2022年吉林省长春市高考仿真模拟数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.将函数y=sin2x的图像向左平移（p（（p＞0）个单位得到函数y=sin2x+-的图像，则。的最小值为（）

6

5万

T

2.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说:

甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）

A.丙被录用了B.乙被录用了C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了

3.已知斜率为-2的直线与双曲线。：*-二=1（。＞0力＞0）交于A8两点，若M（Xo，Y））为线段4B中点且

a~h~

kOM=-4（。为坐标原点），则双曲线C的离心率为（）

A.75B.3C.73D.

5.宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦）,

每一卦由三根线组成（“一”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）.从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴

线的概率为（）

6.已知双曲线=人＞0)的左、右焦点分别为6，F,点尸是C的右支上一点，连接与y轴交于

ab2

点M,若忻O|=2|OM|(。为坐标原点)，PFJPF2,则双曲线C的渐近线方程为()

A.y=±3xB.y=+\/3xC.y=±2xD.y=±5/2x

7.如图，在三棱柱ABC-A4G中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4AA=8.若£,尸分别是棱8月，CC

上的点，且BE=BR5乏«,则异面直线解与,所成角的余弦值为()

克B.叵C.叵D.巫

10131310

8.若/(x)是定义域为R的奇函数，且/(x+2)=—/(x),则

A.“X)的值域为RB./(X)为周期函数，且6为其一个周期

C.7(x)的图像关于x=2对称D.函数/(X)的零点有无穷多个

9.已知向量寸=(1,-2),5=(3,—1),则(

A.a//bB.aA.bC.a//(a-b)D.5±(a-b)

10.设双曲线=-1=1（a>0,Z>>0）的一个焦点为尸（c,0）（c>0）,且离心率等于石，若该双曲线的一条渐近

Q-b

线被圆好+产-2cx=0截得的弦长为2石，则该双曲线的标准方程为（）

r2222

A.-——上=1B.土-工=1

20525100

c2

Dfi

C.上上=117.------=1

520525

11.已知二（二），口（口）都是偶函数,且在［0,+8）上单调递增,设函数二（二）=二（二）+二。一二）一|二（二）一二。一二）|,

若二〉0,贝I」（）

A.二（一二）2二（二）且二。+二）之二。一二）

B.二（一二）之二（二）且二。+二）W二。一二）

C.二（-二）三二（二）且二。+二）2二。-二）

D.二（一二）三二（二）且二。+二）=二。一二）

12.执行如图所示的程序框图若输入〃==，则输出的”的值为（）

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知集合4={%|%=2k+l,ZwZ},3={x|x（x—5）<0},则=.

x+2y-3＞0

14.若实数x,y满足不等式组＜2x+y-3»0,则2x+3），的最小值为.

x+y-3＜Q

15.（5分）有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列，已知前三个和

尚的身高依次成等差数列，后三个和尚的身高依次成等比数列，且前三个和尚的身高之和为45（）cm,中间两个和尚的

身高之和为315cm,则最高的和尚的身高是cm.

16.已知（2x-l）7=%+a|X+4*2+…+“7*7,贝I]。2=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

九=]+COS（D

17.（12分）在平面直角坐标系X。）,中，曲线。的参数方程为'|.।（。为参数）.在以坐标原点为极点，工轴

y-|sin（p\

的正半轴为极轴的极坐标系中，直线/的极坐标方程为。sin（6-看）=3.

（1）求曲线。的普通方程及直线/的直角坐标方程；

（2）求曲线C上的点到直线/的距离的最大值与最小值.

18.（12分）已知椭圆C：0+/=1（。＞人＞0）的左、右焦点分别为6，F2,离心率为:，且过点

（1）求椭圆C的方程；

7T

（2）过左焦点6的直线,与椭圆C交于不同的A,3两点，若NAKB=5,求直线/的斜率A.

19.（12分）已知矩形A8CQ中，AB=2BC=4,E,尸分别为AB,CD的中点.沿EF将矩形用‘。折起，使

ZAEB=\35°,如图所示.设尸、。分别为线段。尸，BC的中点，连接PQ.

（1）求证：PQ〃平面DEB；

（2）求二面角A-3七—。的余弦值.

20.（12分）记S“为数列｛4｝的前〃项和，2s“一凡=白（〃GN"）.

（1）求4,+4+1；

（2）令2=。,什2-4,证明数列｛2｝是等比数列，并求其前〃项和7“.

x=3+2coscu

21.(12分)已知曲线C的参数方程为＜,..(。为参数)，以直角坐标系原点为极点，以*轴正半轴为极轴并

y=l+2sma

取相同的单位长度建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；

(2)若直线I的极坐标方程为sin6-2cos。=’，求曲线C上的点到直线/的最大距离.

P

29

厂》2

22.(10分)已知椭圆C:=1(«>/?>0)的上顶点为B,圆C':X+；/=4与＞轴的正半轴交于点4,与。有

且仅有两个交点且都在C轴上，改=走(。为坐标原点).

\OA\2

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点。(-l,g)，不过。点且斜率为的直线/与椭圆。交于M,N两点，证明：直线DW与直线ON的斜

率互为相反数.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可.

【详解】

将函数V=sin2x的图象向左平移＜p((p＞0)个单位,

得至ljy=sin2(x+(p)=sin(2x+2(p),

TT

此时与函数y=sin(2x+z)的图象重合，

6

jrjr

贝2(p=2k7t+—,即°=+—,keZ,

612

TT

・・・当左=0时，。取得最小值为*=一，

12

故选：B.

【点睛】

本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键.

2.C

【解析】

假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.

【详解】

解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，

若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，

若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，

综上可得甲被录用了，

故选：C.

【点睛】

本题考查了逻辑推理能力，属基础题.

3.B

【解析】

设4（西,弘）,8（々,必），代入双曲线方程相减可得到直线AB的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到。力的等式，求

出离心率.

【详解】

k-21--4

%

卜22

q-/=1

设4（%,芦）,8（林必），贝〃、匕,

五_五=1

L2b2

两式相减得（…”2）_（…）”）=0,

ab

222

.k_bXx.+x^_bx0_b（b-lb

••KAB-----—R,---------7--~~~>:.r=8,r.e=Jl+r=3.

%一%2a~Noa'Va2Va2

故选：B.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入双曲线方程

相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系.

4.B

【解析】

图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。

【详解】

/（-x）="A'+Sin^-V）=-A+SinV=-f（x）,故奇函数，四个图像均符合。

1+X1+无

当xw（O,;r）时，sinx>0,y=----—>0,排除C、D

1+x

v4-einX

当xe（肛2万）时，sinx<0,y=:〉0,排除A。

1+x~

故选B。

【点睛】

图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。

5.B

【解析】

根据古典概型的概率求法，先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数，再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本

事件数，代入公式求解.

【详解】

从八卦中任取两卦基本事件的总数〃=C；=28种,

这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种,

分别是（巽，坤），（兑，坤），（离，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮）,

所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是〃=&=《.

故选：B

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

6.C

【解析】

利用三角形△。/耳与AP/p相似得归浦=2归周，结合双曲线的定义求得。也c的关系，从而求得双曲线的渐近线

方程。

【详解】

设耳(―c,0),F2(C,0),

由忻O|=21|与\PF2F相似,

\F.O\P£....

所以=—，=2,即1电11=21仍局21，

\OM\仍用

又因为归制-归周=2°,

所以|P用=4a,|P周=2a,

所以4c2=16/+4/，BPc2=5a2,b--Aar»

所以双曲线C的渐近线方程为v=±2%.

故选：C.

【点睛】

本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力。

7.B

【解析】

建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线AE与AR所成角的余弦值.

【详解】

依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设AB的中点为。，建立空间直角坐标系如下图所示.所以

A（0,-2,8）,E（0,2,4）,A（0,-2,0）,网一2后,0,6）,所以电=（0,4,-4）,/=（一26,2,6）.所以异面直线4£与

~………A^EAF8-24726

AE所成角的余弦值为।j।—■]=-7=----7=~~rr-

河.|叫472x271313

故选：B

【点睛】

本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题.

8.D

【解析】

运用函数的奇偶性定义，周期性定义，根据表达式判断即可.

【详解】

/(x)是定义域为R的奇函数，贝11/(一x)=-/(x),/(0)=0,

又/(x+2)=-/(x),/(x+4)=-f(x+2)=/(%),

即/(%)是以4为周期的函数，/(必)=/(0)=0(左GZ),

所以函数“X)的零点有无穷多个；

因为/(x+2)=-/(x),/[(x+l)+l]=/(-x),令f=l+x,则/。+1)=/(1-，)，

即/U+1)=/(1-x),所以“X)的图象关于％=1对称，

由题意无法求出了(%)的值域，

所以本题答案为D.

【点睛】

本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断得出结论是关键.

9.D

【解析】

由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论.

【详解】

•.•向量a=(1,-2),5=(3,-D,.•.方和5的坐标对应不成比例，故万、5不平行，故排除A

显然，万=3+2和，故万、5不垂直，故排除8；

...万一6=(-2,-1),显然，。和汗一石的坐标对应不成比例，故不和乙-5不平行，故排除G

•••万•(方一万)=-2+2=0>故a-L(汗一5)，故。正确，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题.

10.c

【解析】

由题得2=百，・*,=b7c2-5,又/+〃=c2,联立解方程组即可得“2=5,02=20,进而得出双曲线

ayJa+b'

方程.

【详解】

由题得e=£=&①

a

又该双曲线的一条渐近线方程为区一0=0,且被圆X2+J2-2cx=0截得的弦长为2不，

be=b=&2-5

所以不淳②

又储+/=(?③

22

由①@③可得：a=5,b=20,

22

所以双曲线的标准方程为土-匕=1.

520

故选：C

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.

11.A

【解析】

试题分析：由题意得，二（二）=,二?二一"二二;1it二），

._[2=（；+二），二（二）=二（一二）＞=（；+=）_（21（2-二），二（二）＞二（/一二）

..一、-J一12匚（一二），二（二）=二（一二）〈匚Q+二）'一"1一12二（二），匚（二）〈匚。一匚）'

v-＞o,/.（□+1）3-（0-=4n＞o,:.\i+n\＞\n-i\^□（;+□）＞□（/-o）,

...若二（二）＞二。+匚）：口（一匚）=2匚。+二），二（二）=2匚（/一二），.•.二（一二）＞二（匚），

若二（/一二）M匚（二）M二Q+匚）：二（一匚）=2匚（一二）=2二（匚），二（二）=2匚（/-二），，二（一匚）々匚（匚）,

若二（二）〈二（/一匚）：二（一二）=2二（一二）=2二（匚），二（二）=2匚（二），...二（一二）=二（二），

综上可知二（一二）之二（二），同理可知二。+二）2二。一二），故选A.

考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.

【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致二与1+二大小不明确的讨论，

从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通

常先在原点一侧的区间（对奇（偶）函数而言）或某一周期内（对周期函数而言）考虑，然后推广到整个定义域上.

12.C

【解析】

由程序语言依次计算，直到。<匕时输出即可

【详解】

程序的运行过程为

25_

n12

222

53j_

a21

222

u

bln-0In2ln-

222

当〃=2时，l>ln2；〃=9时，—<In—,此时输出〃=°.

2222

故选：C

【点睛】

本题考查由程序框图计算输出结果，属于基础题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.{1,3}

【解析】

由集合A和集合B求出交集即可.

【详解】

解：［•集合A={x|x=2左+l,ZwZ},8={x|x（x-5）<。},

/.Ac3={1,3}.

故答案为：{1,3}.

【点睛】

本题考查了交集及其运算，属于基础题.

14.5

【解析】

根据题意，画出图像，数形结合，将目标转化为求动直线纵截距的最值，即可求解

【详解】

x+2y-320

画出不等式组（2x+y-3>0,表示的平面区域如图阴影区域所示，

x+y—3<0

2I

令z=2x+3y,则y=-§x+§z.分析知，当x=l,y=l时，z取得最小值，且Zmin=5.

【点睛】

本题考查线性规划问题，属于基础题

15.181.5

【解析】

依题意设前三个和尚的身高依次为qcm,a2cmM3cm,第四个（最高）和尚的身高为qcm,则4+4+/=3%=450,解

得％=150,又％+4=315,解得弓=165,又因为成等比数列,则公比4=}=瑞=口，故

4-a、q=165x1.1=181.5.

16.-84

【解析】

根据二项展开式的通项公式即可得结果.

【详解】

解：（2x-l）7的展开式通式为：&=3（2%广（-1丫

当r=5时，q=G（2x）2（—1）5=-84/，

则%=-84.

故答案为：-84

【点睛】

本题考查求二项展开式指定项的系数，是基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)C:(%-l)2+y2=l,(y>0),/:x—百/+6=0(2)最大值最小值1

【解析】

元=]+COS(D

(1)由曲线。的参数方程j；,=卜皿同，得以^夕=%-1,丁=同114两式平方相加求解，根据直线/的极坐标方程

psin^--j=3,展开有psingT_Qcosgg=3

再根据y=夕Sine,X=QCOSe求解.

(2)因为曲线c是一个半圆，利用数形结合，圆心到直线的距离减半径即为最小值，最大值点由图可知.

【详解】

x=1+cos/

(1)因为曲线C的参数方程为〈

y=|sin(p\

所以coso=x-l,y=bina

两式平方相加得：(x—iy+y2=i,(y20)

因为直线/的极坐标方程为夕sin(e-^J=3.

所以psinO^--pcosf)~=3

所以y^--x—

=3

22

即x-6y+6=0

(2)如图所示:

所以圆上的点到直线的最小值为：dmm=d—r=l

2+35

则点M(2,0)到直线的距离为最大值：＜ux=—=-

【点睛】

本题主要考查参数方程，普通方程及极坐标方程的转化和直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解

的能力，属于中档题.

18.(1)—+^-=1(2)直线/的斜率为&=之互或攵=一上互

4377

【解析】

⑴根据已知列出方程组即可解得椭圆方程；

⑵设直线方程y=1),与椭圆方程联立，ZAF2B=转化为可糜=0,借助向量的数量积的坐标表示，及韦

达定理即可求得结果.

【详解】

c_1

~a~2,

(1)由题意得，a2=b2+c2,

19.

a=2,

解得＜b=6,

C=l,

22

故椭圆C的方程为上+^=1.

43

（2）直线/的方程为〉=左（》+1）,

设A（士,y）,8（尤2，%），

22

土+匕=1

则由方程组，43消去y得,

y=々（x+1）

（3+422产+842%+4妤—12=0,

4左2-128女2

所以再超=———,X,+x=------，

3+4左21223+止

TT-------------------►

由=得gA•鸟3=0,

所以豆•哥=（玉_1）（々-1）+%%=0，

又y%=K（X[+1）（%2+1）=/[%々+（%+々）+1]

所以（1+左2）%]尤2+（42—1）（X1+/）+左2+1=0,

即一川-

.9

所以22=',

7

因此，直线/的斜率为&=地或々=一地.

77

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程,考查直线和椭圆的位置关系，考查学生的计算求解能力，难度一般.

19.（1）证明见解析（2）立

3

【解析】

⑴取OE中点R,连接PR,8R,可知ADEE中,PR〃庄且PR=gEE,由Q是8C中点，可得则有8Q/PH且

BQ=PR，即四边形BQPR是平行四边形，则有PQ//BR，即证得PQ//平面DEB.

（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：m=（-JI。,1）,E=（0,0,1）然后利用空间向量的相关结论可求得二

面角A—8E—£＞的余弦值.

【详解】

（1）取OE中点R,连接PR,BR,

则在△。瓦'中，PR//FE,S.PR=-FE,

2

又Q是BC中点，所以BQ=LBC=、EF,

22

而且BQ//EF,所以

所以四边形BQPR是平行四边形，

所以PQ//BR,

又PQtZ平面D£B,BRu平面DEB,

所以PQ〃平面。防.

（2）在平面ABE内作EG_L8E交于点G,以E为原点，EG,EB,EF分别为x,,x轴,

建立如图所示的空间直角坐标系,

则各点坐标为E（0,0,0）,5（0,2,0）,D（V2,-V2,2）,

所以砺=（0,2,0）,丽=（行,-6,2）,

设平面BED的一个法向量为m-（x,y,z）,

则m-ED=0,\41x-42y+2z=Q

m-=0,1y=0

取z=l,得前=卜血,0,1）,

又平面43E的一个法向量为3=（0,0,1）,

严r\mn1

所以cos（/〃,〃）=,tr..r.=—j=—=—

所以'/卜雨国13

因此，二面角A—跖一。的余弦值为立

【点睛】

本题考查线面平行的判定，考查利用空间向量求解二面角,考查逻辑推理能力及运算求解能力，难度一般.

20.(1)—=$(2)证明见详解，＜=：一击

【解析】

(1)根据2s“一凡=白，可得2S,用-。用=£，然后作差，可得结果.

(2)根据(1)的结论，用〃+1取代〃，得到新的式子，然后作差，可得结果，最后根据等比数列的前“项和公式,

可得结果.

【详解】

(1)由25"一4=9r①，则2s"+]-a“+i=£②

②-①可得：2。,用一。“+|+《，=9•一击=一:

叱，，1

所以4：+4+1=-笠

(2)由(1)可知：4+a“+i=—3③

则%+1+。，，+2=一击④

④-③可得:=_击_(_£)=击

则〃，=/，且2+1=土

1

1b勺〃+21

令〃=1,则伪=：,-^=^—=1

42J_2

所以数列也｝是首项为:

,公比为■的等比数列

2

【点睛】

本题主要考查递推公式以及S“,4之间的关系的应用，考验观察能力以及分析能力，属中档题.

21.(1)22_6pcos6-2psin6+4=0,表示圆心为(3,1),半径为2的圆；(2)罢+2

【解析】

(1)根据参数得到直角坐标系方程(X-3)2+(y-1)2=4,再转化为极坐标方程得到答案.

(2)直线方程为y-2x=l,计算圆心到直线的距离加上半径得到答案.

【详解】

x=3+2cosa,、2,、2o

⑴<.—.，即(x—3)-+(y_l)-=4,化简得到：x2+/-6x-2y+4=0.

y=l+2sinav7v7

即22-6pcos6-2psin6+4=0,表示圆心为(3,1),半径为2的圆.

(2)sin。-2COS6=L,即y—2x=l,圆心到直线的距离为d=$=述

PV55

故曲线C上的点到直线/的最大距离为"+厂=述+2.

5

【点睛】

本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.

2V2

%证明见解析

22.