2022年陕西省咸阳市高考数学模拟试卷（文科）（二）（二模）（附答案详解）

2022年陕西省咸阳市高考数学模拟试卷（文科）（二）（二

模）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设集合4={x|(x-3)(%+2)<0},B={0,1,2,3,4},则4nB=()

A.{1,2}B.[1,2,3)C.{0,123}D.[0,1,2)

2.复数z=缶，则⑶=()

A.1B.2c-D.V2

3.已知命题p：VxG(O1+oo),ex>x+1,则”为（）

A.VxG(0,+8),<x+1B.Vx0(0,4-oo),ex<x+l

C.3x6(0,+8),<%4-1D.3%g(0,+8),eX>X+1

(y+2>0

4.若x,y满足约束条件-y+1N0,贝收=%-2y的最小值为（）

lx<1

A.-3B.1C.5D.-5

5.已知sin(x—》=学则sin%+sin(x-今=()

A.1B.-1CTD.V3

3

6.将长为7cm的木棍随机分成两段，则两段长都不小于2cm的概率为()

A.；B.|C.gD.1

7777

7.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x+3)=/(x),贝厅(2022)=()

A.2019B.3C.-3D.0

8.在正方体力BCD-&B1GD1，E,F分别为BiQ与GDi的中点，则异面直线为D与EF

所成角的大小为（）

A.IB.C.

643

9.已知函数f（x）=Asin（3x+<p）G4>0,3>0,|伊|<$的

部分图像如图所示，下列说法错误的是（）

A.函数y=/（x）在［一（0］上单调递增

B.函数y=的图像关于直线x=一整对称

C.函数y=/(x)的图像关于点(一弓,0)对称

D.该图像对应的函数解析式为f(x)=2s出(2x+今

10.已知Fi、尸2分别是椭圆盘+总=l(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，且

PF1LPF2,若|PF1|=g|PF2|，则椭圆的离心率为()

A.V6-V3B.V2-1C.V3-1口.渔2

2

11.若%>0,、>0且％+丫=2,则下列结论中正确的是()

A./+y2的最小值是1B.xy的最大值是:

C.彳+^的最小值是4立D.々+后的最大值是2

y

10%-m,x<-

2i(e是自然对数的底数)在定义域R上有三个

xex—2mx+m,x>

(2

零点，则实数m的取值范围是()

A.(e,+8)B.(e,5]C.(e,5)D.[e,5]

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知△ABC的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=24a=1,b=痘,

则c=.

14.已知平面向量五=(2,-3),|石|=JIU，\a-b\=3>则五)=.

15.设双曲线C；J-5=l(b>0)的左、右顶点分别为4，/，左、右焦点分别为丹、

F2,以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以&&为直径的圆与直线

PR相切，则AFiPB的面积为.

16.2022年北京冬奥会某项小组赛中将4,B,C,。四个队分在一组进行比赛，甲、乙、

丙、丁四人对四个队的第一名至第四名进行预测，分别是甲：。以8；乙：CBAD；

丙：CBDA；T：B4CC.比赛结束后发现，甲和乙预测对了两个队的排名，丙和丁

只预测对了一个队排名，则最后的排名是.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.已知函数〃n)=2n-l(nGN*),数列｛%｝满足bn=2^(neN*),数列｛a"为等差

数列，满足％=瓦，a3=b2—2.

(1)求数列｛斯｝、｛为｝的通项公式；

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(2)求数列｛斯+%｝的前n项和土.

18.某地区2015年至2021年居民家庭人均存款y(单位：万元)数据如表:

年份2015201620172018201920202021

年份代

1234567

号t

人均存

2.93.33.64.44.85.25.9

款y

变量t,y具有线性相关关系.现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方

程分别为：甲y=0.5t—2.3；乙y=—0.5t+2.3；丙y=0.5t+2.3,其中有且仅有

一位同学的计算结果是正确的.

(1)试判断谁的计算结果正确？

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差大于0.1,则称该数据为

“不可靠数据"，若误差为0,则称该检测数据是“完美数据”，这两者之外的其

余数据均称为“可靠数据”.现剔除不可靠数据，从剩余数据中随机抽取2个，求

“可靠数据”与“完美数据”各有一个的概率.

19.如图所示，四棱锥P-4BCO中，P4_L菱形4BCD所

在的平面，/-ABC=60°,点E、F分别是BC、PD的

中占

(1)求证：平面AEF_L平面PAD；

(2)当4B=2AP=2时，求多面体P4BEF的体积.

20.已知抛物线C：y2=2px(p>0),过焦点尸作x轴的垂线与抛物线C相交于M、N两

点，S&财ON=2.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若4、B两点在抛物线C上，且|4尸|+\BF\=10,求证：直线4B的垂直平分线，恒

过定点.

21.已知函数/(x)=Inx—kx+1.

(1)若/\x)<0恒成立，求实数k的取值范围；

(2)证明：(1+§(1+专)(1+.…(1+或)<」(nGN*).

第4页，共18页

22.已知曲线G的参数方程为卜=/1cos?(e为参数)，曲线的参数方程为

(y=V2sm0

(%=3

\2后(t为参数).以坐标原点。为极点，X轴的非负半轴为极轴，建立极坐

卜=企+争

标系.

(I)求曲线G与曲线。2公共点的极坐标；

(口)若点4的极坐标为(2,兀)，设曲线与y轴相交于点B,点P在曲线G上，满足PA1

PB,求出点P的直角坐标.

23.已知关于x的不等式-1|-|x+2|>|m+2|有解.

(1)求实数zn的取值范围；

(2)设M是m的最大值，若a>l,b>1,c>l,且(a-l)(b-l)(c-l)=M,求

证：abc>8.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：集合4={%|(x-3)(%+2)<0}=[x|-2<x<3},

B={0,123,4},

则AnB={0,1,2},

故选：D.

化简集合4根据交集的定义写出ACB,即可求得答案.

本题主要考查了交集的运算问题，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了复数的运算法则，属于基础题.

利用复数的运算法则以及几何意义，即可得出.

【解答】

|z|=1.

故选:A.

3.【答案】C

【解析】解：命题是全称命题，则否定是：

3xG(0,+oo),ex<x+1,

故选：C.

根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.

本题主要考查含有量词的命题的判断，利用全称命题的否定是特称命题进行判断是解决

本题的关键，是基础题.

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4.【答案】A

【解析】解：由约束条件作出可行域如图,

■y-1

二y+l=O,解得%1，2），

由z=x—2y,得y=；—|，由图可知，当直线y=；一|过4时,

直线在y轴上的截距最大，z有最小值为-3.

故选：A.

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最

优解的坐标代入目标函数得答案.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题.

5.【答案】A

【解析】解：因为sbix+sin(x--)=sinx4--sinx——cosx

v3722

3.V3777.TT、

=-sinx——cosx=V3sin(zx—

又因为sin(x—2)=?，

所以bsin(%--)=V3x—=1，

63

故选：A.

利用正弦的两角和与差的三角函数公式化简即可求解.

本题考查了两角和与差的三角函数的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：将长为7cm的木棍随机分成两段，设第一段的长度为x(cni),则第二段的

长度为7-x(cm),

又两段长都不小于2cm,则解得2WXW5,

由几何概型中的线段型，可得两段长都不小于2cm的概率为?=

77

故选：B.

先设第一段的长度为x(cm),再解出x的范围，然后结合几何概型中的线段型求解即可.

本题考查了几何概型，重点考查了几何概型中的线段型，属基础题.

7.【答案】D

【解析】解：函数/'(X)为定义在R上的奇函数，且/'(x+3)=/(x),

可得/(0)=0,且/(x)的最小正周期为3,

则/(2022)=/(674x3)=/(0)=0.

故选：D.

由奇函数和周期函数的定义可得所求值.

本题考查函数的奇偶性和周期性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：连接当。1、BD、AXB,

易知E/7/BiDJ/BD,N&DB即为异面直线4D与EF所成角或其补角，

易知4%B。等边三角形，故角为宗

故选：C.

连接当久、BD、&B,则EF〃B】Di〃BD,NaDB即为异面直线4D与EF所成角或其补

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角，根据44BD是等边三角形即可求解.

本题考查了异面直线及其所成角，属于基础题.

9.【答案】A

【解析】解：由题意得，4=2,7=7-77=^

43124

所以7=冗,3=2,/(%)=2sin(2x4-tp),

又/(勺=2sin/+*)=2,|*|<]

所以，0=或/(x)=2sin(2x+^),。正确，

令可得一A错误；

434J./IN

由于/(一患)=2sin(-今=-2符合正弦函数对称轴取得最值，8正确；

由于/(—)=2sin(0)=0,C正确.

故选：A.

由最值求出A,由周期可求3,由五点作图可求仍进而可求函数解析式，然后结合正弦

函数的性质分别检验各选项即可判断.

本题主要考查了由y=Asin(<ox+9)的部分图象求解函数解析式，还考查了正弦函数性

质的应用，属于中档题.

10.【答案】C

【解析】解：设|PF2l=m，所以|Pa|因为IPF1I+|PBI=2a,

所以(1+V3)m=2a，

2

因为P&1PF2,所以|Pa|2+\PF2\=吗?2产，

SP3m2+m2=4c2,可得m=c,

所以由(1+g)m=2a,可得(1+V5)c=2a,

所以e=/=I^=8_L

故选：C.

运用椭圆的定义，结合勾股定理、椭圆的离心率公式进行求解即可.

本题主要考查椭圆的性质，考查勾股定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

11.【答案】D

【解析】解：因为％>0，丫>0且》+丫=2,

由(等产<手得/+y2>2,当且仅当x=y=1时取等号，4错误；

由基本不等式可得孙〈(等产=1,当且仅当x=y=1时取等号，B错误；

马+工=〃普+也三亚+工三吟=山,当且仅当空=工且

JJ

xy2vxy2vxy2vyjxy72xy

x+y=2,即、=2夜—2,x=4—2或时取等号，C错误；

(Vx+秒¥=x+y+2y[xy=2+2y[xy<2+2=4,当且仅当x=y=1时取等号，

所以石+J7W2,。正确.

故选：D.

由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断.

本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，解题的关键是公式的灵活

应用，属于中档题.

12.【答案】B

10%—m,x<!

【解析】解：函数/(%)=

xex—2mx+m,x>

当时，由10%-血=0,解得％=温,

当时，由xe*—2m%+m=0,解得m=

令3)=有

则九'(X)=3；容)

(NX

当：<%V1时，"(%)<0,则h(%)单调递减,

当％>1时，//(%)>0,则九(吗单调递增,

又/i⑴=e,

所以当m>e时，/(%)在区间(3+8)上有两个零点,

由于/(%)在R上有三个零点,

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所以：解得加＜5,

综上所述，m的取值范围为(e,5].

故选：B.

利用分段函数的解析式，当xW：时，x当时，令八(乃=表(久＞]，由导

数研究h(x)的性质，得到当m＞e时,/(x)在区间6,+8)上有两个零点，结合题意可知，

求解即可得到m的取值范围.

本题考查了分段函数的理解与应用，函数与方程的应用，解题的关键是对分段函数分类

讨论，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

13.【答案】2

【解析】解：,••△4BC中，B=2A,a=1,b=曲,

二由正弦定理二得：」-=近=———，

smAsinBsinAsin2A2sinAcosA

整理得：cosA=—,

2

由余弦定理a?=b2+c2—2bccosA,得1=3+c2—3c,

解得：c-1或c=2,

当c=1时，a=c=1,b=V5,此时4=C=30°,B=120°,不满足B=2A,舍去；

当c=2时，a=l,b=遮，此时4=30。，B=60°,C=90。，满足题意，

则c=2.

故答案为：2

由B=24得至UsinB=sin24利用正弦定理求出cos4的值，再利用余弦定理即可求出

c的值.

此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关

键.

14.【答案】7

【解析】解：平面向量日=(2,-3),|砧=V¥T5=g，

\b\=V10-\a-b\=3，

可得五2-2ab+b2=9，

即13+10-2方1=9，

解得弓-b=7-

故答案为：7.

利用向量的模的运算法则，转化求解向量的数量积即可.

本题考查向量的数量积的求法，向量的模的运算法则的应用，是基础题.

15.【答案】20

【解析】解：设以为①为直径的圆与直线PF2相切于点M，

由双曲线方程知：

\OAT\=\OA2\=\f5,

■：PFi1PF2,OM1PF2,

•••OM//PFlt

又。为F1F2中点，［PF/=2\OM\=2>/5.

由双曲线定义知：IP&I—北川=2遍,

A

\PF2\=4/5，

•••SAF'PFZ=IIPF1I-IPF2I=：X2西X4西=20.

故答案为：20.

由双曲线方程知=\OA2\=V5,由垂直关系可知。”为4&PF2的中位线，从而得

到|PFi|=2z，利用双曲线定义可求得|PBI，由S4F1PF2=：|PFil•仍尸2|可求得结果.

本题考查了双曲线的定义和性质，属于中档题.

16.【答案】DBAC

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【解析】解：预测情况如下表:

甲乙丙T

第一名DCCB

第二名CBBA

第三名AADD

第四名BDAC

因为甲和乙预测对了两个队的排名，所以第三名是4,

若第一名是。，则由甲预测对了两个队的排名，得到最后的排名为：DBAC,

此时乙对B,A两队预测正确，而丙和丁只预测对了一个队排名，

••・丙对B队预测正确，丁对C队预测正确，满足条件；

若第二名是C,则由甲预测对了两个队的排名，得到最后的排名为BCAD,

此时乙对40两队预测正确，丙一个队都没有预测正确，不满足条件；

若第四名是D,则由甲预测对了两个队的排名，得到最后的排名为C/MB,

此时乙对C,A两队预测正确，丙对C队预测正确，丁一个队都没有预测正确.

综上最后的排名为：0B4C.

故答案为：DBAC.

通过列表法进行推理能求出最后的排名.

本题考查最后排名的确定，考查简单的合情推理等基础知识，考查推理论证能力，是基

础题.

n

17.【答案】解：(1)由题知，/(n)=2n-l,bn=2^\neN^.

从而勾=22九t.

则的=2,%=6,

设等差数列｛%｝的公差为d,则2d=4,

・•・d=2,an=2+2(n—1)=2n,nE/V*.

2n1

(2)由(1)知，an+bn=2n+2-,nEN*.

n(2+2n).2(4n-l)2x4n-2,,

•••Se=--------4--------=----------1-n+n2z.

n24-13

n

【解析】(1)由题知，/(n)=2n—1,=2")(?iEN*).可得bn.可得臼=2,a3=6,

利用等差数列的通项公式可得an.

2n_1

(2)由(1)知，an+bn=2n+2,n£N*,利用求和公式即可得出.

本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力,

属于基础题.

18.【答案】解：(1)由题意知：［=4,y=4,3,将(4,4.3)分别代入甲、乙、丙方程得：

丙的计算结果正确；

(2)由回归方程估计得到的数据分别为：(1,2.8),(2,3.3),(3,3.8),(4,4.3),(5,4.8),(6,5.3),

(7,5.8),则(3,3.8)为1个不可靠数据，(2,3.3),(5,4.8)为完美数据，其余为可靠数据.设

2个完美数据为&和公，4个可靠数据为当、为、B3,B4,则从其中随机抽取2个，结果

分别有：

(A1M2)，(4ill),(AlfF2)>(4I，%),(4,84)，("2,81)，(醺%)，(4,/)，(①,4),

(当,%),(%晶),

(九%),(%/),(%,%),(%%),共15个结果,且每个结果的发生都是等可能的.

其中“可靠数据”与“完美数据”各有1个的数据有(4,&),(4,巳)，(4,/)，(4,&),

(“2,81),(A2,B2)9(42,83)，

(42,%),共有8个，

则“可靠数据”与“完美数据”各有1个的概率为p=/.

【解析】(1)计算Z，歹值，分别代入甲、乙、丙方程计算可得答案；

(2)首先列出由回归方程估计得到的数据，再列出“可靠数据”与“完美数据”的情况,

根据古典概型可解决此题.

本题考查回归方程计算及古典概型应用，考查数学运算能力，属于基础题.

19.【答案】(1)证明：连接4C,因为底

面4BCD为菱形，AABC=60。，

所以△ABC是正三角形，

因为E是BC的中点，所以4ELBC,

又AD"BC,所以AE14D,

因为PAJ■平面ABC。，4Eu平面4BCO,

所以P414E,

又PAn力。=4所以ZEJ■平面PAD,

乂AEu平面AEF,所以平面力EF1平面PAD；

(2)解：因为Vf>4B£F="P-4BE+4-P4F，

第14页，共18页

^P-ABE=.SAABE-PA=~^VE^pAp=-S^PAF-AE=—>

所以%4BEF=^P-ABE+^E-PAF=孚

【解析】(1)连接AC,可得△ABC是正三角形，从而可得4ELBC,根据线面垂直的性

质可得P41AE,最后根据面面垂直的判定定理可得结论；

(2)根据44BEF=Vp-ABE+唳-P”，然后利用三棱锥的体积公式进行求解即可.

本题主要考查了面面垂直的判定定理，以及多面体的体积，同时考查了转化能力和运算

求解的能力，属于中档题.

20.【答案】⑴解:由题知，SA0MN=|\MN\•\OF\=1-2p-|p=2,

解得：p=2,从而抛物线C的方程为y2=4x.

(2)证明:设线段4B中点为D(xo，yo),A(x1.yi),B(x2,y2),

由题知，直线4B的垂直平分线斜率存在，设为k,则：\AF\+\BF\=xx+x2+2=10,

•,»%]+%2=8,***XQ=4.

若直线4B不与x轴垂直，由一，得仇+y2)(yi-y2)=4(X1-x2).

\yi=4X2一—•

即a=纥邕=q=;=2,

Xi-X2yi+y22yoy0

则直线，斜率为k=一枭

从而直线，的方程为y-y0=-7(^-4),

整理得：y=-葭0-6)恒过点(6,0).

若直线48与刀轴垂直，贝〃为直线久=0,显然也满足恒过点(6,0).

综上所述，直线]恒过点(6,0).

【解析】(1)利用三角形的面积求解p,得到抛物线方程.

(2)设线段4B中点为。(右,尢)，401，%)，8(X2,丫2)，说明直线4B的垂直平分线斜率存

在，设为k,利用抛物线的性质推出X。=4.求解4B的斜率，得到AB的直线系方程，说

明直线，恒过点(6,0).

本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题.

21.【答案】解：(1)函数/(久)=Inx-kx+1的定义域为(0,+8),1(%)=：—1=5产，

①当kS0时，f'(x)>0恒成立，则函数/(x)单调递增，

/(I)=1-k>0,•••/(x)<。不恒成立；

②当k>。时，令/''(%)=0,解得x=p

若xe(0,》，/'(x)>0,函数/(x)单调递增；

若xe(p+oo),f(x)<o,函数/(x)单调递减；

则/'COmax=/(》=-Ink,

若/'(x)<0恒成立，则只需f(X)max=f(}=-Ink<0即可，

化简可得，kNl,•,/的取值范围是口,+8).

(2)证明：由(1)知，k=l时,有不等式InxW%-1对任意％W(0,+8)恒成立,

当且仅当％=1时取“=”号.・•・xG(1,+8)时，仇》<x—1恒成立，

令/(n)=1+表(nW),代入上面不等式可以得到：ln(l+专)<1+奈一l=表(ne

N*),二ln(l+》+ln(l+*)+ln(l+专)+•■•+ln(l+*)<：+京+或+…+京

即呵(1+1)(1+款1+分-(1+款<=*1一表)<”(1+》(1+款1+

3

舁…(1+表)<夜5€叱).

【解析】(1)求出导函数，①当kWO时，判断函数的单调性，说明结果；

②当化>0时，求解函数的单调区间，求出函数的最大值，列出不等式fCOmax=心=

—Ink<0,求解即可.

(2)证明xe(1,+8)时，加<万一1恒成立，构造函数/(n)=l+*(neN*),利用放

缩法，结合数列求和，转化求解证明即可.

本题考查函数导数的应用，函数的最值的求