2021年高考数学1月大数据模拟卷01（山东、海南专用解析版）

I月大数据精选模拟卷01(山东、海南专用)

数学试卷

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.已知集合A={x|x(x—1)40},集合8={R-1<X<1},则AB=()

A.1x|-l<x<l|B.|x|-l<x<01C.|x|-l<x<l|D.{x[0<x<l}

【答案】C

【详解】

因为A={x|x(x—1)K0}={乂0<1},8=何一1<x<1},

所以AuB={X-l<x〈l}.

2.复数」一的共钝复数是()

4z-3

617.617.617.617.

A.11B.-----1C.----11D.------1

2525252525252525

【答案】A

【详解】

3z+2(3i+2)(4i+3)-6+17/617.

因为-----=--------------=--------=--------1,

4z-3(4z-3)(4z+3)-252525

所以其共钝复数是?+?i.

2525

3.淮南市正在创建全国文明城市，某校数学组办公室为了美化环境，购买了5盆月季花和4盆菊花，各盆

大小均不一样，将其中4盆摆成一排，则至多有一盆菊花的摆法种数为()

A.960B.1080C.1560D.3024

【答案】B

【详解】

解：一盆菊花都没有的摆法种数为{=120,只有一盆菊花的摆法种数为960,

则至多有一盆菊花的摆法种数为120+960=1080，故选：B.

4.埃及胡夫金字塔是世界七大奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，现已测得它的塔倾角为52，则

该四棱锥的高与底面正方形的边长的比值为（）（注：塔倾角是指该四棱锥的侧面与底面所成的二面角,

2

D.

45

【答案】B

【详解】

如图所示：

。为正方形A8C。的中心，E为CO的中点,

则CDJ.PE,CDLPO,PEcPO=P,

所以CD_L平面PEO,

所以CDJ.EO，

所以NPEO是侧面与底面所成的角，

则NPEO=52,

设CD=a,PE=h',PO=h，

cos520=—=—

由题意得：，“5,

2

解得/?=—a.

3

5.龙马负图、神龟载书图像如图甲所示，数千年来被认为是中华传统文化的源头；其中洛书有云，神龟出

于洛水，甲壳上的图像如图乙所示，其结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五

方白圈皆阳数，四角黑点为阴数；若从阳数中随机抽取2个，则被抽到的2个数的数字之和超过10的概率

为（）

OCKXXXXXX)/

图甲

【答案】A

【详解】

依题意，阳数为1、3、5、7、9,故所有的情况为（1,3）,（1,5）,（1,7）,（1,9）,（3,5）,（3,7）,（3,9）,

（5,7）,（5,9）,（7,9）,共10种，

42

其中满足条件的为（3,9）,（5,7）,（5,9）,（7,9）,共4种，故所求概率尸=布=不

6.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2^l+^,它表

示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率。取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率5、信道内

部的高斯噪声功率N的大小，其中一叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的I可以忽略不计，

N

按照香农公式，若不改变带宽W,而将信噪比之从1000提升至5000,则C大约增加了（）

N

附：脸”0.3010

A.20%B.23%C.28%D.50%

【答案】B

【详解】

将信噪比一从1000提升至5000时，

N

Wlog(1+5000)-Wlog(1+1000)

C增加比率为22

Wlog2(l+1000)

lg5000IglOOO

log25001-log21001lg2lg2

logJ001〜igiooo

~怆2

匕盛X0.23=23%.

3

7.已知点尸是边长为1的正方形ABC。所在平面上一点，满足PA-(PB+PC+PD)=0,贝的最

小值是()

AV5—V2„x/2—l\[5—V2n\[2—I

3322

【答案】A

【详解】

解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0),5(1,0),C(l,l),0(0,1),

设尸(x,y),则以=(—x,—y),=x,—y),

PC=(l-x,l-y),PD=(-x,1-y)=>PB+PC+PD=(2-3x,2-3y),

由题意知：(一x)(2-3x)+(—y)(2-3y)=(),

,半径为r=也的圆上,

3

又pq表示圆上的点到P的距离,

8.已知函数〃%)=炉+3%3+%+2,若“a)+/(a-2)>4,则实数”的取值范围是()

A.(-oo,l)B.(-oo,2)C.(1,+℃)D.(2,+<x>)

【答案】C

【详解】

解：根据题意，设g(x)=,f(x)—2=/+3/+%，其定义域为R,

贝iJgl—x'M-lV+SxS+x'n-glx),贝ijg(x)为奇函数，

又由g'(x)=5/+9d+l>0,则g(x)在R上为增函数,

故/⑹+%-2)>4=%)-2>-4-2)+2=>%)-2>-[仆-2)-2]

=g(a)>-g(a-2)=g(a)>g(2-a),必有a>2-a.

解得4>1,即4的取值范围为

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知曲线C:"a?+〃）尸=1（）

A.若根=0,〃>0,则C是两条直线

B.若加=〃>0,则C是圆，其半径为薪

C.若〃2>〃>0,则C是椭圆，其焦点在X轴上

D.若mn<0，则。是双曲线,其渐近线方程为y=±

【答案】AD

【详解】

,1

对于A,若相=0,〃>0，则C:〃y2=1即y=±一尸，为两条直线，故A正确；

y/n

对于B,若加=〃>0,则C:f+y2=_l,所以C是圆，半径为L,故B错误;

nVn

对于C,若〃2>〃>0,则0<，<4，

mn

.£2；,212,i

所以C：〃a2+〃y2=i即rL.-j-十1一】为椭圆，且焦点在y轴上，故C错误；

mn

匕=1

对于D,若WV0,则I.J_j_一为双曲线,

mn

1

〃+

且其渐近线为＞=土-TX--故D正确.

m

7t}

10.若函数/（x）=Asin（①x+夕）；A＞0,ty＞0,lel＜不的部分图像，如图所示，则下列说法正确的是（）

\乙）

71

A.^6

B.函数/（x）的图像关于x=?对称

函数〃尤）的图像关于点W，o卜寸称

C.

rr

D.X€一于°时，“X）的值域为

【答案】ABD

【详解】

由图像可知A=2,/(0)=2sine=l,即sine='，

jrIT

因为|°|＜一，所以0=三,

26

3TCn5n_./._\

--=---F2攵7T,(攵£Z),

--4---0)~\63v7

8

1.69=2+§左&£Z），

2乃37r2

周期7=一＞一,.•.（）＜口＜一,即0=2,

co43

f（x）=2sin（2x+5],

jr

对于A,夕=一,正确；

6

（兀\九71

对于B,/-=2sin-=2,故图像关于x=二对称，正确;

16J26

对于D,xG一［,0时，2%+，所以/(%)《［—2,1］,正确；

_2J6|_66」7

11.已知。>(),/?>(),且/+〃=2,则下列不等式中一定成立的是()

A.ab<\B.-+-<2C.lg(7+lg/?>0D.a+h<2

ab

【答案】AD

【详解】

cih<————=1>(Q+Z?)=储+A?+2〃。W2(/+匕~)=4==>Q+b«2,「.A,。都成立.

又•.•当a=_L,/,=立时，-+->2,此时B不成立.

22ab

又：怛。+坨/?=3。b40,；.。不成立.

12.己知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分

数转换区间为(60,300］,若使标准分X服从正态分布N(180,900),则下列说法正确的有().

参考数据：①尸(〃一bvX<〃+b)=0.6827；②尸(〃-2cr<X<〃+2cr)=0.9545；③

P(//-3cr<X<//+3b)=0.9973

A.这次考试标准分超过180分的约有450人

B.这次考试标准分在(90,270］内的人数约为997

C.甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为:3

O

D.P(240<X<270)=0.0428

【答案】BC

【详解】

选项A；因为正态分布曲线关于x=180对称，

所以这次考试标准分超过180分的约有Lxl000=500人，故本说法不正确；

2

选项B：由正态分布N(180,900),可知：A=180,cr=30,

所以P(90<XW270)=P(180-3x30<XW180+3x30)=0.9973,

因此这次考试标准分在(90,270]内的人数约为1000x0.9973U997人，故本说法正确；

选项C：因为正态分布曲线关于X=180对称，

所以某个人标准分超过180分的概率为L,

2

11劣

因此甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为。；(一)2(1—-)=-,故本说法正确；

228

选项D：由题中所给的公式可知：

P(90<X<270)=P(18()-3x30<X<180+3x30)=0.9973,

P(120<X<240)=P(180-2x30<X<180+2x30)=0.9545,

所以由正态分布的性质可知：

P(240<X<270)=g[P(90<XW270)-尸(120<XW240)]=g(0.9973-0.9545)=0.0214,所以

本说法不正确.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.倾斜角为?的直线过双曲线。：?-丁=1的焦点，且与双曲线C交于A,B两点,则|AB|=,

【答案】2y/3

【详解】

由双曲线C：]_—y2=l标准方程可知：a=百*=1,所以有°=归行=反1=2，

因此焦点的坐标为。20),由双曲线的对称性不妨设，直线A3过右焦点(2,0),

7T

所以直线AB方程方程为y-0=(tan一)•(x-2)=y=x-2,与双曲线联立得：

4

2

二一=1

2

<3'=>2x-12x+15=0,设A。］,%),B(x2,y2),

因此有：玉+々=6,芯工2=~，

22

所以|=J1+(tan—)?|西-x2\=>/2-+x2)-4x,x2=0x^6-4x^=26.

14.将数列｛2〃+l｝与｛4〃—3｝的公共项从小到大排列得数列｛《,｝,则an=.

【答案】4〃+1

【详解】

解:因为数列｛2〃+1｝是以3为首项，以2为公差的等差数列，

数列｛4“—3｝是以1首项，以4为公差的等差数列，

所以这两个数列的公共项所构成的新数列｛4｝是以5为首项，以4为公差的等差数列，

所以｛。,｝的通项公式为4=5+(〃-1)4=4"+1,

15.古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个

数学发现.如图，一个“圆柱容球”的儿何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该

22

图中，球的体积是圆柱体积的一，并且球的表面积也是圆柱表面积的一，若圆柱的表面积是6〃，现在向

33

圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为.

【详解】

2

设球的半径为r,则由题意可得球的衣面积为4万户=§x6万，••.r=1，

AG

...圆柱的底面半径为1，高为2,...最多可以注入的水的体积为乃XFX2——x%xF=」.

33

16.下列命题中正确的序号是.

①已知函数1)的图象关于直线X=2对称，函数/(X)为奇函数，则“X)是一个周期为4的函数;

②函数/(X)=一1+J1-＞和y=JE+J匚工都是既奇又偶函数;

③已知对任意的非零实数X都有+=2x+l,则/(2)=-1

④函数在/(x)在(。,切和3,c)上都是增函数，则函数/(%)在(a,c)上一定是增函数.

【答案】①③

【详解】

①因为函数f(x-l)的图象关于直线x=2对称，所以f(x)的图象关于直线x=l对称

所以/(x)=/(2—x),因为函数/(x)为奇函数，所以——(一1)=/(2-％)

所以一/(幻=/(2+幻，所以/(x)=/(4+x)

所以4是f(x)的一个周期；故正确

②函数f(x)=JZW+JT^=O,其定义域为｛LT｝，满足/(-x)=-/(x)=/(x),所以函数既是奇

函数乂是偶函数，

y=JE+F工的定义域为｛1｝,所以函数既不是奇函数又不是偶函数，故错误；

③已知对任意的非零实数x都有/(%)+2/1_)=2x+1,利用赋值法令:代替x,

所以七(l卜A2个)丁?1,解得，⑺42x1

则/(2)=-g：正确.

④函数/(x)在(a,句和S,c)上都是增函数，若/(%)在x=b处不连续，则/(%)在(a,c)上不一定单调递增,

故错误；

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在ABC中，AB=-,b=币，，求BC边上的高.在①sinA=亘；②sinA=3sinC；

37

③a-c=2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个

解答计分.

【详解】

解：选择①，

,a币

在ABC中，由正弦定理得——二——，即正J一百，

sinAsin8

72

解得4=2,

由余弦定理得〃=a2+c2—2accosB，即7=2"+c"-2x2xcx-,

2

化简得。2一2G-3=0,解得c=3或c=—l(舍去)；

所以BC边上的高为h=csinB—3x^~二.

22

选择②，

在A5C中，由正弦定理得一J二」一，

sinAsinC

乂因为sinA=3sinC,所以---二--—,即Q=3C；

3sinCsinC

由余弦定理得力2=a^_^_c2-2accosB，

即7=(3c)2+c2-2x3cxcx—,

2

化简得7/=7,解得c=l或c=—1(舍去)；

所以边上的高为/i=csinB=1xY3=.

22

选择③，

在ABC中，由Q—c=2,得a=c+2；

由余弦定理得。2=々2+《2一加0cos8，

即7=(C+2)2+C2-2X(C+2)XCX，

2

化筒得+2c—3=0，解得c=l或c=—3(舍去);

所以BC边上的高为人=csinB=1xY3=.

22

18.己知等比数列｛4｝中，2a4—34+%=0,且4=(，公比

(1)求明；

(2)设｛。“｝的前九项和为7；,求证g〈7；＜l.

【详解】

(1)由已知得：2q2-3q+l=0nq=^!■或q=l(舍去)，

所以…出=(升

,ifi-fiYl.

(2)因为q=g,q=；,所以］:2(12)乙

2

因为丁=［；)在R上为减函数，且y=(；)＞0恒成立，

所以当〃GN*,时，o＜［g)=；，

所以卜骞=1一,卜.

19.某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A,B实验地分别用甲、乙方法培育该品种花

苗.为观测其生长情况，分别在A,B试验地随机抽选各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合

评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗.

(1)求图中〃的值，并求综合评分的中位数；

(2)用样本估计总体，以频率作为概率，若在A,B两块实验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的

优质花苗数的分布列和数学期望；

(3)填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关.

优质花苗非优质花苗合计

甲培育法20

乙培育法10

合计

【详解】

(1)由0.005xl0+0.010xl0+0.025xl0+axl0+0.020xl0=l,

解得a=0.040.

令得分中位数为x,由0.020x10+0.040x(90-x)=0.5,

解得x=82.5.

故综合评分的中位数为82.5.

(2)由(1)与频率分布直方图，

优质花苗的频率为(0.04+0.02)x10=0.6,即概率为0.6,

设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为X,则,

p(x=o)=c；x[2]=_§_；p(x=i)=c：x3x[2]=至；

'，3⑸125'，35⑸125

P(X=2)=C；x(|Jx|喂；p(x=3)=C；x1|j喂.

yyD1ND\/1ND

其分布列为:

X0123

8365427

P

125125125125

39

所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望EX=3xg=].

(3)结合(1)与频率分布直方图,

优质花苗的频率为(0.04+0.02)X10=0.6，

则样本中，优质花苗的颗数为60棵，列联表如下表所示:

优质花苗非优质花苗合计

甲培育法203050

乙培育法401050

合计6040100

可得KJ幽幽亚史人16.667>6.635・

60x40x50x50

所以，有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系.

20.如图，四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点尸是PB

的中点，点E是边BC上的任意一点.

(1)求证：AF±EF；

(2)求二面角A—PC—8的平面角的正弦值.

【解析】

试题解析：(1)证明：是尸8的中点，且PT=zL8，AF_PB.

'：△P.1B与△上山均是以X为直角顶点的等腰直角三角形,

,•PA_AD,PA-.AB.

••JDri，18=K，.4Z>u平面平面ASO

Ha一平面J5C0.

；3。<=平面,伤8，/.PAIBC.

••四边形X5CZ)是正方形，BC-.IB.

•,24。，必=，九尸du平面RIS,一45u平面PIS，

••BC一平面上

••月Fu平面215，六BC_AF.

•­PBCBC=B，尸8u平面尸SC,BCu平面尸BC,

••平面尸BC.

••Mu平面尸3C，，XF_EF.

(2)解法1：作FH_PC于H，连接，田,

•••MF_L平面PBC，产Cu平面PBC•••AF_PC.

：KFnm=F，dFu平面，疔H,FHu平面AFH，

尸CL平面H.

：平面，如H，六PC_AH.

...NAHF为二面角A-PC-B的平面角.

设正方形X5CD的边长为2,则PT=,1B=2,AC=Wi，

在RtA尸且g中，在RtAPAC中，

PA-AC246

PC==2道，

PC一亍

在中，sinZ.4J/F=-=—.

AH2

所以二面角X-PC-3的平面角的正弦值为也.

7

解法2：以K为坐标原点，分别以，切尸所在直线为x轴，N轴，z轴，

建立空间直角坐标系A-xyz,设产K=1,

则尸(0,0」),5(0,10),C(LL0),Z>(LQ0).

.,•丽=(0JT)，5C=(L050).

设平面尸3c的法向量为/=Go,由，t三°,得；‘z°,

--!?MBC=05I.X=0.

令y=l,得Z=l，•••布=((U1)为平面P3C的一个法向量.

,/EJ_L平面,45C。，HTu平面P4C，；•平面P4c一平面J5CD.

连接AD，则AD_XC.

平面H4Cn平面X5CD=dC，BDu平面X5CD，

•••3。一平面尸XC.

二平面B4C的一个法向量为丽=(L-LO).

设二面角，一尸C-3的平面角为8,

则cos0=H哂卜墙4

•*,sin9=Jl-cos~e-

•••二面角力-尸。-3的平面角的