2023-2024学年福建省宁德市一中高三上学期第一次检测数学试题及答案

第1页/共6页宁德一中2024届高三第一次考试数学试题本试题卷共5页、22题.全卷满分150分.一、单选题(每题5分，错选不得分，共40分)A.Vx∈R,x²>1BC.3x∈R,x²≤12.已知全集为R,集合A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形C.D.A.0.999B.0.9第2页/共6页6.已知函在R上单调递增，则实数m的取值范围是()A.m≤-3B.-3≤m≤-1C.m≤-1D.m≤-3或m≥-1的取值范围是()二、多选题(每题5分，错选不得分，部分选对得2分，共20分)10.下列命题中正确的是()A.数据1,2,3,4,5,6,7,8的第25百分位数是2第3页/共6页11.如图，正方体ABCD-A,B₁C₁D,的棱长为2,若点M在线段BC₁上运动，则下列结论正确的是A.直线AM可能与平面ACD,相交B.三棱锥A-MCD与三棱锥D₁-MCDC.△AMC的周长的最小值为8+4√2的体积之和为D.8是函数f(x)的一个周期13.已知函数y=f(x)的图像在x=2处的切线方程是y=3x+1,则f(2)+f'(2)=,且不等式恒成立，则实数m的取值范围为15.某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于120的概率是16.在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,底面△ABC是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接第4页/共6页球的表面积为15π,则该三棱锥体积的最大值为17.已知全集U=R,非空集合,(2)命题p:x∈A,命题q:x∈B,若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.(1)求实数a,b的值；19.民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献.某农民专业合作社为某品牌服装进行代加元，根据市场行情，该农民专业合作社为这一品牌服装每代加工一件服装，可获得12元的代加工费.(1)求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润y(单位：万元)关于年代加工量x(单位：万件)的函数解析式.(2)当年代加工量为多少万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大?并求出年利润的最大值.20.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.(3)设用Y表示甲学校的总得分，比较DX和DY的大小(直接写出结果).21.如图所示，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.第5页/共6页(2)若PA=AB=6,BC=3,在上(不含端点),是否存在点D,使得二面角B-AD-C的余弦值为若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由.(1)求实数a的取值范围；第1页/共25页宁德一中2024届高三第一次考试数学试题本试题卷共5页、22题.全卷满分150分.120分钟.一、单选题(每题5分，错选不得分，共40分)【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是特称(存在)量词命题可得答案.【详解】因为全称量词命题的否定是特称(存在)量词命题，所以命题“Vx∈R,x²>1”的否定是“3x∈R,x²≤1”.2.已知全集为R,集合【答案】C【解析】【分析】第2页/共25页所以真子集个数为7.多边形的形状为()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】B【解析】【分析】把截面AEF补形可得利用四点共面可得.【详解】解：如图，把截面AEF补形为四边形AEFD,连接AD,BC,因为E,F分别为BC,CC的中点，则EF//BC,又在正方体ABCD-ABC₁D₁中，AD₁I/BC所以EF//AD,则A,D,F,E四点共面.则平面AEF截正方体所得的截面多边形的形状为四边形.第3页/共25页【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性排除D,再取特值x=1,x=2排除AB.【详解】因为x∈[-2,2],关于原点对称，,5.某地区居民的肝癌发病率为0.1%,现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的.已知患有肝癌的人其化验结果99.9%呈阳性，而没有患肝癌的人其化验结果0.1%呈阳性，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是()A.0.999B.0.9【答案】C【解析】率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件A:某人患肝癌，事件B:化验结果呈阳性，由题意可知,,,第4页/共25页现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是6.已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围是()A.m≤-3B.-3≤m≤-1【答案】A【解析】【分析】根据分段函数解析式，分别在坐标系画出分段函数两个函数图象，结合图象可得满足函数f(x)在R上单调递增时实数m的取值范围.在R上单调递增，当m≤-3时能满足.7.如图，正方体ABCD-A,B₁C₁D₁的棱长为2,点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB₁CC的边界及其内部运动.若D,O⊥OP,则△D₁CP面积的最大值为()第5页/共25页Bc.√5D.2√5【答案】C【解析】【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用，考查了线面垂直的判定与性质，关键是找到点P的轨迹，属于中档题.的取值范围是()A.(e,+∞)B.[2e【答案】A【解析】【分析】对函数变形，利用导数研究函数的单调性及图象，把原函数有3个不同的解转化为【详解】;第7页/共25页,根据根的分布得,【点睛】关键点睛：复合方程解的个数问题的解题策略为：首先要能观察出复合的形式，分清内外层；其次要能根据复合的特点进行分析，将方程问题转化为函数的交点问题；最后通过数形结合的方式解决问【答案】BD【解析】【分析】作出函数图象，根据图象逐个分析判断即可第8页/共25页f(a)=1→-a²+2a+1=1f(x)=min{f(0),f(2)}=1,f(x)故选：BD.10.下列命题中正确的是()A.数据1,2,3,4,5,6,7,8的第25百分位数是2D.已知随机变量若D(2X+1)=5,则n=5【答案】BCD【解析】【分析】对于A,根据百分位数的定义计算判断即可，对于B,由对事件的性质和独立事件的定义分析判断，对于C,由正态分布的性质分析判断，对于D,由二项分布的性质可得D(X),从而可求出D(2X+1)然后解方程求解即可.第9页/共25页,,,对于D,因为,所!【答案】BD【解析】第10页/共25页MF//BC,因为BC⊥平面DCD,所以MF⊥平面DCD第11页/共25页因为D₁C⊥平面BCC;B,CMC平面BCCB,所以DC^CM,第12页/共25页由f(x)+f(2-x)=0,得f(-x)+f(2+x)=0,而f(x+2)=-f(x),因此f(-x)=f(x),f(x)为偶函【解析】,且不等式,且不等式【解析】第13页/共25页【分析】将问题转化为,利用基本不等式求出的最小值，再解一元二次不等式即可.【详解】因为不等式所以因为x>0,y>0,且当且仅当即x=1,y=4解得-1≤m≤2.15.某次数学考试中，学生成绩X时，等号是成立的，服从正态分布则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于120的概率是【解析】【分析】根据正态分布的对称性求出学生的成绩高于120的概率，再根据独立重复试验的概率公式可求出结果.所以第14页/共25页16.在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,底面△ABC是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为15π,则该三棱锥体积的最大值为.【解析】【分析】根据已知条件做出图形，利用球的表面积公式及正弦定理，结合棱锥的体积公式及线面垂直的性质定理，再利用勾股定理及矩形的特征即可求解.设圆O的半径为r,点P到底面ABC的距离为h,因为△ABC是边长为3的正三角形，所以由正弦定理，可得,则r=√3三棱锥P-ABC的体积取最大值则需要h最大.由题意可知，点P在过AB且与底面ABC(此处底面ABC为水平)垂直的截面圆的圆周上运动，当点P由圆的对称性可知，此时PA=PB,则PD⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC,且平面PABO平面ABC=AB,PDC平面PAB,所以PD⊥平面ABC.第15页/共25页所以,PE=√PO²-OE²=√R²-OE²=√3,所以【点睛】关键点睛：根据已知条件做出图形，要使三棱锥P-ABC的体积取最大值则需要h最大即可.17.已知全集U=R,非空集合,(2)命题p:x∈A,命题q:x∈B,若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.【解析】【分析】(1)A={x|2<x<3},当时，再运用交、补集的运算，计算求解(2)由已知可得p→q,故AB,计算求解即可得到结论.【小问1详解】∵全集U=R,【小问2详解】由q是p的必要条件，可得p=q,所以AB,所以不等式所以实数a的取值范围是(-o,-1)~[1,2].(1)求实数a,b的值；【答案】(1)a=1,b=3【解析】第16页/共25页第17页/共25页,再利用换元法对进行换元，求出最小值，让-m小于最小值即可.【小问1详解】【小问2详解】一件服装，可获得12元的代加工费.第18页/共25页(1)求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润y(单位：万元)关于年代加工量x(单位：万件)的函数解析式.(2)当年代加工量为多少万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大?并求出年利润的最大值.【答案】(2)当年代加工量为15万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大，最大值为25万元【解析】(2)根据二次函数以及不等式求解最值，由分段函数的性质即可求解最大值.【小问1详解】当10<x≤50时，【小问2详解】当0<x≤10时，函数为开口向下的二次函数，且对称轴为直线x=10所以当10<x≤50时，当且仪当,即x=15时，等号成立.第19页/共25页即当x=15时，Ymx=25(万元)因为20<25,所以当年代加工量为15万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大，最大值为25万元.20.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.(3)设用Y表示甲学校的总得分，比较DX和DY的大小(直接写出结果).(3)DX=DY【解析】【分析】(1)根据相互独立事件的概率乘法公式，可以求出甲学校获胜2场或者3场的概率，可以得到甲(2)乙学校的总得分X的值可取0,10,20,30,分别求出X(3)求甲学校的总得分Y的分布列EY,再求得DX和DY的大小，即可得大小.【小问1详解】第一场比赛第二场比赛第三场比赛甲学校获胜概率乙学校获胜概率甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：P₂=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,第20页/共25页【小问2详解】乙学校的总得分X的可能取值为：0,10,20,30,其概率分别为：P(X=10)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.则X的分布列为：X0PX的期望EX=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13;【小问3详解】甲学校的总得分Y的可能取值为：0,10,20,30,其概率分别为：P(Y=10)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.P(Y=20)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.则Y的分布列为：Y0PY的期望EY=0×0.06+10×0.34+20×0.44+30×0.16=17;21.如图所示，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.第21页/共25页(1)证明：BC⊥平面PAB;(2)若PA=AB=6,BC=3,在线段PC上(不含端点),是否存在点D,使得二面角B-AD-C的余弦值为若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在；D是PC上靠近C的三等分点【解析】AE⊥BC,再证明PA⊥BC,根据线面垂直判定定理证明结论；(2)建立空间直角坐标系，求平面ACD,平面ABD的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条件列方程确定点D的位置；【小问1详解】因为平面PAB⊥平面