2022-2023学年奥数专家点拨小学五年级下册《从不定方程的整数解》试题附答案

状元必读专家点缓

小学五年级下册数学奥数知识点讲解第7课《从不定方程的整数解》试题附答案

第七讲从不定方程1/n=1/x+1/y的整数解谈起

对于形如工的方程，寻找整数x、y使之满足方程，称为求不定方

nxy

求不定方程的整数解.这里n是取定的一个自然数.对于方程

^•=—+—>(1)

oxy

显见x=y=12是一个整数解.还有没有别的解？如何求解？有人凭直觉能看

出一些解来，但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题。

由!=1+工，两边减去1,得：

oxyx

111

---=一：

6xy

通分：因此丫=空，这里x-6大于o.为了使右端的分数形

式更简明，我们不妨把x-6看成一个整体，即令t=x-6,那么x=t+6.因此

、=6x（：+t）=9+6,由于混整数，上式右边也是整数，所以等也

必须是整数，这样我们推知：t是62的因数（约数）。

由于是求不定方程2=1+工的整数解，这样，原先“漫无边际”的找两

6xy

个未知数X、y的困难问题，转换成找简单的62的因子t的问题了.

一个完全平方数的因子必然是奇数个，如公有因子6、1和36,2和18,3和

12,4和9.6称为自补的因子.后面的2和18等都称为互补因子，这样，不妨记

为：

*11

t0=6,t,=1,t,=36；t-=2,t.'=18st,=3,t,=12jt.=4,

r2z-2

t4'=9也即一=、J…，一=tj,

x=6+t,y="+6=”+6,

1

_=的所有解表示成卜石+6+1t

i，

6

这里t和t'是236的互补因子（当t=t，=6时自补因子也包括在内），

所以

g=1+JL的全部整数解为:

6xy

n11111

t=环=6,/谈----+-----

6+66+6

1_11

t1=1,t{=36,—+一

6742岛+木）

(Kr点

111f11

t=3,q=12,

36918{6+36+12

111

t=4,t；=9,—=--+---

461015岛+舟

由于一地位对等，1=1­的解与99台颖情况我们都看

成一种了。

以上情况推广到一般情况：求不定方程

（2）</PGN0195.TXT/PGN>

nxy

的整数解，只要找出n2的全部成组互补因子t和t，，则

111小

-=----+------（3）

nn+1n+t'

就可得到全部解。

例如，求不定方程：

111

__=_+_

12xy

（即n=12）的整数解，首先分解122=（22-3）2=24-32,它的因子根

据分解式的结构特点可以排成一个表。

2°21222324

3°124816

3136122448

329183672144

按照互补或自补因子配对有：（1,144）,（2,72）,（3,48）,

（4,36）,（6,24）,（8,18）,（16,9）,（12,12）。

所以.」+工共有8种解产的因在个数+1

=8

12xy2

11111111

--+-----+----+--;--+--

13156148415601648

11111111

--+--;-----+-----f----+------9+

1836203021282424

以上是讨论上■工+2的全部解自然会想到如果把上式的,再分解成两彳

nxyx

“单位分数”（分子为1分母为整数）的和，那么我们相当于求：

mxyz

的整数解，例如求解

可以利用己经解过的：=11的5种解，再把其中士分解成~+~,例如|=

6xyyyzo

±+±=±+1+±,如此等等。

121212742X

总之，求解工=2+工+工也是有路可循的了.特别，如n是质数，n=p,

nxyz

11111

——=—+--=-----H----丁.除了P=2以外，p+1是合数.再分裂RT例如

p2p2pp+1p+p

111

，利用（p+D2有因子1和（p+1）2,因此-----=------+---------------5-，

p+lp+2(p+l)+(p+l)2

1111

=---+--------+-------------⑷

PP+2p(p+l)(p+l)(p+2)

11

例如，1=1+^+^=1+±+±,

353x44x551220

1111111

-=-+----+-----=-+--+---

575义66x773042

1111111

-=-H------+----=—++

797x88x995672

在这些基本训练基础上，我们很容易把整数1分拆为若干个单位分数之

和。

分成两部分，唯一方式：1=：+£,

分成三部分，只有3种方式：明显的有1=：+；+：,先有1=£+，再

借用：1111

-----F-----=-----+-----这两种分解形式（因为2?有互补因子

2+12+42+22+2

（1,4）,（2,2）.可有

244236

并且可断言只有这三种形式.为证明这一论断，先介绍“推广的抽屉原

理''（称之为平均值原理更确切）：一个（正）数，分放于几个抽屉中，必有

一个抽屉内存放的数大于或等于平均值注意，这里的数不局限于整数）

1分拆为三个单位分数之和，必有一部分而>:的单位分数只有

只有1和:不妨设则1=1或工问题转化成：

23xyzx2x3

1111111

1=7；+—+—或l=q+—+—。

2yz3yz

对于前一种情况，再用推广的抽屉原理，工中，不

22yzyz

妨设，必有一个》;工只有。和13两种情况（显然1声J）.对于

yz4y43y2

y=［和，，分别必有L2和J.归类成1=<+；和1=J+J+J的情况。

34z64236244

对于后一种情况，1-?=1+工，同样用推广的抽屉原理，有又

3yzy2

所以;=4由|」+工得工=当；=；，也归类成三种形式之中.

yx3333yzz333

故推断正确。

在某些问题研究中，并不要求马上找出全部解，只要能将一个单位分数分

拆为两个单位分数之和即可，这里我们介绍另一种技巧，先看

111

--------F-------⑸

nn+1n(n+1)

（我们这里是在讨论单位分数问题时用到（5）式.其实（5）式又可以改

变形式写成：

111

_________，=__—____

n(ti+1)nn+1

它在计算中也有巧妙应用，为保持原问题讨论的连续性，它的具体应用请

看习题）。

公式（5）在将整数1分裂成若干个单位分数和的求解中，用起来很方便.

例如可将1分裂为3个分母不等的单位分数之和。

而且，只要不计较分母太大看起来不直观，我们可以把1分裂成任意多个

单位分数之和，如

1=1+；（2项）

=—+ii）

236

=—+—+—+—（4项）

24126

111111

=—+—+——+——+—+——（6项）

252012742

(8项)

2630201285642

J+LLLL—+L」(9项)

263020129725642

1111111111

=—+—+--+---+---+---+---+---+---+---（10项）。

263020121090725642

如果要求你用两种不同的方式把1写成10个单位分数之和，你不妨在分裂成

11

9项时，另选一种方式用公式1----+-----,--如-选奈奈焉，即可。

nn+1n(n+1)

11

实际上，公式1=----+--------只是最初讲的工=1+工=」一+二下的

nn+1n(n+1)nxyn+1n+1

特殊情况，只是才&?的互补因子选为1和r而已所以基本功在于工=工+工的

nxy

分解。

上述基本分解还有一种简便一些的算法，它不必分解n2的因子，而只要

求分解n的所有因子，还以数字12为例：=-+把12（注意不是1221

12xy

）的所有因子由小到大排列：1、2,3、4、6、12,6个因子任取2个配成

一个组合，共有15种：

(1,2),(1,3),(1,4),(1.6),(1,⑵

(2,3),(2,4),(2,6),(2,⑵

(3,4),(3,6),(3,⑵

(4,6),(4,⑵

(6,12)

对于每一组合（a,b）,写成1=。+=，则有:

a+ba+b

1ab

12-12(a+b)+12(a+b)

11

=----------------------------+--------------------------

(-)(a+b)卓)(a+b)

ab

11(231

例如（2.3）__=___xI____+____

1212{2+32+3,

----+------'_+--

6x54x53020

所以白=工+工^15种方式，但这里有重复，如由Q,2）配出的

12xy1212x（1+2）

和由（2,4）配出的焉1=^^三2万+4是相同的.只要在因子的配组中筛去这

种情况即可.

以上讨论相应于不定方程111对于其他分数形式的不定方程，分

nxy

子不是1的，例如

211

_=_+_

3xy'

一般同学都可"猜''出'T+L当然还有";+L

3Z0555

那么请问是否只有两种方式？答：是.理由呢？因为由推广的抽屉原理，

1和1中至少有一个",(l=lx(|)),也即至少有一个或为〈，或

xy33232

为!从而归于两种形式那么难度再增加一些，对不定方程垓=1+1求整数

35xy

求整数解呢？

用“灵感来凑叫卜言二上?V+：是一种解，最容易的是!•=,

3311ID5J

那么还有第三种解吗？

用推厂的抽屉原理分析：称2分拆一成.两个部分，当士11时，,(不妨设

5xy

设工〉工，即x<y)必有工〉葭工只有2种可能从而

xyx5x(x52/34

-=I4>或1=29,合理情况只有在前一种中的一种，所以

y53y54y15

卷」+工的整数解只有春=;+聂99白两种。

5xy5555315

五年级奥数下册：第七讲从不定方程1/n=1/x+1/y的整数解习题

习题七

_1=_1+_1

1.求不定方程5矛V的全部整数解。

J_=

2.求不定方程而一9+歹的整数解中，使x+y为最小以及最大的两组解。

____1__=―1――__1__

3.应用公式〃8+D«万+1（5）,证明：

111199

+—+-------+・・・+--------------=------

n<22x33x499x100100o

4.证明:

11111111111117

1+—+---+--------+-----+----+----+----+-----++-----+------

36101521283645556678911051208O

---=—+—+—

5.求不定方程1°xyz的整数解，你能求出全部整数解并证明再没

有别的角吗？

6.计算

1111

------------+-------------+------------+・・・+---------------------

1x2x32x3x43x4x598x99x100

五年级奥数下册：第七讲不定方程1/n=1/x+1/y的整数解习题解答

习题七解答

1

*1_1=_1+_1=+_一

■51010630

2.3M=22X3X2,为找出它的全部因子，我们这里介绍“字典法则”:

:

2o.3°•5°=1,20.30.J幻=工，，20・3°•5=25,

20•31•5°=3,2。.31.5E5,20•31•5=75,

20•32•50=9,2。.32♦51=45,2。•32*5W225,

2-3。*50=2,21•3。♦5』10,21•3°♦5三50,

21•31•50=6,21.3-5i=30,21*31*5:=150,

21•32♦5y8,2】♦32♦5』90,21•32•5750,

22・30・5°=4,22.3。♦5』20,22♦30♦52=100,

22•31•5M2,22•31•5』60,22•31•5：=300,

2222

2：..5°=36,2•3•5F80,2•3•52=900,

大家都知道英语字典排序规则，先有a部，再看第二个字母的顺序，第二个

字母相同时，看第三个字母的顺序，等等.这里因子的嘉值正好借用作顺序编

号.(当然上题每个因子恰好是2次嘉，如别的也一样，如：23X22X51的因子

字典法排序为：

2°•3°•5°,2°•3°,5°,

2°♦31•50,2°•31•51,先排2。的有6个

‘再排2’的也有6个

2°•32•5°,2°•32•51,

21•3°•5°,21•3°•51

23•3°•5°,23•3°•51

最后2s的也有6个

23•31•5°,23•31•51)共有4X3X2=24个.)

23•32♦5°,23•32•51

回到本题，302的27个因子从小到大按方向“二1”排序为：

：123456910121518202530

A木木+木A*AllAAA,,

:90045030022518015010090756050453630

其实只要排出30以下，另一头用30；的互补因子即可，利用

—_____4.______—4.

30-30+t30+tz~77

立即知x+y=6f.现在问题转化成求廿f的最大最小值问题了.这里要求小

学生会联想和类比，大家知道等积问题的一种结论：面积固定的长方形中，正

方形的周长最小.或者两数乘积不变的情况下，两数相等时和最小。

现在t♦t'=302固定，要山，最小，当然是E1=30,所以最小为120。

那么x+＞最大，也即60+t+t最大，经前面t,t排成二行的表一看就知为

60+900+1=961。

3.按照公式7二•二1-一、可得：

n(n+1)nn+1

1_111_11

1^2=1~2'2^3=2~3

1_11111

3x1-3-45，99x100-99~100

因此

----+-----+-----++---------

1x22x33x499x100

11111

=1—十一—+——+■■+----+------

22334989999100

1_99

100-WO

11J11111111

4.—+—，--+__=_—__

36101523212834

111111111111

364545'5566561789167’

11_11

W5+120=7-8

因此

11±±1±±±1±±111

3+6+10+15+21+28+36+45+55+66+78+91105120

17

1_=--

88

5.首先设x4£z,因为显然不会有x=y=z的解.由推广的抽屉原理:

公片闫4

...12<x<y=4+1,

又因必须是整数，所以x可能的值只有：2、3、4。

Zcn71111

①如有=2,io-^=5=7+7*

利用前面知识52只有两组互补因子（1,25）,（5,5）,所以推知利

Z）只有两组解：L昌十条

2___L=21=JL1

②如X2=3,

10x230yz

运用推广的抽屉原理。

2+且=史＜《包=5+上

y为整数,

30y601111y1111

••.y可能取值为：3、4、5.

1111111所以鸿

如y=3,_=___=__白是一组解。

30y30330

如'=4,**白在焉%要求为数，所以要排除y=4。

11111工=?是一组解。

如y=5,__—_=,

30y30ri-所以卜提z