2022年高考真题-数学（浙江卷）+含解析

2022年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)

数学

姓名准考证号

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至3页；非选

择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.

考生注意：

1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填

写在试题卷和答题纸规定的位置上.

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作

答，在本试题卷上的作答一律无效.

参考公式：

如果事件A,B互斥，则柱体的体积公式

P(A+5)=P(A)+P(B)V=Sh

如果事件A,8相互独立，则其中S表示柱体的底面积，〃表示柱体的高

P(AB)=P(A)-P(B)锥体的体积公式

若事件A在一次试验中发生的概率是p,则总欠V=；Sh

独立重复试验中事件A恰好发生2次的概率其中S表示锥体的底面积，人表示锥体的高

P,(k)="(1-p)\k=0,1,2,...,〃)球的表面积公式

台体的体积公式5=4万R?

V=1(s,+J甄+邑)〃球的体积公式

4

其中加,§2表示台体的上、下底面积，

h表示台体的高其中R表示球的半径

选择题部分(共40分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A={1,2},8={2,4,6},则AD3=()

A.{2}B.{1,2}C.{2,4,6}D.

1

{1,2,4,6}

【答案】D

【解析】

【分析】利用并集的定义可得正确的选项.

【详解】AUB={1,2,4,6},

故选：D.

2.已知a,bwR,a+3i=S+i）i（i为虚数单位），则（）

A.a=l,b=-3B.a=-1,0=3C,a=—!,£>=-3D.

a=\,b=3

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数相等的条件可求从

【详解】a+3i=-l+历，而。力为实数，故。=一1力=3,

故选：B.

x—220,

3.若实数x,y满足约束条件<2x+y-740,则z=3x+4y的最大值是（）

x-y-2<0,

A.20B.18C.13D.6

【答案】B

【解析】

【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线z=3x+4y后可求最大值.

【详解】不等式组对应的可行域如图所示：

2

当动直线3x+4y-z=0过A时z有最大值.

由：r八可得:，故A（2,3）,

2x+y-1=0[y=3

故Zmax=3x2+4x3=18,

故选：B.

4.设xeR,则“sinx=l"是"cosx=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充

分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.

【详解】因为sin2_x+cos2x=l可得：

当sinx=l时，cosx=0,充分性成立；

当cosx=0时，sinx=±l,必要性不成立；

所以当xeR,sinx=l是cosx=0的充分不必要条件.

故选：A.

5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：cn?）是（）

3

1

c2216

A.22兀B.8兀C.----71D.

33

【答案】C

【解析】

【分析】根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的

几何体，即可根据球，圆柱，圆台的体积公式求出.

【详解】由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的

半径，圆柱的底面半径，圆台的上底面半径都为1cm,圆台的下底面半径为2cm,所以该

几何体的体积

V=-X—7txl3+jtxl2x2+-x2x(7rx22+7rxl2+ylnx22xnxl2\cm3.

6.为了得到函数y=2sin3x的图象，只要把函数y=2sin[3x+]J图象上所有的点()

IT7[

A.向左平移1个单位长度B.向右平移二个单位长度

IT71

C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度

4

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求ill.

(Tt\71(无、

【详解】因为y=2sin3x=2sin3x----+—,所以把函数y=2sin|3x+1]图象上

v1575\57

的所有点向右平移△个单位长度即可得到函数y=2sin3x的图象.

故选：D.

7.已知2"=5,log83=>,则上3=()

255

A.25B.5C.—D.-

93

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数式与对数式的互化，幕的运算性质以及对数的运算性质即可解出.

【详解】因为2"=5，^=log83=1log23,即23:3,所以

L叽半=(2〃)[52J5

型329-

故选：C.

8.如图，已知正三棱柱480—446,40=44],E,尸分别是棱BC,4G上的点.记EF

与A4所成的角为a,Eb与平面ABC所成的角为夕，二面角/一BC—A的平面角为7,

贝1J()

A.«</?</B./3<a<yC.P<y<aD.

5

a<y</3

【答案】A

【解析】

【分析】先用几何法表示出。，B，y，再根据边长关系即可比较大小.

【详解】如图所示，过点E作FPJ_AC于P,过产作于连接PE,

则a-Z.EFP,B-NFEP,y-FMP,

PEPE八门FPAB、、

tana-=----W1,tanB-=21,ta”=旦旦ta”,

FPABPEPEPMPE

所以

故选：A.

9.已知a,OeR,若对任意xwR,a|x-b|+1x—41-12x-51»0,则()

Aa<l,b>3B.a<l,b<3C.a>l,b>3D.

a>\,b<3

【答案】D

【解析】

【分析】将问题转换为a|x一人以2x-5|-|x-4|,再结合画图求解.

【详解】由题意有：对任意的xeR,有-8以2x-5|一|x-4卜恒成立.

6

1—X,xW一

2

设/(x)=a|x_/?|,g(x)=|2x-5|-|x-4|=<3x-9,—<x<4,

2

x-l,x>4

即/(x)的图象恒在g(x)的上方(可重合)，如下图所示:

故选：D.

10.已知数列｛。"｝满足％=1,。叶］则()

7

A.2<1006f<—B.5Vl。。“100<3C.3<100。］而)<—I).

1lf0w0)21002

7

5<10001Go<4

【答案】B

【解析】

【分析】先通过递推关系式确定｛q｝除去%,其他项都在(0,1)范围内，再利用递推公式

7

111111,小

变形得到--------=-——>-,累加可求出一>丁（〃+2）,得出IO。4。。，再利用

%an3-a„3an3

111111、

1+

亍=3〃+ij,累加可求出

〃+2

11，再次放缩可得出lOOqoo>|.

4------F,••H----

%3、)323n

2

【详解】易得生=]€（0，1），依次类推可得（0,1）

1311

------------------=-------1------------

由题意，an+l,即一

4+i为(3-。“)a,3-an'

--1-----1-=-1-----1〉一

。,用43-an3'

111111111——>\(»>2),

即丁----------->；,

a4a333

11Z

累加可得一一即—>彳(〃+2),(〃>2),

a”s%3

3J,I。。.®",

a<--------,（«>2）,即。仙

"n+23410034

11111+—!—

--------=------<--------,(n>2)

又。,用%3-a„3L~3九+1

〃+2

1121111+1

<—_L_J_1

334?3用

J____l_j_

<用…,

a„3

1,14.•+力,…,

累加可得——1<-(z«+--+I"

%332

1,cc111IIx4+|x94j<39,

---------1<33+-----1------F•••H------<33+-

Goo323993

8

即一<40,a>—,即1004no>*；

100

aiQ040侬2

综上：—<IOOHIQQ<3.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分.

11.我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三

斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是

S=-C2a2-（C'+a'~b'],其中a,b,c是三角形的三边，S是三角形的面积.设

n〔2〃

某三角形的三边4=&,。=百,c=2,则该三角形的面积S=

【答案】叵.

4

【解析】

【分析】根据题中所给的公式代值解出.

1(c2+n2-h2

【详解】因为S=V-Lc2a2-12,所以

<4+2-3?

4x2-I2,

故答案为：叵.

4

12.已知多项式（%+2）（尤一I），=/+。/+。212+。313+。4/+。5/，则

?2=,Q]+%++%+〃5=

【答案】①.8②.-2

【解析】

9

【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令x=0求出为，再令x=l

即可得出答案.

【详解】含X2项为：r(2：/-(—1)3+2«1/.(-1)2=-4/+12/=8/,故4=8；

令x=(),即2=旬，

令1=1,即0=4+q+。2+。3+。4+。5，

q+七+%+4+4=—2，

故答案为：8；—2.

13.若3sina-sin/?=Ji6,a+/?=],则sina=,cos2(3=

【答案】①.宜见②.-

105

【解析】

【分析】先通过诱导公式变形，得到。的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型

函数方程，可求出a,接下来再求

【详解】a+13=^,sin/?=cosa,即3sina-cosa=而，

艮耐醇na噜。sa'g令sin*噜,cos"噜,

则VI5sin(a-。)=:.a-9=%+2k兀,keZ,即a=8+l+ZATr,

...(心»，、q3>/10

・・sincc—sin，H----F2Avr=cos0=-------,

I2)10

、»4

则cos2〃=2cos~/7-l=2sin~6Z-l=—.

故答案为：主叵；

105

—+2,x<1,

14.已知函数/(x)=<1若当三£[a,b]时,

XH-----1,X>1,

、X

l</(x)<3,则〃—a的最大值是—

10

【答案】①.右②.3+6##石+3

【解析】

【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出〃的最小值,8的最大值即可.

【详解】由已知吗)=一月+2=；,/(/=.+厂」而,

所以“(孙能

当时，由lK/(x)<3可得1<一/+243,所以-IWXWI，

当X>1时，由lK/(x)K3可得14％+'-143,所以1<%42+有，

X

1</(无)43等价于一14x42+6,所以［a,句屋［一1,2+6］,

所以人一。的最大值为3+括.

37

故答案为：—,3+^3•

15.现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，

记所抽取卡片上数字的最小值为4,则P(4=2)=,E(4)=.

【答案】,②.—##1-

3577

【解析】

【分析】利用古典概型概率公式求P©=2),由条件求J分布列，再由期望公式求其期望.

【详解】从写有数字122,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有C；种取法，其中所抽取的卡片

匕的数字的最小值为2的取法有C；+C；C：种，所以P©=2)=2c4=,

由已知可得J的取值有1,2,3,4,

喑啜22)啜

，上=3)增=2，%=4)=、$

11

口-,,j八，15c16c3.112

所以E(J)=lx--i-2x---F3X--i-4x一=一

353535357

从科田二1612

故答案为：—,—.

357

r22b

16.已知双曲线=v=1（4>08>0）的左焦点为尸，过F且斜率为一的直线交双曲线于

a'h-4a

点A（%，X）,交双曲线的渐近线于点8（々,%）且大<0<龙2.若1用1=3|£4],则双曲

线的离心率是.

【答案】巫

4

【解析】

h

【分析】联立直线A8和渐近线4：y=-x方程，可求出点3,再根据|阳|=3|用|可求

a

得点A,最后根据点A在双曲线上，即可解出离心率.

bbb

【详解】过尸且斜率为一的直线A6:y=—（x+c）,渐近线/,:y=-x,

4a4aa

y=—(x+c)/,x/_,x

联立而，得B”,会)，由|依=3|EA|,得谭

b<33a)\99aJ

y=­x

Ia

右上人4工25c2b2c2,妙,亘c281的“，、诙376

而点A在双曲线上，于是13----------T—z-1>解得：—r=—,所以离心率e=-----

81a28142b2a1244

故答案为：巫.

4

12

17.设点P在单位圆的内接正八边形44…4的边A4上，则再S+%?+…+忒的

取值范围是.

【答案】[12+20,16]

【解析】

【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，44所在直线为X轴，4A所在

直线为y轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设P(x,y),再根据平面向量模

的坐标计算公式即可得到阳;+丽。…+回彳=8(/+/)+8,然后利用

cos22.5Y|0P区1即可解出.

【详解】以圆心为原点，44所在直线为X轴，AA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

如图所示：

则

13

AA

4（0,1）,A2fj,3（1,o）,,圣，-与，A（o,-i），4-等，-孝），4（-1,0）,

4，设P（x,y）,于是PA+PA2+…+尸4=8（x?+y?）+8,

I22J

因为cos22.5Y|OP区1,所以l+c；45+故而；+丽；+…+丽;的取值

范围是[12+20,16].

故答案为：[12+272,16].

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

3

18.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=J^c,COsC=g.

（1）求sinA的值;

（2）若Z?=ll,求AABC的面积.

【答案】（1）—；

5

（2）22.

【解析】

【分析】（1）先由平方关系求出sinC,再根据正弦定理即可解出；

（2）根据余弦定理的推论cosC="一十"一'二以及4a=也©可解出。，即可由三角形面

2ab

积公式S='absinC求出面积.

2

【小问1详解】

34r-

由于cosC=g,0<C<7T,则sinC=g.因为4〃=后0，

由正弦定理知4sinA=逐sinC，则sinA=-^-sinC=.

45

【小问2详解】

2m16211Q~

因为4g=不小由余弦定理，得「a2+b2-c20+121-yfl3,

cosC=----------=-----------——=-----=一

2ab22a2a5

14

4

即。2+6a—55=0，解得a=5,而sinC=y,b=ll,

114

所以AABC的面积S=—a/?sinC=—x5xllx—=22.

225

19.如图，已知ABC。和。£>£尸都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,A8=5,DC=3,

EF=1，ZBAD=ZCDE=60°,二面角F—£>C—8的平面角为60°.设M,N分别为

AE,BC的中点.

（1）证明：FNLAD；

（2）求直线8M与平面ADE所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵巫

14

【解析】

【分析】（1）过点E、。分别做直线OC、AB的垂线EG、DH并分别交于点G、H,

由平面知识易得FC=8C,再根据二面角的定义可知，Z.BCF=60.由此可知，

FNA.BC,FNLCD,从而可证得RV_L平面A8CD，即得FN_LAO；

（2）由（1）可知平面A8CO,过点N做A3平行线NK,所以可以以点N为原

点，NK,NB、NF所在直线分别为工轴、）'轴、z轴建立空间直角坐标系N一孙z,求

出平面A0E的一个法向量，以及丽，即可利用线面角的向量公式解出.

【小问1详解】

过点E、。分别做直线OC、A8的垂线EG、并分别交于点交于点G、H.

•.•四边形A3C。和EFCO都是直角梯形，AB//DC,CD//EF,AB=5,DC=3,EF=1,

N84£>=NCDE=60°,由平面几何知识易知，

15

DG=AH=2,ZEFC=ZDCF=NDCB=ZABC=90°,则四边形EFCG和四边形

DCS”是矩形，，在RjEGZ)和RQfJHA，EG=DH=2心

VDCYCF,DC1CB,且CFcCB=C,

DC，平面BCF,ZBCF是二面角F-DC-B的平面角，则NBCF=60，

...△3CE是正三角形，由OCu平面ABC。，得平面ABC£>_L平面BCF,

•；N是8C的中点，，RV_L3C,又。CJ•平面BCF,FNu平面BCF,可得

FN1.CD,而BCcCD=C,；.FN工平面ABCD,而ADu平面ABCDFNLAD.

【小问2详解】

因为/W_L平面ABC£>,过点N做A3平行线NK,所以以点N为原点，NK,NB、NF

所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系N-盯z,

(也3

设4(5,瓜0),5((),V3,0),D(3,-V3,0),E(l,(),3),则M3,-,-

r.8必=(3,—直,,印方=(-2,-273,0),DE=(-2,6,3)

22

设平面ADE的法向量为n=(%Xz)

n-AD=Q,2x-2何=0

,v取元=(石,-1,6),

n-DE=0-2x+百y+3z=0

设直线BM与平面ADE所成角为6,

云•丽56_5币

'•sin0=|cos(n,BM^=I71

|ii\-BM|币2&14-

16

4

20.已知等差数列｛为｝的首项q=-1,公差d>l.记｛4｝的前〃项和为

（1）若54—2。2%+6=0,求S“；

（2）若对于每个〃wN*，存在实数%,使。“+%,4+|+4%，4+2+15。“成等比数列，求

d取值范围.

【答案】（1）S“二吧25GN*）

（2）\<d<2

【解析】

【分析】（1）利用等差数列通项公式及前〃项和公式化简条件，求出"，再求S"；

（2）由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求d的范围.

【小问1详解】

因为SL2a2a3+6=0,a,=—1,

所以T+6d—2（—1+4）（—l+2d）+6=0,

所以解一3[=0，又d>l,

所以4=3,

所以a“=3〃-4,

所以S=（…）"=,

"22

【小问2详解】

17

因为a,+%,an+l+4c„,a“+2+15c,成等比数列，

所以(%+4c„)2=(。,+c,)(a.+2+15%),

—1+4c,J=(-l+〃d-a+c“)(-l+m/+4+15c“)，

c：+(14J-8〃d+8)q,+/=(),

由已知方程c；+(14〃-8〃d+8)q,+筋=()的判别式大于等于0,

所以△=(14d—8m/+8)2—41220,

所以(16d—8加+8)(124—8加+8)20对于任意的〃eN*恒成立，

所以[(〃一2)。一1][(2〃一3"一2]“对于任意的〃—*恒成立，

当〃=1时，[(〃-2)。-1][(2“一3"—2]=(。+1)(4+2"0,

当〃=2时，由(2d—2d—1)(44—3d—2)20,可得d«2

当〃23时，[(n-2)J-l][(2/?-3)^-2]>(n-3)(2n-5)>0,

又。>1

所以1<4W2

21.如图，已知椭圆三+：/=1.设A,8是椭圆上异于P(0,l)的两点，且点。在线

段A3上，直线PAPB分别交直线>=一3％+3于C,。两点.

(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;

(2)求|CD|的最小值.

【答案】(1)空叵；

11

18

(2)述.

5

【解析】

【分析】(1)设Q(26cos6,sin6)是椭圆上任意一点，再根据两点间的距离公式求出

|PQ『，再根据二次函数的性质即可求出;

(2)设直线45:y=Ax+；与椭圆方程联立可得MWd+Z，再将直线旷=-；1+3

方程与24、的方程分别联立，可解得点的坐标，再根据两点间的距离公式求出

\CD\,最后代入化简可得|C£>|=苧•喂由柯西不等式即可求出最小值.

【小问1详解】

设Q(2百cos。,sin6)是椭圆上任意一点，P(0,D,则

|PC|2=12cos2+(1-sin6>)2=13-11sin26»-2sin6»=-111sin(9+—+义里

1111

当且仅当sin6=-工时取等号，故|PQ|的最大值是凶1.

1111

【小问2详解】

1r2

设直线48:y=取+],直线A3方程与椭圆忘+：/=1联立，可得

k

%-------r

k2+-

112

^2+—|x2+fcc--=0,设4(%,凹),35,必)，所以,

12J43

xx

t2NX

M—11I

因为直线PA:y=--x+1与直线y=——x+3交于。

~2

4X14x.4x4X

!!?7

则Xc=--------=-------,同理可得，xD=2=------------.贝7I]J

人」cx+2y—2(24+1)菁一]"JDx2+2y2-2(2Z:+l)x2-T

19

|8|=

(2左+1)玉一1(2k+l)x2-1

275Xj-x2

(2%+1)*X1%2—(2攵+1)(x+w)+1

[(2Z:+1)X1-1][(2^+1)X2-1]

16+1〉664攵x—+1x1

3亚J16r+16754述,

।-------------w------------X

2伙+1|59+1—5保+1|

当且仅当％=得时取等号，故|CD|的最小值为华.

【点睛】本题主要考查最值计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解

决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的

综合能力要求较高，属于较难题.

22,设函数/(x)=f-+ln尤(x>0).

lx

(1)求f(x)的单调区间；

⑵已知a,0eR,曲线y=/(x)上不同三点(%,/(网)),卜2，/(工2))，(%3，/(*3))处的

切线都经过点3,勿.证明：

(i)^a>e,则0cb-/⑷<gQ—1］；

2e-a112e-a

(ii)若0<a<e,%<%<尤3,则［+<—+—<_~.

(注：e=2.71828…是自然对数的底数)

【答案】(1)/(%)的减区间为(0,|),增区间为(］,+8)

(2)(i)见解析；(ii)见解析.

【解析】

【分析】(1)求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.

(2)(i)由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立,

(ii)左=么，加=@<1,则题设不等式可转化为

再e

20

2-m+12)

tx+t3-2--<-------生------—,结合零点满足的方程进一步转化为

m36/〃(八+幻

13)(/n2-m+\2\

lnm+-——-——厂J-------^<0,利用导数可证该不等式成立.

72(m+1)

【小问1详解】

，(加一各卜第，

当0cx<■!，/<x)<0；当x〉"!，用》)>0,

故〃x)的减区间为(0,热，/(X)的增区间为［J,+8.

【小问2详解】

(i)因为过("/)有三条不同的切线，设切点为(玉,/(七))/=1,2,3,

故一。)，

故方程/(x)-Z?=/'(x)(x-a)有3个不同的根,

该方程可整理为u)(\e

ci)-------Inx+/?=0,

2x

设ga)=(D(-卜e,.

-----inx+P

2x

,x1e(1eY、1e

则g(尤)=_―T~r+--2+~\(x~a)――+TT

x2x~\xx)x2x~

=T(x-e)(x-a),

当0<x<e或x>a时，g«x)<()；当e<x<a时，

故g(x)在(O,e),(a,+x))上为减函数，在(e,a)上为增函数，

因为g(x)有3个不同的零点，故g(e)<0且g(a)>。,

e，八1e\e

故e-ax)-———lne+〃<0且a-a\-------lna+b>0,

a2cr2a

21

整理得到：6<幺+1且〃>£+lna=/(a),

2e2a

此时匕-小)―(尸)唠+1-得+lna1?

设〃(。)=3----Intz,则/(〃)=©2?<0,

'，22。''2"

3e

故〃(。)为(e,+8)上的减函数，故M(a)<]一相-lne=O,

故。

(ii)当0<a<e时，同(i)中讨论可得：

故g(x)在(O,a),(e,+x))上为减函数，在(a,e)上为增函数,

不妨设X1<x2<X3,则。VX]<Q<工2<e<X3，

因为g(x)有3个不同的零点，故g(a)<0且g(e)>0,

整理得到：—+l<h<—+\na,

2e2e

因为玉v9<W，故0vX]<av&ve<七，

又g(x)=l-丝‘="-Inx+Z7,

''x2x2

设r=£,-=We(