材料力学课件

第一章绪论材料力学绪论第一章绪论材料力学：研究物体受力后内在的表现，

即，变形规律和破坏特征。

材料力学的研究对象一、材料力学的任务二、变形固体的基本假设四、杆件变形的基本形式绪论

材料力学的研究对象1、构件2、构件分类绪论工程结构或机械的各组成部分统称构件材料力学以“梁、杆”为主要研究对象绪论工程中多为梁、杆结构绪论§1-1、材料力学的任务强度、刚度、稳定性绪论绪论1、强度：构件抵抗破坏的能力绪论绪论绪论2、刚度：构件抵抗变形的能力。绪论绪论绪论构件保持原有平衡状态的能力3稳定性绪论

工程结构的强度、刚度和稳定问题稳定问题强度刚度绪论大型桥梁的强度刚度稳定问题绪论绪论

材料力学的任务在满足强度、刚度、稳定性的前提下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适宜的材料，为设计构件提供必要的理论基础和计算方法。绪论§1-2变形固体的基本假设

一、连续性假设：构成材料的物质毫无空隙地充满了构件的整 个容积。（可用微积分数学工具，可取微元看整体）二、均匀性假设：物体内，材料的力学性质在各处都完全相 同。

三、各向同性假设：材料沿各方向的力学性质完全相同。（这样的材料称为各向同性材料；沿各方向的力学

性质不同的材料称为各向异性材料。）四、小变形假设：材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形

与原始尺寸相比甚小，故对构件进行受力分析时可忽略其

变形。

绪论组合受力（CombinedLoading）与变形§1-4杆件变形的基本形式绪论第二章轴向拉伸与压缩材料力学

第二章轴向拉伸与压缩§2–1引言§2–2横截面上内力和应力§2–3拉压杆的强度条件§2-4拉压杆的变形胡克定律§2-8拉伸、压缩超静定问题§2-5材料拉伸和压缩时的力学性能§2-6温度和时间对材料力学性能的影响拉压习题课拉压§2–1引言轴向拉压的受力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。一、概念轴向拉压的变形特点：轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。拉压轴向压缩，对应的外力称为压力。轴向拉伸，对应的外力称为拉力。力学模型如图拉压工程实例二、拉压拉压一、内力

指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。§2–2横截面上的内力和应力拉压二、截面法·轴力

内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。1.截面法的基本步骤：①截开：在所求内力处，假想地用截面将杆件切开。②代替：任取一部分，弃去部分对留下部分的作用，以内力（力或力偶）代替。③平衡：对留下的部分建立平衡方程，求未知内力。（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）拉压2.轴力——轴向拉压杆的内力，用N表示。例如：截面法求N。

APP简图APPPAN截开：代替：平衡：①反映出轴力与截面位置的变化关系，较直观；②反映出最大轴力的数值及其所在面的位置，即危险截面位置，为强度计算提供依据。拉压三、轴力图——N(x)的图象表示。3.轴力的正负规定:

N

与外法线同向,为正轴力(拉力)N与外法线反向,为负轴力(压力)N>0NNN<0NNNxP+意义拉压[例1]图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、

P

的力，方向如图，试画出杆的轴力图。解：求OA段内力N1：设置截面如图ABCDPAPBPCPDOABCDPAPBPCPDN1拉压同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：N2=–3P

N3=5PN4=P轴力图如右图BCDPBPCPDN2CDPCPDN3DPDN4Nx2P3P5PP++–拉压轴力(图)的简便求法：自左向右:轴力图的特点：突变值=集中载荷遇到向左的P

，轴力N增量为正；遇到向右的P

，轴力N增量为负。5kN8kN3kN+–3kN5kN8kN拉压解：x坐标向右为正，坐标原点在自由端。取左侧x段为对象，内力N(x)为：qq

LxO[例2]图示杆长为L，受分布力q=kx

作用，方向如图，试画出杆的轴力图。Lq(x)Nxxq(x)NxO–拉压四、应力的概念问题提出：PPPP1.内力大小不能衡量构件强度的大小。2.强度：①内力在截面分布集度应力；

②材料承受荷载的能力。1.定义：由外力引起的（构件某截面上一点处）内力集度。拉压

工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。

P

AM①平均应力(

A上平均内力集度)②全应力（总应力）：(M点内力集度)2.应力的表示：拉压③全应力分解为：p

M

垂直于截面的应力称为“正应力”

(NormalStress)；位于截面内的应力称为“剪应力”(ShearStress)。应力单位：Pa=N/m2

MPa=106N/m2GPa=109N/m2拉压变形前1.变形规律试验及平面假设：平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。（直杆在轴向拉压时）abcd受载变形后：各纵向纤维变形相同。PPd´a´c´b´五、拉（压）杆横截面上的应力拉压均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布，即各点应力相同。2.拉伸应力：sNP轴力引起的正应力——

：在横截面上均布。危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。危险点：应力最大的点。3.危险截面及最大工作应力：拉正压负.拉压5.应力集中（StressConcentration）：

在截面尺寸突变处，应力急剧变大。4.Saint-Venant原理：离开载荷作用点一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。变形示意图：(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。)应力分布示意图：41拉压一、应力的概念§2–3拉（压）杆的强度条件问题提出：PPPP1.内力大小不能衡量构件强度的大小。2.强度：①内力在截面分布集度应力；

②材料承受荷载的能力。1.定义：由外力引起的（构件某截面上一点处）内力集度。42拉压

工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。

P

AM①平均应力(

A上平均内力集度)②全应力（总应力）：(M点内力集度)2.应力的表示：43拉压③全应力分解为：p

M

垂直于截面的应力称为“正应力”

(NormalStress)；位于截面内的应力称为“剪应力”(ShearStress)。应力单位：Pa=N/m2

MPa=106N/m2GPa=109N/m244拉压变形前1.变形规律试验及平面假设：平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。（直杆在轴向拉压时）abcd受载变形后：各纵向纤维变形相同。PPd´a´c´b´二、拉（压）杆横截面上的应力45拉压均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布，即各点应力相同。2.拉伸应力：sNP轴力引起的正应力——

：在横截面上均布。危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。危险点：应力最大的点。3.危险截面及最大工作应力：拉正压负.46拉压5.应力集中（StressConcentration）：

在截面尺寸突变处，应力急剧变大。4.Saint-Venant原理：离开载荷作用点一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。变形示意图：(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。)应力分布示意图：47拉压二、安全系数n：静载:n=1.25~2.5一、极限应力sjx：指材料破坏时的应力.三、许用应力：

动载:n=2~3.5or3~9(危险性大)杆件能安全工作的应力最大值

采用安全系数原因:1.极限应力的差异. 2.横截面尺寸的差异. 3.载荷估计不准. 4.应力计算的近似性. 5.构件与工程的重要性. 6.减轻设备自重的要求.n↑安全↔n↓经济§2–3拉（压）杆的强度条件拉压其中

max--（危险点的）最大工作应力②设计截面尺寸：依强度准则可进行三种强度计算：①校核强度：③确定许可载荷：

四、强度条件(拉压杆)：

五、三类强度问题：

拉压[例3]已知一圆杆受拉力P=25kN，直径d=14mm，许用应力

[

]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。解：①轴力：N=P

=25kN②应力：③强度校核：④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。拉压[例4]

已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q

=4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径d=16mm，许用应力[

]=170MPa。试校核刚拉杆的强度。钢拉杆4.2mq8.5m拉压①整体平衡求支反力解：钢拉杆8.5mq4.2mRARBHA拉压③应力：④强度校核与结论：

此杆满足强度要求，是安全的。②局部平衡求轴力：

qRAHARCHCN拉压[例5]简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P，为使BD杆最轻，角

应为何值？已知BD

杆的许用应力为[

]。分析：xLhqPABCD拉压

BD杆面积A：解：

BD杆内力N(q)：取AC为研究对象，如图YAXAqNBxLPABCBD杆轴力最大值:拉压YAXAqNBxLPABC③求VBD

的最小值：拉压**拉(压)杆斜截面上的应力设有一等直杆受拉力P作用。求：斜截面k-k上的应力。PPkka①采用截面法切开,左部平衡由平衡方程：Pa=P则：Aa：斜截面面积；Pa：斜截面上内力。由几何关系：代入上式，得：其中s0

为a=0面,即横截面上的正应力.PkkaPa②仿照证明横截面上正应力均布也可证斜截面……拉压PPkka斜截面上全应力：PkkaPa③pa分解为：pa=反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。当

=90°时，当

=0,90°时，当

=0°时，(横截面上存在最大正应力)当

=±45°时，(45°斜截面上剪应力达到最大)tasaa2、单元体：单元体—构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。

单元体的性质—a、平行面上，应力均布；

b、平行面上，应力相等。3、拉压杆内一点M

的应力单元体:

1.一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上的应力情况，称为这点的应力状态。补充：拉压sPMssss取分离体如图3，a逆时针为正；ta绕研究对象顺时针转为正；由分离体平衡得：拉压4、拉压杆斜截面上的应力ssss

tasaxs0图3例6

直径为d=1cm

杆受拉力P=10kN的作用，试求最大剪应力，并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和剪应力。解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：拉压例7图示拉杆沿mn由两部分胶合而成,受力P，设胶合面的许用拉应力为[

]=100MPa

；许用剪应力为[

]=50MPa

，并设杆的强度由胶合面控制,杆的横截面积为A=4cm²，试问:为使杆承受最大拉力,

角值应为多大?(规定:

在0~60度之间)。联立(1)、(2)得：拉压PPmna解：Pa6030B(1)、(2)式的曲线如图(2)，显然，B点左侧由正应力控制杆的强度，B点右侧由剪应力控制杆的强度，当a=60°时，由(2)式得解(1)、(2)曲线交点处：拉压讨论：若Pa6030B11、杆的纵向总变形：3、纵向线应变：2、线应变：单位长度的变形量。一、拉压杆的变形及应变§2－4拉压杆的变形胡克定律拉压abcdLPPd´a´c´b´L15、横向线应变：4、杆的横向变形：拉压二、胡克定律(弹性范围内)

※“EA”称为杆的抗拉压刚度。3、泊松比（或横向变形系数）1、拉压杆的胡克定律2、单向应力状态下的胡克定律E—拉压弹性模量

C'1、怎样画小变形放大图？

变形图严格画法，图中弧线；

求各杆的变形量△Li

，如图；

变形图近似画法，图中弧之切线。例8

小变形放大图与位移的求法。拉压ABCL1L2PC"2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系拉压ABCL1L2B'解：变形图如图2，B点位移至B'点，由图知：例9设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为76.36mm²

的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设P=20kN，试求刚索的应力和C点的垂直位移。设刚索的E=177GPa。解：方法1：小变形放大图法

1）求钢索内力：以ABCD为对象2)钢索的应力和伸长分别为：拉压800400400DCPAB60°60°PABCDTTYAXA拉压CPAB60°60°800400400DAB60°60°DB'D'C3）变形图如左图,C点的垂直位移为：§2－8拉伸、压缩超静定问题1、超静定问题：单凭静平衡方程不能确定出全部未知力

（外力、内力、应力）的问题。一、超静定问题及其处理方法拉压2、超静定的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理方程相结合，进行求解。不稳定平衡稳定平衡静定问题超静定问题例11

设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2、

L3=L

；各杆面积为A1=A2=A、A3

；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。拉压CPABD123解：、平衡方程:PAN1N3N2

几何方程——变形协调方程：

物理方程——弹性定律：

补充方程：由几何方程和物理方程得。

解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:拉压CABD123A1

平衡方程；

几何方程——变形协调方程；

物理方程——胡克定律；

补充方程：由几何方程和物理方程得；

解由平衡方程和补充方程组成的方程组。拉压3、超静定问题的方法步骤：例12

木制短柱的四角用四个40

40

4的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为[

]1=160MPa和[

]2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa

和E2=10GPa；求许可载荷P。

几何方程

物理方程及补充方程：解：平衡方程:拉压PPy4N1N2PPy4N1N2拉压

解平衡方程和补充方程，得:

求结构的许可载荷：

方法1:角钢面积由型钢表查得:A1=3.086cm2所以在△1=△2

的前提下，角钢将先达到极限状态，即角钢决定最大载荷。

求结构的许可载荷：另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？

若将木的边长变为25mm，又怎样？结构的最大载荷永远由钢控制着。拉压方法2:

、几何方程解：、平衡方程:2、超静定问题存在装配应力。二、装配应力——预应力1、静定问题无装配应力。拉压

如图，3号杆的尺寸误差为

，求各杆的装配内力。ABC12ABC12DA13A1N1N2N3

、物理方程及补充方程：

、解平衡方程和补充方程，得:d拉压A1N1N2N3AA1

、几何方程1、静定问题无温度应力。三、温度应力拉压ABC12CABD1232、超静定问题存在温度应力。（可自由伸缩）（不可自由伸缩，→内力→应力＝热应力）

拉压aaaaN1N2例13

如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃

时被固定,杆的上下两段的面积分别

=cm2，

=cm2，当温度升至T2

=25℃时,求各杆的温度应力。

(线膨胀系数

=12.5×；

弹性模量E=200GPa)

、几何方程：解：、平衡方程：

、物理方程解平衡方程和补充方程，得:

、补充方程

、温度应力拉压§2－5材料拉伸和压缩时的力学性能一、试验条件及试验仪器1、试验条件：常温(20℃)；静载（极其缓慢地加载）；

2、试验对象：标准试件。拉压dh力学性能：材料在外力作用下,在强度与变形方面表现出的特性。3、试验设备：万能试验机；变形仪（常用引伸仪）。拉压二、低碳钢试件的拉伸图(P--

L图)三、低碳钢试件的应力--应变曲线(

--

图)拉压(一)低碳钢拉伸的弹性阶段(oe段)1、op--比例段:

p--比例极限2、pe--曲线段:

e--弹性极限拉压(二)低碳钢拉伸的屈服(流动）阶段(es

段)

es--屈服段:

s---屈服极限滑移线：塑性材料的失效应力:

s

。拉压２、卸载定律：１、

ｂ---强度极限３、冷作硬化：４、冷拉时效：(三)、低碳钢拉伸的强化阶段(ｓｂ段)拉压1、延伸率:

2、截面收缩率：

3、脆性、塑性及相对性(四)、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段(bf段)拉压四、无明显屈服现象的塑性材料0.2s0.2名义屈服应力:

0.2

，即此类材料的失效应力。五、铸铁拉伸时的机械性能

ｂL---铸铁拉伸强度极限（失效应力）拉压六、材料压缩时的机械性能

ｂy---铸铁压缩强度极限；

ｂy

（4—6）

ｂL

拉压七、安全系数、容许应力、极限应力n拉压1、许用应力：2、极限应力：3、安全系数：解：变形量可能已超出了“线弹性”范围，故，不可再应用“弹性定律”。应如下计算：例10

铜丝直径d=2mm，长L=500mm，材料的拉伸曲线如图所示。如欲使铜丝的伸长为30mm，则大约需加多大的力P？

由拉伸图知：拉压s(MPa)e(%)92一、温度对材料力学性能的影响 （短期，静载下）材料力学性能的进一步分析§2–6温度和时间对材料力学性能的影响

但在260°以前随温度的升高，

b反而增大，同时

、

却减小。但象低碳钢这种在260°以前的特征，并非所有的钢材都具有。总趋势:温度升高,E、

S

、

b下降；

、

增大。0100200300400500216177137700600500400300200100100908070605040302010Ed93材料力学性能的进一步分析温度对铬锰合金力学性能的影响200017501500125010007505002500-200-1000100200300400500600700800200017501500125010007505002500-200-1000100200300400500600700800d8070605040302010094材料力学性能的进一步分析

P(kN)------0510153020100

Dl(mm)---0510153020100

P(kN)

Dl(mm)温度降低，塑性降低，强度极限提高951、蠕变：

在高温和长期静载作用下，即使构件上的应力不变，塑性变形却随时间而缓慢增加，直至破坏。这种现象称为蠕变。注意：应力没增加，杆自己在长长！材料力学性能的进一步分析P经过较长时间后P加静载二、蠕变与松驰（高温，长期静载下）96材料力学性能的进一步分析构件的工作段不能超过稳定阶段！

etOABCDE不稳定阶段稳定阶段加速阶段破坏阶段

e0材料的蠕变曲线97材料力学性能的进一步分析应力不变温度越高蠕变越快T1T2T3T4s1s2s3s4温度不变应力越高蠕变越快蠕变变形是不可恢复的塑性变形。982、应力松弛：

在一定的高温下，构件上的总变形不变时，弹性变形会随时间而转变为塑性变形（原因为蠕变），从而使构件内的应力变小。这种现象称为应力松弛。杆也是自己长了一段！材料力学性能的进一步分析经过较长时间后卸载加静载99材料力学性能的进一步分析温度不变e2e1e3初应力越大，松弛的初速率越大初始弹性应变不变T1T3T2温度越高，松弛的初速率越大一、轴向拉压杆的内力及轴力图1、轴力的表示?2、轴力的求法?3、轴力的正负规定?拉压和剪切习题课为什么画轴力图?

应注意什么?4、轴力图：N=N(x)的图象表示?PANBC简图APPNxP+拉压轴力的简便求法:

以x点左侧部分为对象,x点的内力N(x)由下式计算:

其中“

P()”与“

P()”均为x点左侧与右侧部分的所有外力。拉压例1图示杆的A、B、C、D点分别作用着5P、8P、4P、P的力，方向如图，试画出杆的轴力图。ABCDO5P4PP8PNx–3P5PP2P拉压应力的正负规定?1、横截面上的应力:

二、拉压杆的应力危险截面及最大工作应力?

2、拉压杆斜截面上的应力Saint-Venant原理?

应力集中?sN(x)P

tasaxs0拉压三、强度设计准则（StrengthDesignCriterion）：

1、强度设计准则?

校核强度：

设计截面尺寸：

设计载荷：拉压1、等内力拉压杆的胡克定律

2、变内力拉压杆的胡克定律3、单向应力状态下的胡克定律四、拉压杆的变形及应变N(x)dxxPP拉压4、泊松比（或横向变形系数）5、小变形放大图与位移的求法C'ABCL1L2PC"拉压装配应力——预应力装配温度

平衡方程；

几何方程——变形协调方程；

物理方程——胡克定律；

补充方程：由几何方程和物理方程得；

解由平衡方程和补充方程组成的方程组。6、超静定问题的方法步骤：拉压五、材料在拉伸和压缩时的力学性能3、卸载定律；冷作硬化；冷拉时效。1、胡克定律4、延伸率5、截面收缩率拉压例2

结构如图，AB、CD、EF、GH都由两根不等边角钢组成，已知材料的[

]=170MPa

，E=210GPa。

AC、EG可视为刚杆，试选择各杆的截面型号和A、D、C点的位移。P=300kN0.8m3.2m1.8m1.2m2m3.4m1.2mABCDFHq0=100kN/m解：

求内力，受力分析如图EG拉压Dq0=100kN/mEGACNGNCNANEND=NDP=300kN

由强度条件求面积拉压

试依面积值查表确定钢号

求变形拉压

求位移,变形图如图ABDFHEGCC1A1E1D1G1拉压例3

结构如图，AC、BD的直径分别为:d1=25mm,d2=18mm,已知材料的[

]=170MPa

，E=210GPa,AE可视为刚杆，试校核各杆的强度;求A、B点的位移△A和△B。(2)求当P作用于A点时,F点的位移△F′，△F′=△A是普遍规律：称为位移互等定理。BNBP=100kNNAAABCDP=100kN1.5m3m2.5mF解：

求内力，受力分析如图拉压

校核强度

求变形及位移拉压

求当P作用于A点时,F点的位移△F′P=100kN1.5m3m2.5mAFBCD拉压116本章结束第三章剪切材料力学

第三章剪切§3-1剪切的实用计算§3-2挤压的实用计算剪切习题课切应力的产生剪切§3－1剪切的实用计算一、连接件的受力特点和变形特点：1、连接件

在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如：螺栓、铆钉、键等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。特点：可传递一般力，可拆卸。PP螺栓剪切PP铆钉特点：可传递一般力，不可拆卸。如桥梁桁架结点处于它连接。无间隙m轴键齿轮特点：传递扭矩。剪切2、受力特点和变形特点：nn（合力）（合力）PP以铆钉为例：①受力特点：构件受到一对相距很近、等值反向的横向力作用。②变形特点：受到一对反向力作用的相邻截面间发生相对错动。剪切nn（合力）（合力）PP③剪切面：发生相互错动或有错动趋势的平面，如n–n

。④剪切面上的内力：内力—剪力Fs

，其作用线与剪切面平行。（用截面法来求）PnnFs剪切面单剪切：构件上有一个剪切面。双剪切：构件上有两个剪切面。剪切nn（合力）（合力）PP3、连接处破坏三种形式：PnnFs剪切面钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断。①剪切破坏沿铆钉的剪切面剪断，如沿n–n面剪断

。②挤压破坏铆钉与钢板在相互接触面上因挤压、溃压而使连接松动，发生破坏。

③拉伸破坏(被连接件)剪切二、剪切的实用计算实用计算方法：受剪切件，一般为短粗件，其受力、变形复 杂，难以简化成简单的计算模型，切应力在截 面上分布规律很难确定，为简化计算，假设剪 应力在截面上均匀分布。许用切应力确定：通过剪切实验，使试件的受力尽可能类似于 实际零件受力情况，加载至剪断，得到破坏 时的极限应力。除以安全系数。塑性材料：[t]=（0.6~0.8）[s]脆性材料：[t]=（0.8~1.0）[s]剪切1、剪切面--A

：错动面。

剪力--Fs：剪切面上的内力。2、名义切应力--

：3、剪切强度条件（准则）：nn（合力）（合力）PPPnnFs剪切面工作应力不得超过材料的许用应力。用剪切强度条件也可解决三类强度问题(强度校核,截面设计,确定许可载荷).剪切1、挤压力―F

：接触面上的压力合力。连接件除承剪外,接触面上还有相互压紧.挤压：构件局部面积的承压现象。当挤压力过大时,可能使构件产生显著的局部塑性变形,使连接松动,影响其牢固性.假设：挤压应力在有效挤压面上均匀分布。§3－2挤压的实用计算剪切2、有效挤压面积（计算挤压面积）：接触面（实际挤压面）的 正投影面面积。3、挤压强度条件（准则）：

工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力。有效挤压面积剪切应用剪切PP例1

木榫接头如图所示，a=b

=12cm，h=35cm，c=4.5cm,

P=40KN，试求接头的切应力和挤压应力。解：

：受力分析如图∶

：切应力和挤压应力剪切面和剪力为∶挤压面和挤压力为：PPPPbach剪切mdP解：

键的受力分析如图例2齿轮与轴由平键（b×h×L=20×12×100）连接，它传递的扭矩m=2KNm，轴的直径d=70mm，键的许用切应力为[

]=60M

Pa，许用挤压应力为[

jy]=100MPa，试校核键的强度。mbhL剪切综上，键满足强度要求。

切应力和挤压应力的强度校核mdPbhL剪切解：

键的受力分析如图例3齿轮与轴由平键（b=16mm，h=10mm，）连接，它传递的扭矩m=1600Nm，轴的直径d=50mm，键的许用切应力为[

]=80MPa，许用挤压应力为[

bs]=240MPa，试设计键的长度。mmdPbhL剪切mdPbhL

切应力和挤压应力的强度条件

综上剪切解：

受力分析如图例4一铆接头如图所示，受力P=110kN，已知钢板厚度为t=1cm，宽度

b=8.5cm，许用应力为[

]=160MPa；铆钉的直径d=1.6cm，许用切应力为[

]=140MPa，许用挤压应力为[

bs]=320MPa，试校核铆接头的强度。（假定每个铆钉受力相等。）bPPttdPPP112233P/4剪切

钢板的2--2和3--3面为危险面

切应力和挤压应力的强度条件综上，接头安全。ttdPPP112233P/4剪切1、剪切的实用计算nn（合力）（合力）PPPnnFs剪切面2、挤压的实用计算剪切习题课剪切挤压面积剪切139本章结束140第四章扭转材料力学141§4–1引言§4–2外力偶矩和扭矩§4–3薄壁圆筒的扭转§4–4圆轴扭转时的应力·强度计算§4–5圆轴扭转时的变形·刚度计算§4–6非圆截面杆扭转简介第四章扭转*圆轴扭转超静定问题142扭转§4–1引言轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆、汽车转向轴、搅拌器轴等。受力特点：在垂直于杆轴线的平面内作用有力偶.ABOmm

OBA

变形特点：任意横截面绕杆轴相对转动。（杆表面纵线~螺 旋线~扭转变形）143扭转扭转角(相对扭转角)（

）：任意两横截面绕轴线转动而 发生的角位移。剪应变(切应变)（

）：直角的改变量。mm

OBA

144扭转工程实例145扭转§4–2外力偶矩和扭矩一、外力偶矩其中：P—功率，千瓦（kW）

n—转速，转/分（rpm）其中：P—功率，马力（PS）

n—转速，转/分（rpm）1kW=1000N·m/s=1.36PS

使杆件产生扭转变形的力偶矩。数值上等于杆件所受外力对杆轴的力矩。传动轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：1463扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为正，反之为负。扭转二、扭矩及扭矩图mmmTx1扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。2截面法求扭矩147扭转4扭矩图：表示扭矩沿轴线方向变化规律的图线。

目的①扭矩变化规律；②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。xT

148扭转[例1]已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nABCDm2

m3

m1

m4解：①计算外力偶矩149扭转nABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩:任意截面的扭矩,数值上等于截面一侧轴段所有外力偶矩的代数和.转向与这些外力偶矩的合力偶矩之转向相反.150扭转③绘制扭矩图BC段为危险截面。xTnABCDm2

m3

m1

m44.789.566.37

––151扭转§4–3薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：1.实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。152扭转2.实验后：①圆周线的大小、形状、间距不变；②纵向线变成斜直线， 倾角相同。3.结论：①各圆周线的间距均未改变→横截面上无正应力. ②圆周线的形状、大小均未改变，只是绕轴线作了相对 转动→周向无正应力 ③纵向线倾斜→横截面上有切应力.

④各纵向线均倾斜了同一微小角度

→切应力均匀分布.153扭转

acdb

①横截面上无正应力②周向无正应力③横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力

，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。

微小矩形单元体如图所示：154扭转二、薄壁圆筒切应力

与剪应变g：

A0：平均半径所作圆的面积。①切应力②剪应变mm

OBA

155扭转三、切应力互等定理：上式称为切应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxb

dy´´tz

156扭转四、剪切虎克定律：

单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。薄壁圆筒体扭转实验157扭转

T=m

剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)(在弹性范围内)，切应力与剪应变成正比关系。在一定范围内158扭转

式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因

无量纲，故G的量纲与

相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。

剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：

可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。159扭转§4–4圆轴扭转时的应力·强度计算圆轴横截面应力①变形几何方面②物理关系方面③静力学方面1.横截面变形后仍为平面；

2.轴向无伸缩；

3.纵向线变形后仍为平行。一、等直圆轴扭转实验观察：160161扭转二、等直圆轴扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：距圆心为

任一点处的

与到圆心的距离

成正比。——扭转角沿长度方向变化率(单位长度扭转角)。162扭转Ttmaxtmax2.物理关系：胡克定律：代入上式得：距圆心等距离处的切应力相等163扭转3.静力学关系：TOdA

令代入物理关系式得：164扭转—横截面上距圆心为

处任一点切应力计算公式。4.公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。

—该点到圆心的距离。

Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。165扭转单位：mm4，m4。③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。对于实心圆截面：D

d

O166扭转对于空心圆截面：dDO

d

167扭转④应力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，结构轻便，应用广泛。168扭转⑤确定最大切应力：由知：当Wt—抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：169扭转三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45

的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。170扭转1.点M的应力单元体如图(b)：(a)M(b)tt´tt´(c)2.斜截面上的应力；取分离体如图(d)：(d)

t´t

tasax171扭转(d)

t´t

tasaxnt转角规定：轴正向转至截面外法线逆时针：为“+”顺时针：为“–”由平衡方程：解得：172扭转分析：当

=0°时，当

=45°时，当

=–45°时，当

=90°时，tt´smaxsmin45°

由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的切应力为最大值；在方向角

=

45

的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。173扭转四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：([

]称为许用切应力。)强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：静载下:[

]=(0.5~0.6)[s](钢)[

]=(0.8~1.0)[s](铸铁)174扭转[例2]功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，

许用切应力[

]=30MPa,试校核其强度。Tm解：①求扭矩及扭矩图②计算并校核切应力强度③此轴满足强度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCmmx175扭转§4–5圆轴扭转时的变形·刚度计算一、扭转时的变形由公式知：长为

l一段等截面杆两截面间相对扭转角

为单位:弧度(rad)176扭转二、单位扭转角q：或三、刚度条件或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。[q]称为许用单位扭转角。177扭转刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。[q]

根据机器要求、轴的工作条件确定。可查手册。精密机器轴：[q]=（0.15~0.30）º/m一般传动轴：[q]=（0.30~１.0）º/m精度不高的轴：[q]=（１.0~２.５）º/m178扭转[例3]长为L=2m

的圆杆受均布力偶m=20Nm/m

的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，G=80GPa

，许用切应力[

]=30MPa，试设计杆的外径；若[q]=2º/m

，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：①设计杆的外径179扭转40NmxT代入数值得：D

0.0226m。②由扭转刚度条件校核刚度180扭转40NmxT③右端面转角为：181[例4]

某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率N1=500马力，输出功率分别N2=200马力及N3=300马力，已知：G=80GPa，[

]=70MPa，[f´]=1º/m

，试确定：①AB段直径d1和BC段直径d2

？②若全轴选同一直径，应为多少？③主动轮与从动轮如何安排合理？扭转解：①图示状态下,扭矩如图

，由强度条件得：

500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)182扭转由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)183扭转

综上：②全轴选同一直径时184扭转

③轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应

该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径

为75mm。Tx–4.21(kNm)2.814185扭转圆轴扭转的超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；几何方程——变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。①②③④⑤186扭转[例5]长为L=2m

的圆杆受均布力偶m=20Nm/m

的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，外径

D=0.0226m，G=80GPa，试求固端反力偶。解：①杆的受力图如图示，

这是一次超静定问题。

平衡方程为：187扭转②几何方程——变形协调方程③综合物理方程与几何方程，得补充方程：④由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。188扭转§4–6非圆截面杆扭转简介非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲成空间曲面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。189扭转一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面的翘曲程度不同。三、矩形杆横截面上的切应力:

h³bht1T

t

max注意！b1.切应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）(纵向纤维长度不变,无s,只有t)（产生s

、t)190扭转2.最大切应力及单位扭转角h³bht1T

t

max注意！bIt—相当极惯性矩。

和

可查表求得。191扭转[例8]一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h=100mm，

b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶T=4000N·m

的作用，钢的G=80GPa

，[

]=100MPa，[

]=1º/m

，试校核此杆的强度和刚度。解：①查表求

、

②校核强度192扭转③校核刚度综上,此杆满足强度和刚度要求。193扭转一、切应力流的方向与扭矩的方向一致。二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（a），厚度中点处，应力为零。§3–9薄壁杆件的自由扭转194扭转三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（b），同一厚度处，应力均匀分布。195扭转四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的切应力计算，在（c）图上取单元体如图（d）。图（c）d1d

xd

2t1t2图（d）196扭转

197扭转[例8]下图示椭圆形薄壁截面杆，横截面尺寸为：a=50mm，b=75mm，厚度t=5mm，杆两端受扭转力偶T=5000N·m，试求此杆的最大切应力。解：闭口薄壁杆自由扭转时的最大切应力：bat198扭转第四章结束材料力学第五章平面图形的几何性质§5–1静矩和形心§5–2极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径§5–3平行移轴公式§5–4转轴公式*主惯性轴主惯性矩第五章平面图形的几何性质§5-1静矩和形心一、面积（对轴）矩：(与力矩类似)

是面积与它到轴的距离之积（用S表示）。几何性质dAxyyx微面积dA对X轴的静矩微面积dA对Y轴的静矩Cor量钢：L3如S=0↔

轴过形心二、组合截面的静矩与形心：整个图形对某轴的静矩，等于图形各部分对同轴静矩的代数和（由静矩定义可知）则∴几何性质例1

试确定下图的形心坐标。解：1.用正面积法求解，图形分割 及坐标如图(a)801201010xyC2图(a)C1C1(0,0)C2(-35,60)几何性质2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)图(b)C1（0,0）C2（5,5）C2负面积C1xy验证：34.7+20.3+5=60几何性质§5-2极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径二、惯性矩：

是面积与它到轴的距离的平方之积。

dAxyyxr一、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。图形对x轴的惯性矩:图形对y轴的惯性矩:图形对O点的极惯性矩:量钢：L4量钢：L4几何性质dAxyyxr三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。如果x或y

是对称轴，则Ixy=0图形对xy轴的惯性积:量钢：L4图形对x轴的惯性半径:图形对y轴的惯性半径:四、惯性半径几何性质§5-3平行移轴公式一、平行移轴定理：以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图dAxyyxrabCxCyC几何性质注意:C点必须为形心同理:图形对某坐标轴的惯性矩,等于它对过形心且平行于该轴的坐标轴之惯性矩加上图形面积与两轴距离平方和的乘积.几何性质例2

求图示圆对其切线AB的惯性矩。解：求解此题有两种方法：一是按定义直接积分；二是用平行移轴定理等知识求。B

建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。AdxyO圆几何性质二、组合截面的惯性矩：组合截面对某坐标轴的惯性矩(积),等于其中各部分对同一坐标轴惯性矩(积)之和.几何性质§5-4转轴公式主惯性轴主惯性矩一、惯性矩和惯性积的转轴定理dAxyyxax1y1x1y1几何性质几何性质二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩1.主惯性轴和主惯性矩：如坐标旋转到

=

0

时；恰好有

则与

0

对应的旋转轴x0,y0

称为主惯性轴。即平面图形对其惯性积为零的一对坐标轴.平面图形对主轴之惯性矩为主惯性矩。几何性质2.形心主轴和形心主惯性矩：形心主惯性矩：若平面图形有两个对称轴,此二轴均为形心主轴;若平面图形有一个对称轴,则该轴为一形心主轴,另一形心主轴过形心,且与该轴垂直.

主惯性轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩.几何性质3.求截面形心主惯性矩的方法①建立坐标系②计算面积和面积矩③求形心位置④建立形心坐标系；求：IyC

，

IxC

，

IxCyC⑤求形心主轴方向

—

0

⑥求形心主惯性矩几何性质例3在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)解：①建立坐标系如图。②求形心位置。③

建立形心坐标系；求：IyC

，IxC

，IxCy

db2dxyOxCyCx1几何性质db2dxyOxCyCx1几何性质结束219第六章弯曲内力材料力学220§6–1引言§6–2剪力和弯矩§6–3剪力图和弯矩图§6–4载荷集度、剪力和弯矩间的关系§6–5按叠加原理作弯矩图§6–6平面刚架和曲杆的弯曲内力弯曲内力习题课第六章弯曲内力221弯曲内力§6–1引言一、弯曲的概念1.弯曲:杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作用时,其轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。2.梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。3.受力特点：外力垂直于杆轴线,力偶作用于轴线所在平面内。4.变形特点：杆轴线由直变弯。2225.工程实例弯曲内力223弯曲内力224弯曲内力6.平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。

对称弯曲（如下图）——

平面弯曲的特例。纵向对称面MP1P2q225弯曲内力对称弯曲——

若梁具有纵向对称面，当所有外力(包括支 反力,力偶)都作用在梁的纵向对称面内时， 这种弯曲称为对称弯曲。

下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。226弯曲内力二、梁的计算简图

梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1.构件本身的简化通常取梁的轴线来代替梁。2.载荷简化作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。3.支座简化227弯曲内力①固定铰支座

2个约束，1个自由度。如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。②可动铰支座

1个约束，2个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。228弯曲内力③固定端

3个约束，0个自由度。如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。XAYAMA4.梁的三种基本形式①简支梁M—集中力偶q(x)—分布力②悬臂梁229弯曲内力③外伸梁—集中力Pq—均布力5.静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。230弯曲内力[例1]贮液罐如图示，罐长L=5m，内径D=1m，壁厚t=10mm，钢的密度为：7.8g/cm³，液体的密度为：1g/cm³,液面高

0.8m，外伸端长1m，试求贮液罐的计算简图。解：q—均布力231弯曲内力q—均布力232§6–2剪力和弯矩一、弯曲内力：弯曲内力[例]已知：如图，P，a，l。

求：距A端x处截面上内力。PaPlYAXARBAABB解：①求外力233ABPYAXARBmmx弯曲内力②求内力——截面法AYAQMRBPMQ∴弯曲构件内力剪力Q弯矩M1.弯矩：M

构件受弯时，横截面上位于轴线所在平面内的内力偶矩.矩心为横截面形心.CC234弯曲内力2.剪力：Q

构件受弯时，横截面上过截面形心且平行于截面的内力。3.内力的正负规定:①剪力Q:绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。②弯矩M：使微段梁产生上弯趋势的为正弯矩；反之为负弯矩。Q(+)Q(–)Q(–)Q(+)M(+)M(+)M(–)M(–)上弯为正左上右下为正235[例2]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。xy解：截面法求内力。

1--1截面处截取的分离体

如图（b）示。图（a）二、数值计算qqLab1122qLQ1AM1图（b）x1弯曲内力2362--2截面处截取的分离体如图（c）xy图（a）qqLab1122qLQ2BM2x2弯曲内力图（c）237梁任一截面上的剪力,在数值上等于该截面一侧所有横向外力的代数和.qqLab1122弯曲内力x2梁任一截面上的弯矩,在数值上等于该截面一侧所有外力(包括力偶)对该截面形心之矩的代数和.238弯曲内力1.内力方程：内力与横截面位置坐标（x）间的函数关系式。2.剪力图和弯矩图：)(xQQ=剪力方程)(xMM=弯矩方程)(xQQ=剪力图的图线表示)(xMM=弯矩图的图线表示§6–3剪力图和弯矩图239弯曲内力[例3]求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。解：①求支反力②写出内力方程PYOL③根据方程画内力图M(x)xQ(x)Q(x)M(x)xxP–PLMO240弯曲内力解：①写出内力方程②根据方程画内力图LqM(x)xQ(x)Q(x)xM(x)x–qL241弯曲内力解：①求支反力②内力方程q0RA③根据方程画内力图RBLQ(x)xxM(x)242弯曲内力一、剪力、弯矩与分布荷载间的关系对dx

段进行平衡分析，有：§6–4载荷集度、剪力和弯矩间的关系dxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)Q(x)+dQ