62不等式的证明(一)课件

1、作差比较法的依据：（实数的运算性质）作差比较法的步骤：作差——变形——定号（差值的符号）——结论

6.2不等式的证明1、比较法2、作商比较法的原理及步骤：步骤：作商——变形（化简）——判断（商值与实数1的大小关系）——得出结论例1.已知都是正数，并且

，

求证：

证明：∵

都是正数，∴

又∵即：1.综合法的定义：

利用已知条件和某些已知证明过的不等式（例如平均值定理）和不等式的性质等推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．2.综合法证题方法：

由已知推出结论，证明思路是“由因导果”．这里已知可以是已知条件、已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性质.用综合法证明不等式的逻辑关系用综合法证明不等式的逻辑关系是：A

B1

B2

…

Bn

B(A为已知的或已经证明过的不等式，B为要证的不等式)．即综合法是“由因导果”．

2.综合法3.用综合法证题过程中要适当将原不等式变形，使其转化为易证的不等式.

4.运用不等式的性质和已证过的不等式时，要注意他们各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误.

例2.已知a,b,c

R+,求证：三式相加得2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(a2bc+ab2c+abc2)=2abc(a+b+c)

用分析法证证明的格式是：欲证命题B为真，只需证命题B1为真，只需证命题B2为真，……只需证命题Bn为真，只需证命题A为真，已知命题A为真，故命题B为真。用简要的形式写为：B

B1B2……BnA

结论（寻求不等式成立的充分条件）条件或已知的不等式

分析法的思路是“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知的不等式为止。3分析法例4.已知a>b>c，求证：只需要证明∵a>b>c∴a

c>0，a

b>0,b

c>0证明一：为了证明4、放缩法5、反证法、6、判别式法、7、构造法8、换元法、利用均值不等式放缩求证：lg8·lg12＜1

而lg96＜lg100=2∴lg8·lg12＜1.放缩法证明：∵lg8＞0，lg12＞0说明：本题应用对数函数的单调性利用不等式平均值，不等式两次放大，使不等式获证。将分子分母放大或缩小放缩法放缩法通过配方放缩放缩法例、设a+b+c=1,且a、b、c∈R+,求证证明：（方法一）a、b、c∈R+①+②+③得∵a+b+c=1∵a+b+c=1例、设a+b+c=1,且a、b、c∈R+,求证∵a+b+c=1∴

原式成立

例、设a+b+c=1,且a、b、c∈R+,求证求证：已知0<a,b,c<2，则a(2-b),b(2-c),c(2-a)不可能都大于1反证法证明：假设a(2-b)>1,b(2-c)>1,c(2-a)>1∵0<a,b,c<2∴2-b>0,2-c>0,2-a>0①+②+③得：∴3<3矛盾故原式成立

设为实数，求证：a2+b2+ab+1>a+b判别式法证明：记f(a)=a2+b2+ab+1-(a+b)=a2-(1-b)a+b2-b+1∴f(a)>0∴a2+b2+1+ab-a-b>0∴a2+b2+ab+1>a+b构造函数法换元法证明：换元法除了上面的三角换元，还有代数换元小结不等式证明常用方法①比较法

②综合法