2021年浙江省杭州市中考数学仿真试卷（ 含答案）

2021年浙江省杭州市中考数学仿真试卷

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

1.下列运算正确的是（）

A.（-2屋/）2=叱

b2

B.（a+b）2=2+序

C.V5-375=-2

D.———+———=2

a2-b2b2-a2a-b

2.已知a+6=2,ab=-3,则（3-a）（3-b）的值为（）

A.2B.-3C.0D.-1

3.如果x是最大的负整数，y是绝对值最小的整数，则-737+y的值是（）

A.-2017B.-1C.1D.2017

4.如图，A8是斜靠在墙上的长梯，A8与地面夹角为a,当梯顶A下滑1m到4'时，梯脚

B滑到8',A5与地面的夹角为0,若tana=2,—则cos0=()

C4Df

5.已知x=4是关于X的方程"+。=0awo,Z?>0）的解,则关于冗的不等式上（X-3）

+2。>0的解集是（）

A.411B.x<llC.x>lD.x<7

6.函数y=|x-1|的图象是（)

通过调查制作了如图所示的条形统计图，由图可知，下列

说法错误的是（）

B.骑自行车的人数为90

C.步行与骑自行车的总人数比坐公共汽车的人数要多

D.坐公共汽车的人数占总人数的50%

8.二次函数y=o?+6x+cQ#0）的顶点坐标为（-1,〃），其部分图象如图所示，下面结

论错误的是（）

B.4ac-b2<0

C.关于x的方程aj^+bx+c—n+l无实数根

D.关于x的方程。/+灰+0=0的正实数根xi取值范围为：1Vxi<2

9.如图，AB是。。的直径，EF,EB是0。的弦，连接OF,若NAOF=40°,则NE的度

数是（）

10.如图，正方形A2CD的边长为5,动点P的运动路线为A-8-C,动点。的运动路线

为B-D点尸与。以相同的均匀速度分别从4,8两点同时出发，当一个点到达终点且

停止运动时，另一个点也随之停止.设点P运动的路程为x,△BPQ的面积为），，则y

随x变化的函数图象大致是（）

AD

二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）

11.（4分）若关于x的分式方程上一无解，则。的值为

x-33-x

12.（4分）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若/1=40°,则N2=

30°

VH

13.（4分）若多项式丁+工+加含有因式--九+2,则加的值是.

14.（4分）在-2,0,1,2这四个数中任取两数相，"，则二次函数y=（x-n?）?+〃的顶

点在坐标轴上的概率为.

15.（4分）如图，。。的半径为5,弦A8=6,弦47，弦8。，点尸为CO的中点，若点。

在圆上逆时针运动的路径长为Sil,则点P运动的路径长为.

16.（4分）如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC,在射线OC上取点4,

过点A作轴于点”，在抛物线y=*（x>0）上取一点尸，在y轴上取一点Q,使

得P,O,Q为顶点的三角形与△40”全等，则符合条件的点A有个.

三、解答题（本大题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（6分）解方程：

（1）2（x+1）=1-（x+3）.

（2）5X-7+1=3X-1

64

18.（8分）（1）某校招聘教师一名，现有甲、乙、丙三人通过专业知识、讲课、答辩三项

测试，他们各自的成绩如下表所示：

应聘者专业知识讲课答辩

甲708580

乙908575

丙809085

按照招聘简章要求，对专业知识、讲课、答辩三项赋权5：4：1.请计算三名应聘者的平

均成绩，从成绩看，应该录取谁？

(2)我市举行了某学科实验操作考试，有A、B、C、。四个实验，规定每位学生只参加

其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验.小王，小张，小厉都参

加了本次考试.

①小厉参加实验D考试的概率是；

②用列表或画树状图的方法求小王、小张抽到同一个实验的概率.

19.(8分)如图，四边形4BC。内接于连接AC、相交于点E.

(1)如图I,若AC=BD,求证：AE=DE；

的函数关系如图所示，其中60WvW120.

(1)求v与f的函数关系式及f值的取值范围；

(2)客车上午8点从甲地出发.

①客车需在当天14点40分至15点30分(含14点40分与15点30分)间到达乙地,

求客车行驶速度v的范围；

②客车能否在当天12点30分前到达乙地？说明理由.

AB=BC,ZADE=9Q°,AD=DE

=L1C,连接CE.

2

(1)如图1,当点。恰好在AC上时，则丝=；

BD

(2)如图2,如果NAQE绕点A顺时针旋转一周，在旋转的过程中(1)的结论是否仍

然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3)若AC=4,在旋转的过程中，请直接写出CE的最大值和最小值.

22.(12分)如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,以3c为直径的。。交斜边48于点M,

若“是AC的中点，连接

(1)求证：为的切线.

(2)若旦，tan/ABC=3,求。0的半径.

24

(3)在(2)的条件下分别过点4、B作。。的切线，两切线交于点。，AO与相切

于N点，过N点作NQJ_8C,垂足为£且交OO于。点，求线段NQ的长度.

A

23.（12分）已知抛物yucV+bx.

（1）若抛物线与一次函数y=-x-l有且只有一个公共点，求a、b满足的关系式；

（2）设点。为抛物线上的顶点，点P为平面内一点，若点P坐标为（2,-2）,S^OPQ

=3,且OP>OQ,抛物线经过点ACm,n）和点8（4-/M,〃），直线与抛物线的另

一交点为C.

①求抛物线的解析式；

②证明：对于任意实数，"，直线AC必过一定点.

2021年浙江省杭州市中考数学仿真试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的)

1.下列运算正确的是()

/4

A.(-IcP,b1)2=A?—

b2

B.(a+B)2=a1+b2

C.遥-3旄=-2

D.―2a__+2b-2

a2-b2b2-a2a-b

【分析】根据积的乘方，完全平方公式，二次根式的加减，分式的加减，分别计算各选

项即可.

【解答】解：A选项，原式=4a%.2=&:,故该选项正确，符合题意；

b2

22

B选项，(6/+Z?)=cr+2ab+bf故该选项错误，不符合题意；

C选项，原式=-2娓，故该选项错误，不符合题意；

。选项，原式=一生大一一._g_,故该选项错误，不符合题意.

2222

a-ba-b(a+b)(a-b)a+b

故选：A.

2.已知Q+/?=2,ab=-3,贝ij(3-a)(3-Z?)的值为()

A.2B.-3C.0D.-1

【分析】利用多项式乘以多项式的计算法则进行计算，然后代入求值即可.

【解答】解：(3-a)(3-b)=9-3。-3b+ab=9-3(a+b)+ab,

,:a+b=2,cib=-3,

J(3-〃)(3-b)=9-3X2+(-3)=0,

故选：C.

3.如果X是最大的负整数，y是绝对值最小的整数，则-737+y的值是()

A.-2017B.-1C.1D.2017

【分析】根据有理数的有关概念得出x、y的值，再代入计算即可.

【解答】解：根据题意知x=-1,y=0,

则原式=-(-1)2017+0

故选：C.

4.如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为a,当梯顶A下滑1,“到A'时，梯脚

8滑到8',4B'与地面的夹角为0,若tana=2,BB'=\m,则cos0=()

【分析】在直角中，由tana=2,可设4C=4x,那么BC=3x,根据勾股定理求

出AB=5x,那么A'B'=A3=5x.在直角AA'B'C中，根据勾股定理列出方程(4x

-1)2+(3x+l)2=(5x)2,求出x=l,然后利用余弦函数的定义即可求解.

【解答】解：如图在直角△ABC中，NACB=90°,tana=_l,

可设AC=4x,那么BC=3x,

...A8=={AC2+BC2=5X，

.'.A'B'=AB=5x.

•在直角4A'B'C中，NA'CB'=90°,A'C=4x-1,B'C=3x+1,

(4x-1)2+(3x+l)2=(5x)2,

解得x=l,

C=3,B'C=4,A'B'=5,

cos0=人?B94•

故选：A.

5.已知x=4是关于x的方程履+力=0(ZWO,/?>0)的解，则关于冗的不等式k(x-3)

+2b>0的解集是（）

A.x>llB.x<llC.x>lD.x<7

【分析】将x=4代入方程，求出。=-4%>0,求出&V0,把匕=-4后代入不等式，再

求出不等式的解集即可.

【解答】解：.."=4是关于x的方程依+6=0（A#0,b>。）的解，

***4%+0=0,

即b=-4Z>0,

"V0,

*：k（x-3）+2/?>0,

・・・依-3k-弘>0,

:.kx>11k,

Ax<ll,

故选：B.

【分析】根据函数解析式求得该函数的性质，然后再作出选择.

【解答】解：,函数y=|r-1|=卜一吟史）、,

（-x+l（x<1）

.•.当x>l时，y随x的增大而增大；当xVl时，y随x的增大而减小：

故选:B.

7.某校为了解学生的出行方式，通过调查制作了如图所示的条形统计图，由图可知，下列

说法错误的是（)

人数

15

»o

12o

»

9o

8Q

3O

°步行持自坐公共出行方式

行车汽车“'

A.步行的人数最少

B.骑自行车的人数为90

C.步行与骑自行车的总人数比坐公共汽车的人数要多

D.坐公共汽车的人数占总人数的50%

【分析】根据条形统计图中所反映的信息，逐项进行判断即可.

【解答】解：由条形统计图可知，出行方式中步行的有60人，骑自行车的有90人，乘

公共汽车的有150人，

因此得出的总人数为60+90+150=300（.人）,乘公共汽车占工效X100%=50%,60+90

300

=150（人），

所以选项A、B、。都是正确的，因此不符合题意；

选项C是不正确的，因此符合题意；

故选：C.

8.二次函数yuaf+bx+c（〃W0）的顶点坐标为（-1,〃），其部分图象如图所示，下面结

论错误的是（）

A.ahc>0

B.4ac-b2<0

C.关于x的方程加+公+°=〃+1无实数根

D.关于x的方程012+版+。=0的正实数根xi取值范围为：l<xi<2

【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根

据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；根据抛物线yuaf+H+c与直线y=〃+l无

交点，可对C进行判断；根据抛物线的对称性，可对。进行判断.

【解答】解：A.♦.•抛物线开口向下,

：.a<0,

•••对称轴为直线*=-上=-1,

2a

：.b^2a<0,

；抛物线与y轴交于正半轴，

/.c>0,

abc>0,

故A正确；

8.:抛物线与x轴有两个交点，

.•.庐-4心>0,B|I4ac-b2<0,

故B正确：

C•.•抛物线开口向下，顶点为（-1,〃），

.•.函数有最大值〃，

.,.抛物线>=/+法+。与直线产〃+1无交点，

二一元二次方程无实数根，

故C正确；

D：抛物线的对称轴为直线》=-I,抛物线与x轴的一个交点在（-3,0）和（-2,

0）之间，

.•.抛物线与x轴的另一个交点在（0,0）和（1,0）之间，

...于x的方程a^+bx+c—O的正实数根xi取值范围为：0<xi<l,

故。错误；

故选：D.

9.如图，AB是。。的直径，EF,EB是。。的弦，连接OF,若/4。尸=40°,则NE的度

数是（）

A

O

A.40°B.50°C.55°D.70°

【分析】连接FB,得到NFOB=140°,利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解.

【解答】解：•.•/AOF=40°,

.".ZFOB=180°-40°=140°,

NE=L/FOB=70。

2

故选：D.

10.如图，正方形ABC。的边长为5,动点P的运动路线为A-B-*C,动点Q的运动路线

为点尸与Q以相同的均匀速度分别从A,B两点同时出发，当一个点到达终点且

停止运动时，另一个点也随之停止.设点P运动的路程为x,△BPQ的面积为y,则y

随x变化的函数图象大致是（）

【分析】分两种情况：P点在A8上运动和尸点在8c上运动时；分别求出解析式即可.

【解答】解：（1）点P在A8上运动时，0<xW5,如右图，

•.•正方形ABCO的边长为5,点P与Q以相同的均匀速度分别从A,B两点同时出发，

作QEJ_AB交AB于点E,

则有AP=PQ=x,NEBQ=/DQC=45°,

：.BP=5-x,QE=&（,

2___

.♦.△BPQ的面积为：y^lBP'QE=l.x（5-x）~~———x——（0<xW5）,

.♦•此时图象为抛物线开口方向向下；

（2）点P在8c上运动时，5<xW5^,如右图，

♦.•正方形ABC。的边长为5,点P与。以相同的均匀速度分别从A,8两点同时出发，

作QELBC交8C于点E,

则有AP+8P=2Q=x,ZDQC=45°,

：.BP^x-5,QE=J^c,

...△8P。的面积为：y=」BP・QE=_lx（%-5）（5〈xW5«）,

22244

此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且y随x的增大而增大；

综上，只有选项B的图象符合，

故选：B.

AD

BC

二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）

”•（4分）若关于x的分式方程^一"=2〃无解，则a的值为0.5或1.5.

x-33-x

【分析】直接解分式方程，再分类讨论当1-2〃=0时，当l-2〃W0时，分别得出答案.

【解答】解：上「工=2”，

x-33-x

去分母得：x-2ci=2a（x-3）,

整理得：（1-2〃）x=-4m

当l-2a=0时，方程无解，故a=0.5；

当1-2公0时，x=_J2_=3时，分式方程无解，贝Ua=1.5,

2a-l

则a的值为0.5或1.5.

故答案为：0.5或1.5.

12.（4分）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若Nl=40°,则N2=80°

30°

【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论.

由题意得，N3=60°,

VZ1=4O°,

AZ4=180°-60°-40°=80°,

•:AB〃CD,

：.Z4=Z2=80°,

故答案为：80°.

13.(4分)若多项式/+冗+加含有因式/-x+2,则"I的值是2.

【分析】设另一个因式是x+〃，根据已知得出(/-x+2)(x+a)=/+x+m,再进行化简,

即可求出a、m值.

【解答】解：:多项式9+尢+“含有因式/-x+2,

・••设另一个因式是1+〃，

贝!J(x2-x+2)(x+a)=/+1+"，

*/(/-x+2)(x+〃)

=x3+d,^2-x2-ax+2x+2a

=/+(a-1)/+(-a+2)x+2a,

••ci~1=0,2a=m,

解得：a=l,m=2,

故答案为：2.

14.(4分)在-2,0,1,2这四个数中任取两数机，n,则二次函数y=？+〃的顶

点在坐标轴上的概率为1.

-2-

【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，根据二次函数的性质确定顶点在坐标

轴上的结果数，然后利用概率公式求解.

【解答】解：画树状图为：

开始

m-2012

〃△小小小

"012-212-202-201

共有12种等可能的结果数，其中二次函数y=(x-m)2+〃的顶点在坐标轴上的结果数

为6,

所以二次函数y=(x-m)2+〃的顶点在坐标轴上的概率=且=_1,

122

故答案为：1.

2

15.(4分)如图，。。的半径为5,弦AB=6,弦AC,弦8力，点尸为C£＞的中点，若点D

在圆上逆时针运动的路径长为耳，则点P运动的路径长为TT.

【分析】如图，连接。4,OB,AD,OP,OD,过点O作于".证明△OHA丝

△CPO(A4S),推出OP=AH=3,推出点P的运动轨迹是以O为圆心，。尸为半径的圆,

求出点。旋转的角度即可解决问题.

【解答】解：如图，连接。A,OB,AD,OP,OD,过点。作OHLAB于4.

：.ZDAC+ZADB=90°,

VZD0C=2ZDAC,ZA0B=2ZADB,

：.ZDOC+ZAOB=\SO°,

,：OH1AB,DP=PC,

：.OP±CD,AH=HB=1AB=3,

2

"：OA^OB=OC=OD,

：.NAOH=ABOH,NCOP=ZDOP,

：.ZAOH+ZCOP=90°,

VZAOH+ZOAH=90Q,

:./COP=NOAH,

•.,/AHO=/CPO=90°,OA=OC,

：./\OHA^/\CPOCAAS),

：.OP=AH^3,

；•点尸的运动轨迹是以。为圆心，OP为半径的圆，

；点D在圆上逆时针运动的路径长为耳，设圆心角为〃，

3

...n•兀・5=县,

1803

...”=60°,

'：OD,OP的旋转角度相等，

.•.点P的运动路径的长=处上3=皿.

180

故答案为：TT.

16.(4分)如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC,在射线OC上取点A,

过点A作AHLx轴于点H,在抛物线y=/(x>0)上取一点尸，在y轴上取一点。，使

得P,O,Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点为有4个.

【分析】此题应分四种情况考虑:

①NPOQ=NQ4”=60°,此时A、P重合，可联立直线04和抛物线的解析式，即可得

A点坐标；

②/POQ=NAO”=30°,此时NPO”=60°,即直线OP：y=«r,联立抛物线的解

析式可得P点坐标，进而可求出00、PQ的长，由于△P0。丝△A0H,那么0〃=0。、

AH=PQ,由此得到点A的坐标.

③当NOPQ=90°,ZPOQ=ZAOH=30°时，此时△Q0P丝△A0”；

④当/OPQ=90°,/POQ=NOAH=60°,jltl^AOQP^AAO//；

【解答】解：①当/POQ=/OAH=60°,若以P,0,。为顶点的三角形与△AOH全

等，那么4P重合；

由于/40，=30°,设4坐标为（小b）,

在直角三角形。4H中，tan/AO”=tan30°=返=电，

3a

设直线0A的方程为y=kx,把A的坐标代入得k=0=零,

所以直线04y=&,联立抛物线的解析式，

3

,V3

得:V3X,

y=x2

f

解得（x=0,-3；

Iy=oy=l

_ly3

故A（返，.1）；

33

②当NPOQ=NAOH=30°,此时△POQ丝△A。”；

易知NPOH=60°,则直线OP：y=Mx,联立抛物线的解析式,

Iy=0Iy=3

故P（b，3）,那么A（3,我）;

③当/OPQ=90°,/POQ=N4OH=30°时，此时△QOP丝△AOH；

易知/POH=60°,则直线OP：>=心，联立抛物线的解析式，

故P(“，3),

；.0尸=2«,QP=2,

：.OH=OP=2yf3,AH=QP=2,

故A(2“，2)；

④当/OPQ=90°,NPOQ=NOAH=60°,^/XOQP^^AOH；

此时直线OP：y=国,联立抛物线的解析式，

3

X

得：，

y=x2

x-3

解得x=0

y=01

,p哼,1),

：.QP=OP=2,

3

：.OH=QPQP=AH=OP=—,

3

故A(空1,2).

33

符合条件的点A有四个，且坐标为：（返，.1）或（3,«）或（273,2）

综上可知:

33

或乎

故答案为：4.

三、解答题（本大题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（6分）解方程：

(1)2(jc+1)=1-(x+3).

(2)5X-7”3X-1

64

【分析】（1）方程去括号，移项合并，把X系数化为1,即可求出解;

（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1,即可求出解.

【解答】解：（1）去括号得：2x+2=1-x-3,

移项合并得：3x=-4,

解得：x=-4；

3

（2）去分母得：10x-14+12=9x-3,

移项合并得：x=-1.

18.（8分）（1）某校招聘教师一名，现有甲、乙、丙三人通过专业知识、讲课、答辩三项

测试，他们各自的成绩如下表所示：

应聘者专业知识讲课答辩

甲708580

乙908575

丙809085

按照招聘简章要求，对专业知识、讲课、答辩三项赋权5：4：1.请计算三名应聘者的平

均成绩，从成绩看，应该录取谁？

（2）我市举行了某学科实验操作考试，有A、B、C、。四个实验，规定每位学生只参加

其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验.小王，小张，小厉都参

加了本次考试.

①小厉参加实验。考试的概率是1;

—4―

②用列表或画树状图的方法求小王、小张抽到同一个实验的概率.

【分析】（1）根据加权平均数分别计算三人的平均成绩，比较大小即可得；

（2）①根据概率公式即可得；②列表得出所有等可能的情况数，找出两位同学抽到同一

实验的情况数，即可求出所求概率.

7QX

【解答】解：（1）­=5+85X4+8QX1=77（分），

x甲5+4+1

77=90X5+85X4+75X1=86.5（分），

x乙5+4+1

二=80X5+90X4+85X1=84.5（分），

x丙5+4+1

因为乙的平均成绩最高,

所以应该录取乙；

（2）①小厉参加实验O考试的概率是■1,

4

故答案为：1;

4

②解：列表如下:

ABCD

AAABACADA

BABBBCBDB

CACBCCCDC

DADBDCDDD

所有等可能的情况有16种，其中两位同学抽到同一实验的情况有AA,BB,CC,DD,4

种情况，

所以小王、小张抽到同一个实验的概率为_£=上.

164

19.（8分）如图，四边形A8CO内接于。0,连接AC、8。相交于点£

（1）如图1,若AC=BD,求证：AE=DE；

（2）如图2,若连接0C,求证：NOCD=NACB.

图1图2

【分析】⑴利用AC=8Z）得到标=而，则靠=而，然后根据圆周角定理得到乙4。8

从而得到结论；

（2）作直径CF,连接OF,如图2,先利用垂直定义得到NAOE+NC4O=90°,再利

用圆周角定理得到NACB=NA£»E,ZF=ZCAD,ZCDF=90°,然后根据等角的余角

相等得到结论.

【解答】证明：（1）-：AC=BD,

，AC=BD.

WAB+BC=BC+CD.

•••AB=CD-

，ZADB=ZCAD,

：.AE=DE；

(2)作直径CF,连接。F,如图2,

'JACLBD,

...N4E£)=90°,

AZADE+ZCAD=90°,

\'ZACB=ZADE,ZF=ZCAD,

：.ZACB+ZF=90°,

为直径，

AZCDF=90°,

：.ZF+ZFCD=90°,

J.ZACB^ZFCD,

20.（10分）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间f（小时）

的函数关系如图所示，其中60WvW120.

（1）求v与r的函数关系式及，值的取值范围；

（2）客车上午8点从甲地出发.

①客车需在当天14点40分至15点30分（含14点40分与15点30分）间到达乙地，

求客车行驶速度丫的范围；

②客车能否在当天12点30分前到达乙地？说明理由.

（2）①当f=2&（8点到下午14点40分）时，口=里电=600+且1=90（千米/小时），

3t3

当尸生时，丫=眄=600+至=80（千米/小时），即可求解；

2t2

②当天12点30分到达时，f=4.5小时＜5,而5W/W10,即可求解.

【解答】解：（1）设v与r的函数关系式为丫=中，

将（5,120）代入尸K,得：120=工

t5

解得：jt=600,

...v与，的函数关系式为丫=迹（5＜fWl0）；

t

（2）①当，=2U（8点到下午14点40分）时，v=上更1=600+2）=90（千米〃卜时），

3t3

当/=工殳时，v=_^W=600+_l§_=80（千米〃J、时），

2t2

客车行驶速度v的范围为80千米/小时WuW90千米/小时；

②当天12点30分到达时，f=4.5小时＜5,

而5WW10,

故客车不能在当天12点30分前到达乙地.

21.（10分）已知，如图，ZXABC中，NABC=90°,AB=BC,ZADE=90°,AD=DE

=L1C,连接8。，CE.

2

（1）如图1,当点。恰好在AC上时，则盛=&_；

BD一

（2）如图2,如果NACE绕点A顺时针旋转一周，在旋转的过程中（1）的结论是否仍

然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）若AC=4,在旋转的过程中，请直接写出CE的最大值和最小值.

■^4

BC

图1图2

【分析】(1)由等腰三角形的性质可求8O=CD,CE=、/]C。，即可求解；

(2)通过证明可得结论；

(3)由点。在以点A为圆心，AO为半径的圆上,可得当点。在线段A8上时，BD有

最小值为2d5-2,当点。在BA的延长线上时，8。有最大值为2扬2,即可求解.

【解答】解：(1)当点。恰好在AC上时，

"：AD=X\C,

2

:.AD=DC=1AC=DE,

2

'：ZABC=90Q-AADE,

:.BD=CD,CE=&C£>,

嚼s

故答案为：V2：

(2)结论仍然成立，理由如下：

连接AE,

BC

图2

9

：AD=DEfZADE=90°,

AZDAE=45°,

'：AB=BC,NABC=90°,

：.ZBAC=45°,

m

AC

AB-

AEA_,C

AD-AB

:.NDAB=NEAC,迪盘L,

ACAB

：./\DAB^/\EAC,

..而CE而AC啦r-，

(3),：AD=^AC,AC=4,

2

：.AD^2,

'：AB=BC,ZABC=90°,AC=4,

:.AB=BC=2®

ZADE绕点A顺时针旋转一周，

...点。在以点A为圆心，A。为半径的圆上，如图3,

当点。在线段A8上时，8。有最小值为2a-2,

当点。在84的延长线上时，BO有最大值为2扬2,

噜=如，

BD

CE的最大值为4+2点，最小值为4-272.

22.(12分)如图，在RtzXABC中，ZC=90°,以BC为直径的。。交斜边AB于点M,

若，是AC的中点，连接

(1)求证：为。。的切线.

(2)若tan/ABC=2,求。。的半径.

24

(3)在(2)的条件下分别过点A、8作。0的切线，两切线交于点£>,A。与相切

于N点，过N点作NQLBC,垂足为E,且交。。于。点，求线段NQ的长度.

A

【分析】(1)连接OH、0M,易证0H是△ABC的中位线，利用中位线的性质可证明△

COH^/\MOH,所以NHCO=/HMO=90°,从而可知是。。的切线；

(2)由切线长定理可知：MH=HC,再由点"是AC的中点可知AC=3,由tanNABC

=旦，所以BC=4,从而可知。。的半径为2；

4

(3)连接CMAO,CN与AO相交于/,由AC、AN是。。的切线可知AO_LCN,利用

等面积可求出可求得C7的长度，设CE为x,然后利用勾股定理可求得CE的长度，利用

垂径定理即可求得NQ.

【解答】解：(1)连接OH、OM,

是AC的中点，。是BC的中点，

...OH是△ABC的中位线，

：.OH//AB,

：.ZCOH=ZABC,ZMOH=/OMB,

又'：OB=OM,

：.NOMB=NMBO,

：.ZCOH=ZMOH,

在△COH与△M。，中，

'OC=OM

'ZC0H=ZM0H»

OH=OH

:.△COgXMOH(SAS),

:.NHCO=NHMO=9Q°,

，例，是。。的切线;

(2)•:MH、AC是。。的切线，

:.HC=MH=S,

2

：.AC=2HC^3,

：tan/ABC=3,

4

...蚂=之

‘♦而『

：.BC=4,

.••OO的半径为2；

(3)连接。4、CN、ON,04与CN相交于点/,

：AC与AN都是。0的切线，

：.AC=AN,A。平分NCAO,

：.A01CN,

；AC=3,0C=2,

由勾股定理可求得：40=万，

'：1AC