四边形动点题型专项训练

四边形动点题型专项训练所谓“动点型问题〞是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题。数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动〞等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择根本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点〞探究题的根本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。专题一：动态几何型压轴题动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性〔特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。〕动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。因为动点求线段长的最小值例1、如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，点P是腰AD上的一个动点，要使PC+PB最小，那么点P应该满足〔〕PB=PCB、PA=PDC、∠BPC=90°D、∠APB=∠DPC例2、〔2023•日照〕正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM=时，四边形ABCN的面积最大．例3、如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当BP=时，四边形APQE的周长最小．例4、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，点F是AC上的一个动点．假设四边形AECD是菱形，△ABE的周长为6cm，那么BF+EF的最小值是cm．例5、如图，四边形ABCD是菱形，且∠ADC=120°，点M、N分别是边AB、BC的中点，点P是对角线AC上的动点，假设PM+PN的最小值是1，那么菱形ABCD的面积是．例6、：如图，四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC=2，对角线BD平分∠ABC，E是BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，那么PE+PC的最小值为〔〕例7、边长为1的正方形ABCD中，E，F为对角线BD上的动点．

〔Ⅰ〕证明：AE+AF=CE+CF；

〔Ⅱ〕①求AE+CE的最小值；②求AE+BE+CE的最小值；

〔Ⅲ〕假设∠EAF=45°，DF=2BE，求四边形AECF的面积．梯形中的动点问题例1、如下图，四边形ABCD是直角梯形，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点P从A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向B运动，其中一个动点到达端点时，另一动点也随之停止运动，从运动开始，经过多少时间，四边形PQCD成为等腰梯形？例2、如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．

〔1〕经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？

〔2〕经过多长时间，四边形PQBA是矩形？

〔3〕经过多长时间，四边形PQCD是等腰梯形？例3、〔2023•新疆〕如图，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．

〔1〕求AB的长；

〔2〕设BP=x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；

〔3〕探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．三角形中的动点问题例1：如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将〔〕A．变大B．变小C．不变D．变大变小要看点P向左还是向右移动例2：，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．

〔1〕如图1，设点P的运动时间为t〔s〕，那么t=〔s〕时，△PBC是直角三角形；

〔2〕如图2，假设另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t〔s〕，那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？

〔3〕如图3，假设另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t〔s〕，那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？

〔4〕如图4，假设另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜测：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．例3：如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点〔端点除外〕，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．

〔1〕求证：△ABQ≌△CAP；

〔2〕当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？假设变化，请说明理由；假设不变，求出它的度数．

〔3〕如图2，假设点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，那么∠QMC变化吗？假设变化，请说明理由；假设不变，那么求出它的度数．

特殊平行四边形中的动点问题例1：如图：边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a，证明：不管E、F怎样移动，三角形BEF总是等边三角形．例2：如图，正方形ABCD中，边长为，点P是射线DC上的动点，DM⊥AP于M，BN⊥AP于N

〔1〕当点P与C、D重合时，DM+BN的值分别为

〔2〕当点P不与C、D重合时，试猜测DM2+BN2的值，并对你的猜测加以证明．例3：如图，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．

〔1〕假设动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？

〔2〕假设点E在线段BC上，BE=2cm，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、M、N恰好能组成平行四边形？例4：如下图，正方形ABCD的边长为6cm，点E为AB边上的一点，且AE=2cm，动点M由C点开始以3cm/s的速度沿折线CBE移动，动点N同时由D点以1cm/s的速度沿边DC移动，请问多长时间后，顺次连接点E，M，N，D为顶点的四边形是平行四边形？〔六〕与平面直角坐标系结合的动点问题例1：直角梯形OABC在如下图的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动．当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动．

〔1〕求B点坐标；

〔2〕设运动时间为t秒；

①当t为何值时，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；

②当t为何值时，四边形OAMN的面积最小，并求出最小面积；

③假设另有一动点P，在点M、N运动的同时，也从点A出发沿AO运动．在②的条件下，PM+PN的长度也刚好最小，求动点P的速度．例2：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点B的坐标为〔5，4〕，点P为BC上动点，当△POA为等腰三角形时，点P坐标为．例3：如图，坐标平面内一点A〔2，-1〕，O是原点，P是x轴上一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为．解决动态几何问题的常见方法有:一、特殊探路，一般推证二、动手实践，操作确认三、建立联系，计算说明练习1：如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，那么DN+MN的最小值为练习2：如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果Ｐ、Ｑ同时出发，用t秒表示移动的时间〔0≤t≤6〕，那么：〔1〕当t为何值时，三角形QAP为等腰三角形？〔2〕求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；专题二：双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题.这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点。例1：〔09包头〕如图，中，厘米，厘米，点为的中点．〔1〕如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．AQCDBP①假设点Q的运动速度与点PAQCDBP②假设点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？〔2〕假设点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？OOECBDAlOCBA〔备用图〕例2：〔09河南〕〕如图，在中，，．点是的中点，过点的直线从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点．过点作交直线于点，设直线的旋转角为．〔1〕①当度时，四边形是等腰梯形，此时的长为；②当度时，四边形是直角梯形，此时的长为；〔2〕当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由．ADCBMN例3：〔09济南〕如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．ADCBMN〔1〕求的长．〔2〕当时，求的值．〔3〕试探究：为何值时，为等腰三角形．例4：〔09临沂〕数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，那么AM=EC，易证，所以．在此根底上，同学们作了进一步的研究：〔1〕小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点〞改为“点E是边BC上〔除B，C外〕的任意一点〞，其它条件不变，那么结论“AE=EF〞仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；ADFCGEB图1〔2〕小华提出：如图3，点E是BC的延长线上〔除ADFCGEB图1动点问题课后作业1、如图，正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．2、如图，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．

〔1〕假设动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？

〔2〕假设点E在线段BC上，BE=1cm，假设动点M、N同时出发，相遇时停止运动．

①经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？

②经过几秒钟，点A、E、M、N组成等腰梯形？3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm，假设动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，答复以下问题：

〔1〕BC=cm；

〔2〕