学记数法表示为1.144x1014,

...这个数是15位数，

原数中“0”的个数为11,

故选：A.

【点睛】

本题考查了科学记数法，掌握10的指数比原来的整数位数少1是解题的关键.

3.B

【解析】

【分析】

结合选项分别进行合并同类项、同底数'幕的乘法、积的乘方以及完全平方公式的运算，选出

正确答案.

【详解】

解：A、%?与V不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意;

B、x3.V=x6,该选项正确，符合题意；

C、(2/)3=8f,该选项错误，不符合题意；

D、(x-l)2=x2-2x+l,该选项错误，不符合题意；

故选：B.

【点睛】

本题考查了合并同类项、同底数辕的乘法、积的乘方以及完全平方公式，掌握运算法则是解

题的关键.

4.D

【解析】

【分析】

先求出不等式组的解集，再表示出数轴即可解题.

【详解】

解得：x>l,x>2,

用数轴表示是一^一

故选D.

【点睛】

本题考查了不等式组的求解，属于简单题，会在数轴上表示出不等式的解集是解题关键.

5.C

【解析】

【分析】

根据矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质，特殊平行四边形

都肯定具有，可判断出正确选项.

【详解】

•••平行四边形的对角线互相平分，

矩形，菱形，正方形的对角线也必然互相平分.

故选：C.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质，熟练掌握并区分

这些性质是解题的关键.

6.D

【解析】

【分析】

由已知条件可知，左视图有3歹U，每列小正方形数目分别为2,3,3.据此可作出判断.

【详解】

解：从左面看所得到的图形,

故选：D.

【点睛】

考查几何体的三视图的画法，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上

面看到的图形是俯视图.

7.C

【解析】

【分析】

根据方程有两个不相等的实数根得出J>0,求出不等式的解集即可.

【详解】

解：•.•关于x的方程幺-“+4=0有两个不相等的实数根，

...1=d-4乂1、4>0,

解得：c>4或cV-4,

观察四个选项，c的值不可能是3,

故选：C.

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程加+笈+-0（存0）的根与根的判

别式/=〃一4改有如下关系：①当/>0时，方程有两个不相等的实数根；②当』=0时，方

程有两个相等的实数根；③当/<0时，方程无实数根.上述结论反过来也成立.

8.D

【解析】

【分析】

结合题意，根据树状图的方法分析，即可得到答案.

【详解】

画树状图如下：

开始

985

169816981698

根据题意，共有12种等可能的结果，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3

整除的结果有2种

•♦・同时转动两个转盘，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的概率为：

21

12=6

故选：D.

【点睛】

本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握树状图的性质，从而完成求解.

9.D

【解析】

【分析】

通过观察图2可以得出AC=6,BC=a,AB=a+2,由勾股定理可以求出。的值，从而得

出8c=8,AB=\Q,当尸为BC的中点时CP=4,由勾股定理求出4P长度.

【详解】

解：因为P点是从C点出发的，C为初始点，

观察图象x=0时＞=6,则AC=6,尸从C向B移动的过程中，AP是不断增加的，

而「从3向A移动的过程中，小是不断减少的，

因此转折点为3点，P运动到B点时，即x=a时，BC=PC=a,此时y=a+2,

即AP=AB=a+2,AC=6,BC=a,AB=a+2,

vZC=90°,

由勾股定理得：（〃+2）2=6?+心

解得：a=8,

：.AB=\O,8c=8,

当点P为BC中点时，AP=4,

AP=yjA^+CP2=V62+42=2713，

故选：D.

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还

可以提高分析问题、解决问题的能力.用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图.

10.B

【解析】

【分析】

过点。作GDL尤轴，根据题意求得OC的长，进而可得NOOG=45。，即可求得点。的坐标

【详解】

解：过点。作GDLx轴，如图，

・・•四边形。4BC是菱形，ZOCB=120\OB是对角线，且网。,2石）在y轴上,

:.ZCOB=30°,NCOA=60°

-OBA

CO=—Z-------={=2

cosNC08V3

•.•将菱形6MBC以点。为旋转中心顺时针旋转105,

ZAOD=105°,OD=OA=OC=2

・•.ZCOD=ZCOA+ZAOD=165°

NDOG=NCOD-NCOB-90°=45°

.•.△ODG是等腰直角三角形

OG=DG=ODsm45°=0

•・•。在第四象限，

；.£>（夜3）

故选B

【点睛】

本题考查了菱形的性质，旋转的性质，坐标与图形，解直角三角形，掌握以上知识是解题的

关键.

11.全面

【解析】

【分析】

根据抽样调查和全面调查的定义进行判断，即可得到答案.

【详解】

解：从调查方式上看，某地发现新冠疫情后，当地需要作全民核酸检测属于全面调查.

故答案为：全面.

【点睛】

本题考查了全面调查和抽样调查的定义：全面调查就是对样本整体全部调查；抽样调查是对

样本的部分个体进行调查.

12.1

【解析】

【分析】

根据根号下不含能开的尽的因式，根号下不含分母，是最简二次根式，可得答案.

【详解】

解：且而是最简二次根式，

n=lf

故答案为：1（答案不唯一）.

【点睛】

本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题关键.

13.65°##65度

【解析】

【分析】

根据作图先得出0C平分NA08,根据CE〃,得出ZOCE=ZBOC,根据NBEC为XOCE

的外角，得出NCE3=N8OC+NOCE,即可求出ZA"=25。，根据CO_LQ4,得出

ZCD0=90°,即可求解.

【详解】

解：根据作图可知，OC平分NAO8,

ZAOC=ZBOC,

,：CE/7OA,

:.ZAOC=^OCE,

.-.ZOCE=ZBOC,

•.•/BEC为AOCE的外角，

/.NCEB=ZBOC+ZOCE,

ZAOC=ZBOC=-NCEB='x50°=25°,

22

-.■CD±OA,

ZCDO=90°,

NOCD=90°-ZAOC=65°.

故答案为：65°.

【点睛】

本题主要考查了角平分线的基本作图，平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的性

质，根据题意求出4g=25。是解题的关键.

14.—+4>/3

3

【解析】

【分析】

根据沿08的垂直平分线EF将扇形OAB剪成左右两部分，可知NOEF=90。，所以E是0B

的中点，则0E=g08=g0F,则NEFO=30。，得出尸G所对的圆周角NFOG=60。，根据勾股

定理求出直角边尸E=白，所以尸尸=2#,从而得出结论.

【详解】

解：如图3,

图3

尸是。8的垂直平分线，

/.ZO£F=90°,0E=10B=1OF,

：.ZEFO=30°,NEOF=60°,

由勾股定理得：EF=M=由，

由折叠得：/kOF=120°,

Z."04=30。，

NfOG=60°,

则右边部分经过两次展开并压平后所得的图形的周长为：

2FG+2FF=60;rx2x2+2x2^=—+4^.

1803

故答案为：-二+,^.

【点睛】

本题是折叠和扇形问题，考查了折叠的性质和扇形的弧长公式，掌握扇形的弧长公式，熟知

折叠前后的图形是全等形，折痕就是图形的对称轴，对称轴是对称点连线的中垂线.

15.；或1+£

N6

【解析】

【分析】

当点。恰好落在矩形438的对角线上时存在两种情况：①如图1,点尸在AO上，点。在

AC上，连接。Q,证明AP=P。可得结论；②如图2,点尸在AB上，连接PZ),根据30。

角的三角函数列式可得AP的长，从而计算结论.

【详解】

解：如图1,点尸在AO上，点。在AC上，连接。Q,

为的中点,

DE=CE,

・••点。关于PE的对称点为。，

:.PE±DQ,DE=EQ=EC,

NDQC=90°,

DQLAC,

：.PE//AC,

：.PD=AP=-AD=-,

22

即点尸走过的路径长为

如图2,点尸在A8上，连接

图2

•.•E为C£＞的中点，且CO=AB=石，AD=1,

2

:.DE=CE=—,BD=+129=2,

2

•.•"FE=90°,

由85/9尸=%=走

BD2

DF

...cos/EDF=cos300=——,

DE

.“GG3

..DF=——x——二一，

224

•：BD=2,

35

・•.BF=2-土工

44

BF

cosZABD=cos300=----

PB

5

2

AP65百百

66

•・.此时点尸走过的路径长为1+无；

6

综上，点户走过的路径长为;或1+巫.

N6

故答案为：；或1+-

16

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，对称的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握矩形的性

质，勾股定理，直角三角形的性质等知识是解题的关键，并注意运用分类讨论的思想.

16.(1)1；(2)2x

【解析】

【分析】

(1)运用特殊角的三角函数值、二次根式和零指数累计算;

(2)先将除法变为乘法，再将括号里面的分式分别乘以(/T),再进行化简计算即可.

【详解】

解：⑴4sin45。-返+(若

=4x--2A/2+l

2

=(x-l)+(x+l)

=2x

【点睛】

本题考查了实数的基本运算、特殊角的三角函数值和分式的化简，难度不大，解题的关键是

要牢记运算规则，细心计算.

17.(1)见解析

(2)3.76；4；5

(3)①从平均数看它们的成绩相同，但从众数方面来比较二班成绩更好；②从8级以上(包

括8级)的人数方面来比较，一班成绩更好

【解析】

【分析】

(1)根据题意和表格中的数据可以求得一班C等级的学生数，从而可以解答本题;

(2)根据表格中的数据可以求得一班的平均数和中位数，以及二班的众数；

(3)根据表格中的数据，可以从两方面比较一班和二班成绩的情况.

(1)

解：一班C等级的学生有：25-6-12-5=2,

补全的条形统计图如图所示：

⑵

5x6+4x12+3x2+2x5

一班的平均数是:=3.76,

25

将一班的学生成绩从小到大进行排序，排在第13的学习在B等级内，故中位数是6=4,

二班的学生成绩在A等级学生人数最多，因此众数-5；

故答案为：3.76；4；5.

⑶

①从平均数看它们的成绩相同，但从众数方面来比较二班成绩更好;

②从8级以上（包括8级）的人数方面来比较，一班成绩更好.

【点睛】

本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、众数、中位数、加权平均数，解答本题的关键是

明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

18.新设计的滑道停止区区＞的长度约为42.4米.

【解析】

【分析】

过点A作AGLEF,垂足为G,然后利用解直角三角形，求出CG=606，AG=60,再求

出滑道停止区距的长度即可.

【详解】

解：过点A作AGLEF,垂足为G,如图:

在直角AACG中，4c=120,ZACF=30°,

FiI

/.CG=ACXcos30°=120X—=60^,AG=ACxsin30°=120x-=60,

/.£G=EC+CG=80+605/3；

在直角AAOG中，AG=60,

:ZADG=23°,

，£D=EG-DG=80+60>/3-141.51=42.41«42.4(米)

答：新设计的滑道停止区EO的长度约为42.4米.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形，解题的关键是正确的作出辅助线，利用解

直角三角形进行计算.

19.(1)反比例函数的解析式为y=9

X

⑵O点坐标为(0,；

【解析】

【分析】

(1)由反比例函数比例系数表的几何意义可以求出k的值；

(2)作点A关于)，轴的对称点E,连接£»交y轴于点。，连接49,则此时94+£>E最小，

求出点4与点8的坐标，再求出直线EB的函数关系式，再求出点。的坐标.

(1)

k

•.•反比例函数y」(x>0)的图象过点A,过点A作X轴的垂线，垂足为C.ZVIOC的面积为

X

3,

•・•Q0,

k=6,

故反比例函数的解析式为y=&；

x

（2）

如图，作点A关于y轴的对称点E,连接交y轴于点。，连接AD,则此时ZM+Q3最小

A（2,3）,B（6,l）

E（-2,3）

设直线£B的解析式为y=，加+〃，

（3=-2"7+〃

则…,

[1=0/714-n

1

m———

4

解得5

n=—

2

直线的解析式为y=一+g

x=0时，'，

.•.D点坐标为[Bj

【点睛】

此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与反比

例函数的交点问题，坐标与图形性质，线段最短问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

20.(1)见解析

(2)OA=—s/n

11

【解析】

【分析】

(1)根据切线的性质可得ND4P+NPA8=9(r,/尸。4+/。=90°,结合NPA8=NPQ4可

得结论；

(2)连接BP,证明根据相似三角形的性质求出AB=JTT,从而可求出

结论.

(1)

；4。为。0的切线，A8为。O的直径

・•・ABA.AD,

：.ZDAP+NPAB=90,NPQA+ZD=90°

・・•NPAB=NPQA,

：.ZDAP=ZDf

JAP=PD.

(2)

连接的

•・,A8为。。的直径,

，ZAPB=90\

ZPAB+ZB=90\

・.•NOAP+NPA8=90,

:.ZDAP=ZB

VZDAP=ZD,ZB=NC,

:./B=/C=/D,

：.AD=AC=5.

VAP=3,AP=DP=PQf

DQ-6,

AQ=^DQ2-AD2=762-52=VTT

•:ZB=/D,AAPB=ZQAD=909

:.AAPB〜\QAD,

ABAPAB3

‘谑=透’即可=而.

AB=—4vi,

11

19i—

QA=—AB=—JH.

211

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，证明AAP8~AQA。是解答本题的

关键.

21.(1)55

(2)①40元/箱②19天

【解析】

【分析】

(1)根据每降价1元/箱，每日可多销售2箱可得出答案；

(2)①设铁棍山药的进价是x元，可得(45-x)[(80-45)x2+20]=2xl(X)+250,及可解得

答案；

②设铁棍山药的售价是加元/箱，每天的纯利润是W元，可得

卬=(加-40)[2(80-机)+20]-2X100—250=-2(%-65)2+800,根据二次函数性质可得答案.

(1)

解：根据题意得：某天售出铁棍山药70箱，

则当天的销售单价为80-(70-20)+2=55(元)，

故答案为：55；

(2)

解：设铁棍山药的进价是x元，

根据题意得：(45—x)[(80-45)x2+20]=2xl00+250,

解得x=40,

答：铁棍山药的进价是40元/箱：

②设铁棍山药的售价是〃，元/箱，每天的纯利润是W元，

根据题意得：

22

IV=(W-40)[2(80-W)+20]-2X100-250=-2/n+260w-7650=-2(m-65)+800,

-.-2<0,

当加=65时，W取最大值800,

即网店每天的纯利润最多800元，

•.•15000+800=18.75,

；.偿还一笔15000元的贷款，至少需19天才能还清贷款.

【点睛】

本题考查一元一次方程及二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式.

22.(1)等腰三角形的三线合一；两直线平行，同位角相等；

(2)证明见解析；

⑶石-1.

【解析】

【分析】

(1)根据等腰三角形性质和平行线性质求解即可；

(2)由小红的证明方法可证得CELOE,小亮的证明方法可证得立尔Q是等腰直角三角形,

再由正方形的边相等，可得A£>=C£>,同角的余角相等，即可证明；

(3)由90°圆周角所对的弦是直径可知：点E在以8为直径的。。上运动，求AE的最

小值为求点A到。。的最小距离，则可知当点A,E,。在同一直线上时，AE最小，再用

勾股定理即可求解.

（1）

证明：连接CM,点M和点8关于CP对称，

CM=BC,

又,:CD=BC,

：.CM=CD,

:点E为。W的中点，

:.CELDE（等腰三角形的三线合一）；

由小红的结论得CE上DM,

NCEQ=90,NDCE=NMCE,

ZECQ=NECM+NPCM=JZDCB=45=,

DF//CE,

AZ0DF=9O,NF=45（两直线平行，同位角相等）

故小红的讨论中①的依据是等腰三角形的三线合一，小亮的讨论中②的依据是两直线平行,

同位角相等；

⑵

证明：在正方形D4BC中，CD=AD=BC,NAQC=90,

连接CM,

由点B与点M关于C尸对称知MC=BC,

又：BC=CD,

：.CD=CM.

•点E为W的中点，

CEVDM,

又；DF//CE,

：.ZFDQ=9O°,

又：ZADC=90°,

ZADQ=ZFDC,

由点8与点"关于CP对称及7CDM为等腰三角形，且CE为△DCM顶角平分线知：

ZECQ=gNMCB+g4MCD

=；(NMCB+NMCD)

=-ZDCB=45°,

2

则NF=45,

又：N0D/=90",

：./£)QF=45,

；.DQ=DF,

由AD=C£>,ZADQ=ZCDF,QD=F。知

△A£)QgACDF(SAS)；

(3)

如图：在正方形D4BC中，AB=AD=DC=2,ZADC=90°,

QZDEC=90°

...点E在以CD为直径的。。上运动，

求AE的最小值为求点A到。O的最小距离，

当点A,E,。在同一直线上时，AE最小，

/.OA=yJOE^+AD2=Vl2+22=石，

AE^OA-OE^y/5-l.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，对称的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性

质，圆的相关性质，90°圆周角所对的弦是直径，勾股定理等知识，综合掌握和运用相关

知识点是解题关键.

23.⑴抛物线的解析式为尸》2-4X+3,A(l,0)

(2)1</H<-

【解析】

【分析】

(1)利用待定系数法，即可求解；

(2)根据平移的性质可得新抛物线的顶点坐标为2),然后分别求出直线AC和BC

的解析式，可得当点M在直线AC上时，机=|,当点