2019山西中考数学专题训练-综合与实践5类10道

——综合与实践类型一类比探究型（不含图形变化）★1.综合与实践问题背景如图①，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝60°，于是eq\f(BC,AB)＝eq\f(2BD,AB)＝eq\r(3).迁移应用(1)如图②，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD.①求证：△ADB≌△AEC；②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式．拓展延伸(2)如图③，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF.试判断△CEF的形状；（3）如图③，若AE＝5，CE＝2，求BF的长．第1题图(1)①证明：由题意可知：AD＝AE，AB＝AC，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，∴△ADB≌△AEC；②解：CD＝eq\r(3)AD＋BD；【解法提示】∵AD＝AE，∠DAE＝120°，∴DE＝eq\r(3)AD，∵DE＝DC－EC，∴DC－EC＝eq\r(3)AD，由①知，△ADB≌△AEC，∴EC＝DB，∴DC－DB＝eq\r(3)AD，即CD＝eq\r(3)AD＋BD.（2）解：△EFC为等边三角形.理由如下：如解图，连接BE，作BG⊥AE于点G.设CE与BF相交于点N，第1题解图∵C、E关于BM对称，∴BE＝BC，CF＝EF，∠3＝∠4，在菱形ABCD中，∵∠ABC＝120°，AB＝BC，∴AB＝BC＝BE，又∵BG⊥AE，∴∠1＝∠2，∴∠GBF＝∠2＋∠3＝eq\f(1,2)∠ABC＝60°，∵在四边形GBNE中，∠GEN＝360°－∠EGB－∠ENB－∠GBN＝120°，∴∠FEN＝60°，又∵EF＝FC，∴∠EFC＝60°，∴△EFC为等边三角形；（3）解：∵AE＝5，CE＝2，∴EG＝eq\f(1,2)AE＝eq\f(5,2)，EF＝CE＝2，∴GF＝EG＋EF＝eq\f(9,2)，∵∠BGF＝90°，∠GFB＝30°，∴BF＝eq\f(GF,cos30°)＝3eq\r(3).★2.综合与探究问题背景在综合实践课上，老师让同学们根据如下问题情境，写出两个教学结论：如图①，点C在线段BD上，点E在线段AC上．∠ACB=∠ACD=90°，AC=BC；DC=CE，M，N分别是线段BE，AD上的点．“兴趣小组”写出的两个教学结论是：①△BCE≌△ACD；②当CM，CN分别是△BCE和△ACD的中线时，△MCN是等腰直角三角形．解决问题（1）请证明“兴趣小组”所写的两个结论的正确性．类比探究受到“兴趣小组”的启发，“实践小组”的同学们写出如下结论：如图②，当∠BCM=∠ACN时，△MCN是等腰直角三角形．（2）“实践小组”所写的结论是否正确？请说明理由．感悟发现“奋进小组”认为：当点M，N分别是BE，AD的三等分点时，△MCN仍然是等腰直角三角形请你思考：（3）“奋进小组”所提结论是否正确？答：．（填“正确”、“不正确”或“不一定正确”．）反思上面的探究过程，请你添加适当的条作，再写出使得△MCN是等腰直角三角形的数学结论．（所写结论必须正确，写出1个即可，不要求证明）图①图②备用图第2题图证明：在△BCE和△ACD中，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE=AD，∠EBC=∠DAC，∵CM，CN分别是△BCE和△ACD的中线，∴BM=BE，AN=AD，∴BM=AN，在△BCM和△ACN中，∴△BCM≌△ACN（SAS），∴CM=CN，∠BCM=∠ACN∵∠BCM+∠MCE=90°，∴∠ACN+∠MCE=90°，∴MC⊥CN．∴△MCN是等腰直角三角形．（2）解：实践小组”所写的结论正确．理由：∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC=∠DAC，在△BCM和△CAN中，∴△BCM≌△ACN（ASA），∴CM=CN，∵∠BCM+∠MCE=∠ACB=90°，∴∠ACN+∠MCE=90°，∴MC⊥CN．∴△MCN是等腰直角三角形．（3）解：不一定正确．【解法提示】当BM=BE，AN=AD时，△MCN仍然是等腰直角三角形．当BM=BE，DN=AD时，△MCN不是等腰直角三角形．（4）解：答案不唯一．比如：当CM，CN分别是△BCE，△ACD的高时，△MCN是等腰直角三角形；当CM，CN分别是△BCE，△ACD的角平分线时，△MCN是等腰直角三角形；理由：只要证明△BCM≌△ACN（AAS），即可推出∠BCM=∠ACN，推出∠MCN=90°，∵CM=CN，∴△MCN是等腰直角三角形．类型二图形平移型★3.综合与实践问题情境：如图①，在纸片▱ABCD中，AD＝5，S▱ABCD＝15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D.独立思考：(1)试探究四边形AEE′D的形状；深入探究：(2)如图②，在(1)的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D，试探究四边形AFF′D的形状；拓展延伸：(3)在(2)的条件下，求出四边形AFF′D的两条对角线的长;(4)若四边形ABCD为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论.图①图②图③第3题图解：(1)四边形AEE′D是矩形；理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，∵BE＝CE′，∴EE′＝BC＝AD，且AD∥EE′，∴四边形AEE′D是平行四边形，又∵AE⊥BC，∴四边形AEE′D是矩形．(2)四边形AFF′D是菱形，∵已知AD＝5，S▱ABCD＝15，∴AE＝eq\f(S▱ABCD,AD)＝eq\f(15,5)＝3，∵将△AEF平移至△DE′F′，∴AF＝DF′，AF∥DF′，∴四边形AFF′D是平行四边形．在Rt△AEF中，由勾股定理得AF＝eq\r(AE2＋EF2)＝eq\r(32＋42)＝5.∴AF＝AD＝5，∴四边形AFF′D是菱形．(3)如解图①，连接AF′，DF，第3题解图①∵E′F＝EE′－EF＝5－4＝1，DE′＝3，在Rt△DE′F中，DF＝eq\r(E′D2＋E′F2)＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10)，又EF′＝EF＋FF′＝4＋5＝9，AE＝3，在Rt△AEF′中，AF′＝eq\r(AE2＋EF′2)＝eq\r(32＋92)＝3eq\r(10).答案不唯一.如解图②，在BC上取一点E，连接AE,然后将△ABE平移至△DCE´位置.结论：四边形AEE´D为平行四边形第3题解图②★4.综合与实践数学活动—移动中探究线段关系问题情境：数学课上，老师出示了一个问题：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝BC，点E，F分别在AC，BC上，∠EDF＝90°，求DE与DF的数量关系．独立思考：(1)①请根据以上信息，解答老师提出的问题；②若CF=1,CE=2,请直接写出CD的长.(3)探索求证：如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝BC，延长BC到点F，沿CA方向平移线段CF到EG，且点G在边BA的延长线上，求证：DE＝DF，DE⊥DF；(4)拓展延伸：如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠B＝30°，延长BC到点F，沿CA方向平移线段CF到EG，且点G在边BA的延长线上，直接写出线段DE与DF之间的位置关系和数量关系．第4题图(1)①解：∵∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，∠CDF＋∠FDB＝90°，∴∠EDC＝∠FDB.由题可知△ACB是等腰直角三角形，CD是AB边上的中线，∴∠ECD＝∠B＝45°，CD＝BD，在△EDC和△FDB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EDC＝∠FDB，,CD＝BD，,∠ECD＝∠B，))∴△EDC≌△FDB(ASA)．∴DE＝DF；【一题多解】∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝CD，∠A＝∠DCF＝45°，∵∠EDF＝90°，∴∠ADE＋∠CDE＝∠CDF＋∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴DE＝DF；②解：CD的长为;【解法提示】①知△ADE≌△CDF，∴BF=CE=2,∴BC=CF+BF=3,∵AC=BC,∠ACB=90°，∴CD=.(3)证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，∴DA＝DB＝DC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠DAE＝∠DCF＝135°，又∵∠GAE＝45°，∠AEG＝∠ACF＝∠ACB＝90°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AE＝EG，由平移可知CF＝EG＝AE，在△DAE和△DCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DA＝DC，,∠DAE＝∠DCF，,AE＝CF，))∴△DAE≌△DCF(SAS)，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE＋∠ADF＝∠CDF＋∠ADF，∴∠FDE＝∠CDA＝90°，∴DE⊥DF；(4)解：DE⊥DF，DF＝eq\r(3)DE.【解法提示】由CD⊥AB，AC⊥BC，∠B＝30°，可得∠ACD＝30°，则有eq\f(CD,AD)＝eq\r(3)，由平移可知∠FGE＝90°，FC＝GE，则有∠AGE＝90°－60°＝30°，eq\f(GE,AE)＝eq\f(CF,AE)＝eq\r(3).∴eq\f(CF,AE)＝eq\f(CD,AD)＝eq\r(3).又∵∠FCD＝∠EAD＝∠CDB＋∠B＝120°，∴△CFD∽△AED，∴eq\f(DF,DE)＝eq\r(3)，即DF＝eq\r(3)DE，同(2)可证得DE⊥DF.类型三图形旋转型★5.综合与实践问题情境：综合实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题进行数学活动，如图①，在三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠B＝∠C.操作发现：(1)创新小组将图①中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转角度α，得到△AFG，连接DF，得到图②，试判断四边形AFDE的形状；(2)实践小组将图①中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针旋转90°得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°得到△AFG，连接DF，DG，AE，得到图③，发现四边形AFDB为正方形，①请你证明这个结论；②若AB=4,∠ABC=60°，求BE的长;拓展探究：(3)请你在实践小组操作的基础上，再写出图③中的一个特殊四边形，并证明你的结论．第5题图(1)解：四边形AFDE是平行四边形；理由：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转角度α得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转角度α得到的，∴DE＝AC＝AF，∠BAF＝α，∠DBE＝∠ABC＝α，∠DEB＝∠C＝α，∴∠DEB＝∠BAF，∴DE∥AF，∵DE＝AF，∴四边形AFDE是平行四边形；(2)①证明：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的，∴∠DBA＝∠FAB＝90°，DB＝AB＝AF，∴∠DBA＋∠FAB＝180°，∴DB∥AF，∴四边形AFDB是平行四边形，∵DB＝AF，∴四边形AFDB是菱形，∵∠DBA＝90°，∴菱形AFDB是正方形；②解：如解图，过点D作DH⊥BE于点H,由旋转知，△DBE≌△ABC,∴BD=DE=AB=AC,∠ABC=∠DBE=60°,∴在Rt△DBH中，BH=2，∴BE=2BH=4;第5题解图(3)解：四边形AEDG是平行四边形．证明：∵四边形ABDF是正方形，∴∠DFA＝∠DBA＝90°，AB＝DF，又∵∠DBE＝∠AFG，∴∠EBA＝∠GFD，在△ABE和△DFG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DF，,∠EBA＝∠GFD，,BE＝GF，))∴△ABE≌△DFG(SAS)；∴AE＝DG，又∵DE＝AG，∴四边形AEDG是平行四边形．★6.综合与实践独立思考：(1)已知正方形ABCD，如图①，点E和F分别是边AB和AD边上的点，且AE＝AF，则线段DF与BE之间有怎样的关系？请直接写出结论；合作交流：（2）如图②，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转α，当α＝90°时，连接BE、DF，若AE＝5，则当直线DF垂直平分EB时，直接写出AD的值；(4)如图④，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、FB，得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF的各边中点所组成的四边形是什么特殊的四边形？直接写出结论．第6题图解：(1)DF＝BE，且DF⊥BE.【解法提示】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，AD⊥AB，∵AE＝AF，∴DF＝BE，且DF⊥BE；(2)(1)中的结论成立．证明如下：第6题解图①如解图①，延长DF交AB于点H，交BE于点G，由题意可知∠DAF＝∠BAE，在△DAF与△BAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DA＝BA,∠DAF＝∠BAE，,AF＝AE))∴△DAF≌△BAE(SAS)，∴DF＝BE，∠ADF＝∠ABE，∵∠ADF＋∠DHA＋90°＝∠ABE＋∠BHG＋∠HGB，且∠DHA＝∠BHG，∴∠HGB＝90°，即∠DGB＝90°，即DF⊥BE，∴DF＝BE，且DF⊥BE；(3)AD＝5eq\r(2)＋5.【解法提示】连接BD，如解图②，∵直线DF垂直平分BE，∴AD＋AE＝BD，BD＝eq\r(2)AD，∴AE＝(eq\r(2)－1)AD，∵AE＝5，∴AD＝5eq\r(2)＋5.(图②图③第6题解图(4)正方形．【解法提示】连接BE、DF，如解图③，与(2)同理得出BE＝DF，BE⊥DF，结合中位线的性质可知，顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是正方形．类型四图形折叠型★7.综合与实践：数学活动：“标准纸”尺寸的研究问题情境：A4纸是我们学习、工作中最常用的纸张之一，小明通过网络搜索得到“A4纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，其长宽比是eq\r(2)∶1，规格为210mm×297mm，如图①所示，A0纸是面积为1m2，长宽比为eq\r(2)∶1的纸张，接下来的A1，A2，A3等纸张尺寸，都是定义成将编号少一号的纸张沿着长边对折，然后保留最接近的毫米值．”于是，我们定义：长与宽之比为eq\r(2)∶1的矩形纸片称为“标准纸”．如图①所示A组纸都是“标准纸”．第7题图操作判断：(1)如图②所示，矩形纸片ABCD(AD＝eq\r(2)AB)是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点B与点D重合，再展开，折痕EF交AD于点E，交BC于点F，交BD于点O，分别连接BE和DF，判断四边形BFDE是哪种特殊的四边形，并说明理由；探究发现：(2)如图③所示，在(1)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕MN交AD边于点M，交BC边于点N，交BD也是点O，然后将四边形ENFM剪下，探究纸片ENFM是否为“标准纸”，说明理由；第7题图③(3)通过以上操作探究，请你写出一个有关“标准纸”的结论，例如“标准纸”长和宽的比值为eq\r(2)∶1.解：(1)四边形BFDE是菱形；证明：当点B与点D重合时，折痕EF垂直平分BD，∴OB＝OD，∠BOF＝∠DOE＝90°.∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠OBF＝∠ODE.在△BOF和△DOE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠OBF＝∠ODE，,OB＝OD，,∠BOF＝∠DOE，))∴△BOF≌△DOE(ASA)，∴OE＝OF，∵OB＝OD，∴四边形BFDE是平行四边形．∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形；(2)纸片ENFM是“标准纸”；理由如下：由(1)可知，OE＝OF，同理可证，OM＝ON，∴四边形ENFM是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠DOE＝90°，∠ODE＝∠ADB，∴tan∠ODE＝eq\f(OE,OD)＝eq\f(AB,AD).∵AD＝eq\r(2)AB，∴OE＝eq\f(\r(2),2)OD，∴EF＝eq\f(\r(2),2)BD，同理可得，MN＝eq\f(\r(2),2)AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴EF＝MN.∴四边形ENFM是矩形，∴∠EMF＝90°.∴tan∠FEM＝eq\f(MF,ME)＝eq\f(OD,OE)＝eq\r(2)，∴MF＝eq\r(2)ME，∴纸片ENFM是“标准纸”；(3)答案不唯一，例如：①所有的“标准纸”形状都相似；②图③中四边形ENFM的面积是四边形ABCD面积的一半；③A0纸与A1纸的面积之比为2∶1；④A3纸与A2纸的周长之比为1∶eq\r(2).★8.综合与实践：折叠中的数学．已知在矩形纸片ABCD中，AB＝24cm，BC＝10cm.任务一：先将矩形纸片上下对折，然后左右对折，再沿对角线对折，展开得到图中的折痕四边形EFGH(如图①)，求菱形EFGH的面积．任务二：如图②，将矩形纸片ABCD先沿对角线AC对折，再将纸片折叠使点A与点C重合得折痕EF，则四边形AECF必为菱形，请加以证明．任务三：请通过一定的操作，构造一个菱形EFGH(不同于任务一中的特殊图形)，使菱形的四个顶点分别落在矩形ABCD的四条边上(即点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且不与矩形ABCD的顶点重合)．第8题图（1）请简述操作的方法，并在图③中画出菱形EFGH.(2)求菱形EFGH的面积的取值范围．解：任务一：如解图①，由折叠性质可得：HF＝AB＝24cm，GE＝BC＝10cm.∴S菱形EFGH＝eq\f(1,2)HF·GE＝eq\f(1,2)×24×10＝120cm2，∴菱形EFGH的面积为120cm2.第8题解图①第8题解图②任务二：证明：如解图②，设两折痕的交点为O，由折叠性质可得：EF⊥AC，OA＝OC，∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB.∴∠ECO＝∠FAO.在△EOC和△FOA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ECO＝∠FAO,OC＝OA,∠EOC＝∠FOA))，∴△EOC≌△FOA(ASA)．∴OE＝OF，∵OE＝OF，OC＝OA，∴四边形AECF是平行四边形．又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形．任务三：(1)如解图③，将矩形纸片分别沿着对角线AC，BD折叠，设两折痕的交点为O，展开后沿经过点O的直线FH折叠，展开后再沿经过点O且与FH垂直的直线EG折叠，而后展开得到的折痕四边形EFGH就是符合要求的菱形．第8题解图③(2)∵四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是菱形，∴∠GDH＝∠GOH＝90°，∴O，G，D，H四点共圆，∴∠GHO＝∠GDO，∴tan∠GHO＝tan∠GDO，∴eq\f(OG,OH)＝eq\f(BC,DC)＝eq\f(10,24)＝eq\f(5,12)，设OG＝5k，则OH＝12k，∴FH＝24k，GE＝10k，∴S菱形EFGH＝eq\f(1,2)FH·GE＝120k2，在Rt△ABC中，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(242＋102)＝26，∴OA＝eq\f(1,2)AC＝13.当OH⊥AD时，OH＝eq\f(1,2)AB＝12，∴12＜OH＜13，∴12＜12k＜13，∴1＜k＜eq\f(13,12)，∴1＜k2＜eq\f(169,144)，∴120＜120k2＜eq\f(845,6)，即菱形EFGH的面积大于120cm2且小于eq\f(845,6)cm2.拓展类型★9.如图，等边三角形ABC中，点D、E、F、分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．图①图②图③第9题解图解：（1）EN与MF相等，证明：如解图①，连接DE、DF，∵△ABC和△DMN为等边三角形，∴DM=DN，∠MDN=60°，∵点D、E、F分别为边AB，AC，BC的中点，∴△DEF是等边三角形，∴∠MDF=∠NDE，在△DMF和△DNE中，，∴△DMF≌△DNE，∴EN=MF；第9题图解①（2）成立，证明：如解图②，连接DE，DF，EF．第1题解图②∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形ABC的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．在△DMF和△DNE中，∴△DM